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素养提升课三　圆周运动的综合分析
【素养目标】　 1.会分析竖直面内的轻绳模型。　2.会分析竖直面内的轻杆模型。　3.会分析水平面内圆周运动的临界问题。
提升点一　竖直面内圆周运动的轻绳模型
如图所示，甲图中小球受绳的拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同。现以甲图为例。
1．在最低点由牛顿第二定律有FT1－mg＝
所以FT1＝。
2．在最高点由牛顿第二定律有FT2＋mg＝
所以FT2＝ －mg。
3．最高点的最小速度：由于绳或圆轨道不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为。
(1)当v2＝时，拉力或压力为零。
(2)当v2>时，小球受向下的拉力或压力。
(3)当v2<时，小球不能到达最高点。
(2024·潮州市高一校考期中)绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长L＝80 cm，求：(g＝10 m/s2)
(1)最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v＝4 m/s时，水对桶底的压力。
答案：(1)2 m/s　(2)5 N，方向竖直向上
解析：(1)水在最高点恰好不流出时有mg＝
最小速率v0＝＝2 m/s。
(2)以桶中的水为研究对象，设桶对水的支持力为F，由牛顿第二定律得，在最高点F＋mg＝m
可得F＝m－mg＝5 N
根据牛顿第三定律可知水对桶底的压力F′＝F＝5 N，方向竖直向上。
(2024·惠州市高一统考期中)如图所示，在竖直平面内有半径为R＝4 m的圆轨道，人骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m＝200 kg，人和摩托车可视为质点，不计一切阻力，重力加速度g＝。求：
(1)人恰能通过最高点时的速度大小v1；
(2)人通过最低点时对轨道的压力为FN＝9 200 N，求此时人的速度大小v。
答案：(1)2 m/s　(2)12 m/s
解析：(1)人恰能通过最高点时，重力刚好提供向心力，则有mg＝"
解得v1＝＝ m/s＝2 m/s。
(2)人通过最低点时对轨道的压力为FN＝9 200 N，根据牛顿第三定律可知，人受到的支持力大小为FN′＝FN＝9 200 N
根据牛顿第二定律可知FN′－mg＝m
联立解得v＝12 m/s。
针对练1.如图为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，重力加速度为g。要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道最高点时的角速度最小为(　　)
A． B．2
C． D．
答案：C
解析：小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝ ，C正确。
针对练2.如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值。
答案：(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
解析：(1)小球刚好能够通过最高点时，有mg＝
解得v1＝＝2 m/s。
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，有
F＋mg＝
解得F＝15 N。
(3)分析可知小球通过最低点时绳的拉力最大，在最低点由牛顿第二定律得F′－mg＝
将F′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球速度的最大值为4 m/s。
提升点二　竖直面内圆周运动的轻杆模型
如图所示，细杆上固定的小球(或光滑圆形管内运动的小球)在重力和杆(或管)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动。
1．最高点的最小速度
由于杆(或管)在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力F＝mg。
2．小球通过最高点时，杆(或管)对小球的弹力情况
(1)v>，杆(或管)的外侧对小球产生向下的拉力(或弹力)，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F随v 增大而增大；
(2)v＝，小球在最高点只受重力，不受杆(或管)的作用力，F＝0，mg＝m；
(3)0有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g＝10 m/s2)
(1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小；
(2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力；
(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求此时小球运动的速率。
