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第2课时　向心力与向心加速度
【素养目标】　1.掌握向心力的表达式，会应用公式进行计算。　2.会分析向心力的来源。　3.理解向心加速度的概念。　4.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
知识点一　向心力的来源分析与计算
【情境导入】　(1)随水平圆台一起匀速转动的人或物体需要的向心力由什么力提供？
(2)当转动的角速度变大后，人仍与转盘保持相对静止，人受到的摩擦力大小怎样变化？
提示：(1)由圆台对人或物体的静摩擦力提供。
(2)当人转动的角速度变大后，由F＝mω2r可知需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
【教材梳理】(阅读教材P32—P35完成下列填空)
1．向心力的作用：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
2．向心力的表达式：F＝m＝mω2r。
3．常见物理情境中向心力的来源
实例 向心力 示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝FT＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝f
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
【师生互动】　如图所示，月球绕地球做匀速圆周运动时，它受到了指向圆心的力的作用吗
提示：它受到了指向圆心的力的作用，即地球对月球引力。
(多选)(2024·汕头市高一校考期中)如图所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则该演员(　　)
A．受到4个力的作用
B．所需的向心力由弹力提供
C．角速度越大，人受到的摩擦力越大
D．圆筒的角速度ω≥
答案：BD
解析：杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力的作用，共3个力作用，A错误；由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来，竖直方向根据平衡条件有mg＝f，筒壁的弹力提供向心力，水平方向有FN＝mω2r，角速度越大，人受到的摩擦力不变，弹力变大，B正确，C错误；要想不下滑，最大静摩擦力需要大于重力，所以μFN≥mg，FN＝mω2r，解得ω≥，D正确。故选BD。
针对练．(多选)(2024·揭阳市高一月考)如图所示，用细线悬吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为θ，线长为l，重力加速度为g，下列说法中正确的是(　　)
A．小球受重力、拉力、向心力
B．小球受重力、拉力
C．小球的向心力大小为mg tan θ
D．小球的向心力大小为
答案：BC
解析：对小球进行受力分析可知，小球受重力和拉力的作用，二者的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，故A错误，B正确；合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，则有tan θ＝，因此向心力大小为F＝F合＝mg tan θ，故C正确，D错误。
知识点二　向心加速度
【情境导入】　如图甲所示，地球绕太阳转动可近似看作匀速圆周运动；如图乙所示，光滑桌面上有一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
提示：(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)由于地球和小球的加速度方向总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
(阅读教材P35完成下列填空)
1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。
2．方向：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，指向圆心，与向心力的方向相同。
3．公式：a＝ω2r＝。
【师生互动】　1．在变速圆周运动中，物体所受外力 F 可分解为跟圆周相切的分力Ft和指向圆心的分力Fn。
任务1.试分析两个分力的作用；
任务2.该物体加速度指向圆心吗 试分析加速度的两个分量的物理意义。
2．根据加速度公式a＝＝ω2r，有的同学认为a与r成反比，有的同学认为a与r成正比，你认为哪种说法正确？
提示： 1.任务1.Ft与物体运动的速度同向，使物体的速度越来越大；Fn指向圆心，提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。
任务2.在变速圆周运动中，加速度a与F方向相同，不指向圆心;切向加速度at表示速度大小变化的快慢；向心加速度an表示速度方向变化的快慢。
2．两种说法都不正确。当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比。
　向心加速度的理解
(多选)下列关于向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
答案：ABD
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故 A、B正确;物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不指向圆心，故 D正确，C错误。
1．向心加速度的物理意义
描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
2．圆周运动的性质
不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
3．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度。向心加速度改变速度的方向，切向加速度改变速度的大小。在变速圆周运动中，向心加速度的方向总是指向圆心。
　向心加速度的大小