答案：(1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上　(3)6 m/s
解析：(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg＝，代入数据解得v1＝＝ m/s。
(2)法一：当小球运动到最高点速率为1 m/s＜v1＝ m/s时，此时小球受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得mg－F1＝，代入数据解得F1＝4 N，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为4 N，方向向下；
当小球运动到最高点速率为4 m/s＞v1＝ m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律可得F2＋mg＝，代入数据解得F2＝11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11 N，方向向上。
法二：假设小球受到杆向上的支持力。当小球运动到最高点速率为1 m/s时，根据牛顿第二定律可得mg－F1＝，代入数据解得F1＝4 N，可知小球受到杆向上的支持力，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为4 N，方向向下；
当小球运动到最高点速率为4 m/s时，根据牛顿第二定律可得mg－F2＝，代入数据解得F2＝－11 N，可知小球受到杆向下的11 N拉力，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为11 N，方向向上。
(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，由牛顿第二定律有F－mg＝，代入数据解得v4＝6 m/s。
轻杆模型中当物体通过最高点时，杆可产生拉力也可产生支持力，求解杆上的作用力可采用两种方法。
方法一：可先将物体速度与轻杆恰无弹力的临界速度进行比较。物体速度大于临界速度时，杆上产生拉力；物体速度小于临界速度时，杆上产生支持力。
方法二：假设物体受到支持力或拉力作用，根据牛顿第二定律求解杆上的弹力。若为正值，则其方向与假设方向相同；若为负值，其方向与假设方向相反。
拓展变式．(多选)(2024·惠州市高一联考)如图所示，有一半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点时的速度v，下列叙述中正确的是(　　)
A．v的最小值是
B．v越大，管道对球的弹力越大
C．若v大于 ，v越大，管道对小球的弹力越大
D．若v小于 ，v越小，管道对小球的弹力越大
答案：CD
解析：小球在最高点，管道对小球的作用力可以竖直向上，也可以竖直向下，所以v的最小值为零，A错误；当v＝时，根据牛顿第二定律有mg－FN＝，可得管道对球的作用力FN＝0；当v<时，管道对小球的作用力方向竖直向上，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，v越小，管道对小球的弹力越大，D正确，B错误；当v>时，管道对小球的作用力方向竖直向下，根据牛顿第二定律得mg＋FN＝m， v越大，管道对小球的弹力越大， C正确。
提升点三　圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小或角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力或摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。
通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：
1．与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0。
2．与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0。
3．因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值。
(多选)(2024·惠州市校考)如图所示，用同种材料做成的A、B、C三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动。已知三物体质量的关系mA＝mB＝2mC，转动半径之间的关系是rC＝rA＝2rB，下列说法中正确的是(　　)
A．物体A受到的摩擦力最大
B．物体B受到的摩擦力和C一样大
C．物体B的向心加速度最大
D．转台转速加快时，物体A比物体C先开始滑动
答案：AB
解析：A、B、C三个物体的角速度相同，设角速度为ω，则三个物体受到的静摩擦力分别为fA＝mAω2rA，fB＝mBω2rB＝mAω2rA，fC＝mCω2rC＝mAω2rA＝fB，所以物体A受到的摩擦力最大，物体B受到的摩擦力和C一样大，A、B正确；根据向心加速度a＝ω2r，ω相同，B的半径r最小，则物体B的向心加速度最小，C错误；当物体恰好滑动时，静摩擦力达到最大，有μmg＝mω2r，解得ω＝ ，因rB＜rA＝rC，则物体B的临界角速度最大，物体A和物体C的临界角速度相等，则转台转速加快时，物体A和物体C同时开始滑动，D错误。
　如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝60 ，一条长度为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看成质点)，小球绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。求：
(1)小球静止时所受拉力和支持力大小；
(2)小球刚要离开锥面时的角速度；
(3)小球以ω1＝的角速度转动时所受拉力和支持力的大小。
答案：(1)mg　mg　(2)　(3)3mg　0
解析：(1)对小球受力分析可知
T＝mg cos θ＝mg
FN＝mg sin θ＝mg。
(2)小球刚要离开锥面时FN＝0，由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有mg tan θ＝mω02r
其中r＝L sin θ
联立解得ω0＝ ＝ 。
(3)因为ω1＝ >ω0＝
说明小球已离开锥面，FN1＝0
设绳与竖直方向的夹角为α，如图所示
则有T1sin α＝mω12L sin α，
解得T1＝3mg。
针对练．如图所示，AB为竖直转轴，在细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承受的最大拉力均为2mg。当AC和BC均拉直时，∠ABC＝90 ，∠ACB＝53 ，BC＝1 m。ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时小球的速度大小分别为(g取10 m/s2，sin 53 ＝0.8，cos 53 ＝0.6)(　　)
A．AC　5 m/s
B．BC　5 m/s
C．AC　5.24 m/s
D．BC　5.24 m/s
答案：B
解析：小球线速度增大时，BC逐渐被拉直，当线速度增至BC被拉直时，在竖直方向上，对小球有TAsin 53 ＝mg，解得AC绳中的拉力TA＝；在水平方向，对小球由牛顿第二定律有TAcos 53 ＋TB＝m，可知线速度增大时，TA不变而TB增大，所以BC绳先断。设AC绳刚要被拉断时与竖直方向的夹角为α，对小球受力分析得TA′cos α－mg＝0，TA′sin α＝m，r′＝ sin α，TA′＝2mg，解得α＝60 ，v＝5 m/s，故选B。
1.(2024·辽宁大连高一期末)如图所示，游乐场里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒。若乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，轨道半径为R，重力加速度为g，则此时过山车的速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，则座椅对乘客的支持力也为重力的一半，由于在最高点时，乘客在座椅里面头朝下，所以座椅对乘客的支持力也朝下，则有FN＋mg＝m，FN＝0.5mg，联立解得v＝，故C正确。
2．(2024·广州市高一统考期中)如图所示，质量为m的小球(可视为质点)在竖直平面内绕O点做半径为L的圆周运动，重力加速度大小为g，连接O点与小球的为轻杆。对小球，下列说法正确的是(　　)
A．过圆周最高点的临界速度为
B．过圆周最高点的速度不能大于
C．在圆周最高点对轻杆的作用力大小可以为零
D．在圆周最高点对轻杆的作用力大小最小为mg
答案：C
解析：轻杆可以提供支持力，则小球过圆周最高点的临界速度为零，小球在圆周最高点时轻杆的作用力可能为零，故选C。
3.(多选)(2024·顺德市高一联考期中)如图所示，此装置为一种圆锥筒状转筒，在其顶端处(可视为同一点)左右各系着一长一短的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒带着两小球绕中心轴开始缓慢加速转动的过程中，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．角速度慢慢增大，绳子长的球先离开圆锥筒
B．角速度达到一定值时两球同时离开圆锥筒
C．两球都离开圆锥筒后，它们在同一水平面上
D．两球都离开圆锥筒时两绳中的拉力大小相同
答案：AC
解析：设绳子与竖直方向的夹角为 θ， 小球刚好离开圆锥筒时，圆锥筒的支持力为0，有mg tan θ＝mω2l sin θ，解得ω＝ ，绳子越长的其角速度的临界值越小，越容易离开圆锥筒， 故A正确，B错误； 两小球都离开圆锥筒后，小球都只受重力与绳子的拉力，两小球都随圆锥筒一起转动，有相同的角速度，小球离圆锥筒顶点距离为h＝l cos θ，联立mg tan θ＝mω2l sin θ，解得h＝，故C正确；由以上分析可知，两球都离开圆锥筒时，两绳与竖直方向的夹角不同，由F＝知绳中拉力大小不同，故D错误。故选AC。