(2024·梅州市丰顺中学高一联考期中)在做甩手动作的物理原理研究课题中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度。某次一高一同学先用刻度尺测量手臂长(如图所示)，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置加速自然下摆，当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为6m/s2，下列说法正确的是 ( )
A．可估算手臂摆到竖直位置时手机的线速度大小约为2m/s
B．手臂摆到竖直位置时手机处于失重状态
C．自然下摆过程中手机所受合力始终沿手臂方向
D．由a=可知手掌与手肘的向心加速度之比约为1∶2
答案：A
解析：由题图可知，手机转动的半径约为65.0cm=0.650m，根据公式a=，可得手臂摆到竖直位置时手机的线速度大小约为v= = m/s≈2m/s，故 A 正确;手臂摆到竖直位置时，手机的加速度方向向上，处于超重状态，故B错误;自然下摆过程中，手机做变速圆周运动，所受合力不是始终沿手臂方向，故 C错误;手掌与手肘属于同轴转动，角速度相等，转动半径之比约为2∶1，由公式a=ω2r， 可知手掌与手肘的向心加速度之比约为2∶1，故 D错误。故选 A。
1．向心加速度的几种表达式
2．向心加速度的大小与各量关系的理解
(1)当r一定时，a∝v2，a∝ω2。
(2)当v一定时，a∝。
(3)当ω一定时，a∝r。
(4)a与r的关系：a与r成正比还是反比，要看v恒定(如图甲)还是ω恒定(如图乙)。
针对练.(2024·广州市第二中学高一校考期中)如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图乙中所示的模型。A、B是转动的大小齿轮边缘的两点，C是大齿轮上的一点。大齿轮上B、C的半径分别为3r、r，小齿轮上A的半径为2r，则A、B、C三点(　　)
A．线速度大小之比是3∶3∶1
B．加速度大小之比是6∶3∶1
C．角速度之比是2∶3∶3
D．转动周期之比是3∶2∶2
答案：A
解析：A、B是转动的大小齿轮边缘的两点，可知vA＝vB，根据v＝ωr，rA＝rB，可得＝＝，由于B、C两点都在大轮上，可知ωB＝ωC，根据v＝ωr，rB＝3rC，可得＝＝，则A、B、C三点线速度大小之比为vA∶vB∶vC＝3∶3∶1，角速度之比为ωA∶ωB∶ωC＝3∶2∶2，故A正确，C错误；根据a＝vω，可知A、B、C三点加速度之比为＝(vAωA)∶(vBωB)∶(vCωC)＝9∶6∶2，故B错误；根据T＝可知A、B、C三点周期之比为TA∶TB∶TC＝∶∶＝∶∶＝2∶3∶3，故D错误。故选A。
知识点三　圆周运动的动力学分析
1．匀速圆周运动的动力学分析
(1)对于匀速圆周运动的物体，其所受合力提供向心力，即F合＝F向＝m＝mω2r＝mr。
(2)分析匀速圆周运动问题的基本步骤
①明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
②确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
③找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
④利用牛顿第二定律列方程。
⑤解方程求出待求物理量。
2．变速圆周运动的动力学分析
(1)物体受到的沿半径方向的合力提供向心力，产生向心加速度，改变速度的方向。
(2)物体受到的沿切线方向的合力产生切向加速度，改变速度的大小。
如图所示，长为L的细绳，一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，摆线与竖直方向的夹角为α。求：
(1)细绳的拉力大小F；
(2)小球运动的线速度大小和向心加速度大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
答案：(1)　(2)　g tan α　(3) 　2π
解析：做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和细绳的拉力F的作用。
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向指向圆心O′。由受力分析图可知小球受到的合力大小为mg tan α，细绳对小球的拉力大小为F＝。
(2)由牛顿第二定律得mg tan α＝
由几何关系得r＝L sin α
所以，小球做匀速圆周运动的线速度大小为v＝
小球的向心加速度大小为a＝＝g tan α
(或用牛顿第二定律求解：a＝＝＝g tan α)。
(3)小球运动的角速度ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π 。
几种常见的圆周运动模型
情境 受力分析 力的分解方法 满足的方程
或mg tan θ＝mω2l·sin θ
或mg tan θ＝mω2r
或mg tan θ＝mω2r
针对练1.如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动。以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的关系式正确的是(　　)
A．vA>vB B．ωA>ωB
C．aA>aB D．FNA>FNB
答案：A
解析：对小球受力分析如图所示，可得FN＝，F＝，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，即θ相同，所以两个小球的向心力大小和受到的支持力大小都相等，由牛顿第三定律和第二定律有FNA＝FNB，aA＝aB，故C、D错误；向心力大小相等，由向心力的公式F＝m可知，半径大的，线速度大，所以vA>vB，故A正确；由向心力的公式F＝mω2r可知，半径大的，角速度小，所以ωA<ωB，故B错误。
针对练2.(2024·重庆高一校联考期中)如图是某固定翼无人机在目标(可视为质点)上空高度为h的水平面内盘旋，做匀速圆周运动，测得与目标的距离为s，无人机质量为m，巡航速度为v，所在地重力加速度为g。以下说法正确的是(　　)
A．无人机圆周运动的周期为
B．无人机匀速圆周运动过程中，竖直面内受重力、升力和向心力作用
C．无人机获得的升力大小等于mg
D．机翼与水平面的夹角θ满足关系式tan θ＝
答案：D
解析：由题意可得无人机做圆周运动的半径为r＝，则周期为T＝＝，故A错误；无人机做匀速圆周运动的过程中，竖直面内受重力、升力的作用，升力在竖直方向上的分力大小等于mg，在水平方向上的分力提供无人机所需的向心力，故B、C错误；机翼与水平面的夹角θ满足关系式F升cos θ＝mg，F升sin θ＝m，r＝，联立解得tan θ＝，故D正确。?