4.(2024·东莞市东华高级中学高一期中)如图所示，在水平转台上放置有质量相同的滑块P和Q(均视为质点)，它们与转台之间的动摩擦因数相同，P到转轴OO′的距离为rP，Q到转轴OO′的距离为rQ，且rP∶rQ＝1∶2，转台绕转轴OO′匀速转动，转动过程中，两滑块始终相对转台静止。认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，下列正确的是(　　)
A．P所受的摩擦力比Q所受的摩擦力大
B．P、Q的线速度大小相等
C．若转台转动的角速度缓慢增大，则Q一定比P先开始滑动
D．P需要的向心力比Q需要的向心力大
答案：C
解析：滑块P和Q绕转轴OO′转动，可知滑块P和Q的角速度相同，根据摩擦力提供向心力有f＝mω2r，可知P所受的摩擦力和需要的向心力均比Q的小，故A、D错误；根据v＝ωr，可知P的线速度比Q的线速度小，故B错误；开始滑动时，根据摩擦力提供向心力有μmg＝mω2r，可知滑块发生移动时的角速度为ω＝，可知若转台转动的角速度缓慢增大，则Q一定比P先开始滑动，故C正确。故选C。
课时测评13　圆周运动的综合分析
(时间：30分钟　满分：60分)
(选择题1－7题，每题4分，共28分)
1.(2024·佛山市高一联考)用长绳一端系着装有水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。则(　　)
A．“水流星”在最高点无论速度如何，一定会有水从容器中流出
B．“水流星”在最高点时，可能处于完全失重状态，不受力的作用
C．“水流星”通过最低点时一定处于超重状态
D．“水流星”通过和圆心等高的位置时，细绳中的拉力为零
答案：C
解析：水做圆周运动，在最高点只要水做圆周运动的向心力不小于水的重力，就不会有水从容器中流出，故A错误；“水流星”在最高点时，可能处于完全失重状态，此时水只受重力作用，故B错误；“水流星”通过最低点时，根据牛顿第二定律有FT－mg＝m＝ma，可知“水流星”一定处于超重状态，故C正确；“水流星”通过和圆心等高的位置时，细绳中的拉力提供水做圆周运动的向心力，拉力不为零，故D错误。故选C。
2．如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(　　)
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
答案：D
解析：在最高点时，当人与保险带间恰好没有作用力时，由重力提供向心力，mg＝，解得临界速度为v0＝，当人在最高点时的速度大于或等于临界速度时，没有保险带，人也不会掉下来，故A错误；当人在最高点的速度v>时，有mg＋FN＝m，解得FN>0，根据牛顿第三定律可知人对座位产生压力，故B错误；人在最低点时，根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，所以FN>mg，由牛顿第三定律可知人对座位的压力大于mg，故C错误，D正确。故选D。
3.(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，重力加速度为g，小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是(　　)
A．若v0＝，则小球对管内壁无压力
B．若v0>，则小球对管内上壁有压力
C．若0 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
答案：ABC
解析：在最高点只有重力提供向心力时，由mg＝，解得v0＝，A正确；若v0＞，则mg＋FN＝，结合牛顿第三定律可知，小球对管内上壁有压力，B正确；若0＜v0＜，则mg－FN＝，结合牛顿第三定律可知，小球对管内下壁有压力，C正确；综上分析，D错误。
4.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，A、B、C三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　)
A．A的向心加速度最大
B．B和C所受摩擦力大小相等
C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
答案：C
解析：由题意知，A、B、C的角速度ω相同，C的半径最大，根据a＝ω2r知，C的向心加速度最大，故A错误；B、C随圆盘转动时，由静摩擦力提供向心力，由f＝mω2r知，fBωC，故A、B同时滑动，C最先滑动，故C正确，D错误。
5.(多选)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
答案：BC
解析：把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以摩擦力即物块所受合外力提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以两者运动所需的向心力F＝mω2R相等，故B正确；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg<μAmg，即μB<μA，故D错误。
6.(多选)某同学在课后设计开发了如图所示的玩具装置。在水平圆台的中轴上O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l，细绳的一端连接一个小木箱，木箱里放着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹角为θ＝53 ，且细绳恰好处于伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊(可视为质点)的总质量为m，木箱与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53 ＝0.8，cos 53 ＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水平圆台缓慢加速运动。则(　　)
A．当圆台的角速度ω＝时，细绳中无张力
B．当圆台的角速度ω＝时，细绳中有张力
C．当圆台的角速度ω＝时，圆台对木箱无支持力
D．当圆台的角速度ω＝时，圆台对木箱有支持力
答案：ABC
解析：细绳中恰好无张力时，静摩擦力达到最大值，提供向心力，有μmg＝mω2l sin θ，解得ω＝，所以当ω≤ 时，细绳中无张力；ω>时，细绳中有张力，故A、B正确；圆台对木箱恰好无支持力时mg tan θ＝mω2l sin θ，解得ω＝，即当ω≥时，圆台对木箱无支持力，故C正确，D错误。
7.(2024·东莞市高一期末)如图所示，长度均为l＝1 m的两根轻绳，一端共同系住质量为m＝0.8 kg的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离为d＝1.2 m，重力加速度g取10 m/s2。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最低点的速度大小为v＝8 m/s，则此时每根绳的拉力大小为(　　)
A．45 N B．40 N
C．64 N D．36 N
答案：A
解析：设绳与竖直方向的夹角为θ，当小球在最低点的速率为v＝8 m/s时，由牛顿第二定律得2T cos θ－mg＝m，由几何关系可得r＝＝0.8 m，cos θ＝＝0.8，解得T＝45 N，故选A。
8.(8分)(2023·广东梅州高一联考期中)如图所示，小球A质量为m，固定在长为L的轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。当小球经过最高点时，杆对球的弹力大小为F＝mg，求这时小球的瞬时速度大小。
答案：若F向上，v＝；若F向下，v＝
解析：杆在最高点处，球的重力与杆的弹力的合力提供球的向心力。
若F向上，根据牛顿第二定律得mg－F＝m
解得v＝；
若F向下，根据牛顿第二定律得mg＋F＝m
解得v＝。
9.(12分)(2024·广州市高一期中)如图所示，在光滑水平面上竖直固定一半径为R的粗糙半圆槽轨道，其底端恰与水平面相切，质量为m的小球以大小为v0的初速度经半圆槽轨道最低点B滚上半圆槽，小球通过最高点C后落回到水平面上的A点。通过C点时，小球对轨道的压力大小是小球自身重力的3倍。不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)小球通过B点时对半圆槽的压力大小；
(2)A、B两点间的距离。
答案：　(2)4R
解析：(1)在B点小球做圆周运动有F－mg＝
可得F＝
由牛顿第三定律知，小球通过B点时对半圆槽的压力大小F压＝F＝。
(2)由牛顿第三定律知，通过C点时，小球受轨道的支持力为3mg
在C点由牛顿第二定律有3mg＋mg＝
解得vC＝2
过C点后小球做平抛运动，由平抛运动规律有
sAB＝vCt，2R＝
联立可得sAB＝4R。
10.(12分)如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30 与45 ，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？(g＝10 m/s2)
答案：2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
解析：两绳都伸直时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。
①BC恰好伸直，但拉力T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有
Fx＝T1sin 30 ＝mω12L sin 30
Fy＝T1cos 30 －mg＝0
联立解得ω1≈2.40 rad/s；
②AC由拉紧转为恰好伸直，则T1为零，设此时的角速度为ω2，则有
Fx＝T2sin 45 ＝mω22L sin 30
Fy＝T2cos 45 －mg＝0
联立解得ω2≈3.16 rad/s
可见，要使两绳始终伸直，ω必须满足
2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
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素养提升课三　圆周运动的综合分析
　　　　
第二章　圆周运动
1.会分析竖直面内的轻绳模型。　
2.会分析竖直面内的轻杆模型。　
3.会分析水平面内圆周运动的临界问题。
素养目标
提升点一　竖直面内圆周运动的轻绳模型
例1

(2)水在最高点速率v＝4 m/s时，水对桶底的压力。
答案：5 N，方向竖直向上
例2

(2)人通过最低点时对轨道的压力为FN＝9 200 N，求此时人的速度大小v。
答案：12 m/s

√

针对练2.如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在
竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球
半径不计，g取10 m/s2，求：
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
答案：2 m/s　

(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
答案：15 N　
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提升点二　竖直面内圆周运动的轻杆模型
　　如图所示，细杆上固定的小球(或光滑圆形管内
运动的小球)在重力和杆(或管)的弹力作用下在竖直
平面内做圆周运动。
1．最高点的最小速度
由于杆(或管)在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力F＝mg。
例3
(2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力；
答案：4 N，方向向下　11 N，方向向上　


(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求此时小球运动的速率。
答案：6 m/s

探究归纳
　　轻杆模型中当物体通过最高点时，杆可产生拉力也可产生支持力，求解杆上的作用力可采用两种方法。
方法一：可先将物体速度与轻杆恰无弹力的临界速度进行比较。物体速度大于临界速度时，杆上产生拉力；物体速度小于临界速度时，杆上产生支持力。
方法二：假设物体受到支持力或拉力作用，根据牛顿第二定律求解杆上的弹力。若为正值，则其方向与假设方向相同；若为负值，其方向与假设方向相反。
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提升点三　圆周运动的临界问题
　　物体做圆周运动时，若物体的线速度大小或角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力或摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。
通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：
1．与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0。
2．与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0。
3．因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值。
　 　　(多选)(2024·惠州市校考)如图所示，用同种材料做成的A、B、C三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动。已知三物体质量的关系mA＝mB＝2mC，转动半径之间的关系是rC＝rA＝2rB，
下列说法中正确的是
A．物体A受到的摩擦力最大
B．物体B受到的摩擦力和C一样大
C．物体B的向心加速度最大
D．转台转速加快时，物体A比物体C先开始滑动
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例4


例5



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随堂演练　对点落实
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轻杆可以提供支持力，则小球过圆周最高点的临界速度为零，小球在圆周最高点时轻杆的作用力可能为零，故选C。
3.(多选)(2024·顺德市高一联考期中)如图所示，此装置为一种圆锥筒状转筒，在其顶端处(可视为同一点)左右各系着一长一短的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒带着两小球绕中心轴开始缓慢加速转动的过程中，不计空气阻力，则下列说法正确的是
A．角速度慢慢增大，绳子长的球先离开圆锥筒
B．角速度达到一定值时两球同时离开圆锥筒
C．两球都离开圆锥筒后，它们在同一水平面上
D．两球都离开圆锥筒时两绳中的拉力大小相同
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4.(2024·东莞市东华高级中学高一期中)如图所示，在
水平转台上放置有质量相同的滑块P和Q(均视为质点)，
它们与转台之间的动摩擦因数相同，P到转轴OO′的距
离为rP，Q到转轴OO′的距离为rQ，且rP∶rQ＝1∶2，转台绕转轴OO′匀速转动，转动过程中，两滑块始终相对转台静止。认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，下列正确的是
A．P所受的摩擦力比Q所受的摩擦力大
B．P、Q的线速度大小相等
C．若转台转动的角速度缓慢增大，则Q一定比P先开始滑动
D．P需要的向心力比Q需要的向心力大
√

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课时测评
1.(2024·佛山市高一联考)用长绳一端系着装有水的小
桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。则
A．“水流星”在最高点无论速度如何，一定会有水
从容器中流出
B．“水流星”在最高点时，可能处于完全失重状态，
不受力的作用
C．“水流星”通过最低点时一定处于超重状态
D．“水流星”通过和圆心等高的位置时，细绳中的拉力为零
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2．如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
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4.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，A、B、C三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是
A．A的向心加速度最大
B．B和C所受摩擦力大小相等
C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
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5.(多选)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B
两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下
列说法正确的是
A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
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把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作
用，所以摩擦力即物块所受合外力提供向心力，摩擦
力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故
A错误；物块做匀速圆周运动，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以两者运动所需的向心力F＝mω2R相等，故B正确；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg<μAmg，即μB<μA，故D错误。
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7.(2024·东莞市高一期末)如图所示，长度均为l＝1 m的两根轻绳，一端共同系住质量为m＝0.8 kg的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离为d＝1.2 m，重力加速度g取10 m/s2 。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最低点的速度大小为v＝8 m/s，则此时每根绳的拉力大小为
A．45 N B．40 N
C．64 N D．36 N
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(2)A、B两点间的距离。
答案：4R

10．(12分)如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30 与45 ，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？(g＝10 m/s2)
答案：2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
两绳都伸直时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。
①BC恰好伸直，但拉力T2仍然为零，
设此时的角速度为ω1，则有Fx＝T1sin 30 ＝mω12L sin 30
Fy＝T1cos 30 －mg＝0
联立解得ω1≈2.40 rad/s；
②AC由拉紧转为恰好伸直，则T1为零，
设此时的角速度为ω2，则有Fx＝T2sin 45 ＝mω22L sin 30
Fy＝T2cos 45 －mg＝0
联立解得ω2≈3.16 rad/s
可见，要使两绳始终伸直，ω必须满足2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
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