1．(多选)(2024·江门市新会陈经纶中学高一期中)关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．由a＝ω2r可知，a与r成正比
B．由a＝可知，a与r成反比
C．由a＝可知，当v一定时，a与r成反比
D．由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比
答案：CD
解析：由a＝ω2r可知，只有当角速度一定时，加速度a才与轨道半径r成正比，而不能简单说a与r成正比，A错误；由a＝可知，只有当线速度一定时，加速度a才与轨道半径r成反比，而不能简单说a与r成反比，B错误，C正确；由于2π是常数，根据ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比，D正确。故选CD。
2.把一个小球放在光滑的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球沿漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。如图所示，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A．受重力、漏斗壁的支持力
B．受重力、漏斗壁的支持力及向心力
C．受重力、漏斗壁的支持力、摩擦力及向心力
D．小球受到的合力为零
答案：A
解析：小球受重力和支持力两个力的作用，这两个力的合力提供向心力，故A正确，B、C、D错误。
3.飞机驾驶员所能承受的压力最大等于9倍的重力，如图所示，飞机在竖直平面内沿圆弧轨道俯冲做特技表演，若飞机在最低点时速度大小为360 km/h，则为保证驾驶员安全，飞机俯冲圆弧轨道的最小半径为(取g＝10m/s2)(　　)
A．500 m B．125 m
C．111 m D．250 m
答案：B
解析：飞机在最低点，向心力为FN－mg＝，可得飞机俯冲圆弧轨道的最小半径为R＝125 m，故选B。
4．(2024·湛江市高一期末)明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转。”如图所示为牛力齿轮翻车，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田。已知a、b齿轮啮合且齿轮之间不打滑，b、c齿轮同轴，若a、b、c三齿轮半径的大小关系为ra＝2rb＝4rc，则(　　)
A．齿轮a、b的角速度之比为2∶1
B．齿轮a、c的线速度之比为4∶1
C．齿轮a、b的向心加速度之比为1∶2
D．齿轮a、c的向心加速度之比为1∶4
答案：C
解析：a、b齿轮啮合且齿轮之间不打滑，线速度相同，故ωara＝ωbrb，可得ωa∶ωb＝1∶2，齿轮a、b的向心加速度为aa∶ab＝vaωa∶vbωb＝ωa∶ωb＝1∶2，A错误，C正确；b、c齿轮同轴，角速度相同，故＝，可得vb∶vc＝rb∶rc＝2∶1，则有va∶vc＝vb∶vc＝2∶1，齿轮a、c的向心加速度为aa∶ac＝vaωa∶vcωc＝vaωa∶vcωb＝1∶1，故B、D错误。
课时测评10　向心力与向心加速度
(时间：30分钟　满分：60分)
(选择题，每题5分，共60分)
1.(2024·佛山市高一联考)如图所示，圆弧MON是汽车以恒定速率运动的轨迹，ab过O点与圆弧相切，cd过O点垂直于ab。汽车过O点时，所受合力的方向(　　)
A．由O指向a B．由O指向b
C．由O指向c D．由O指向d
答案：C
解析：由题意，汽车做匀速圆周运动，故其所受合力为向心力，方向总是与速度方向垂直并指向轨迹凹侧。故选C。
2．如图所示，一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，一个物体放在距圆心为r处的P点不动(P点未画出)，关于物体的受力，以下说法正确的是(　　)
A．物体在P点不动，因此不受摩擦力的作用
B．物体随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力的合力充当向心力
C．物体随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对它的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动，物体在P点受到的摩擦力不变
答案：C
解析：由于物体随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能提供向心力，因此物体会受到静摩擦力的作用，且提供向心力，选项A、B错误，C正确；由于物体随圆盘转动半径不变，当圆盘的转速变小时，角速度变小，由F＝mω2r可知，所需向心力变小，在P点受到的静摩擦力变小，且方向始终改变，选项D错误。
3.(多选)如图所示为脱水桶简易模型。若该模型的半径为r＝16 cm，以角速度ω＝50 rad/s做匀速圆周运动，质量为10 g的小物体随桶壁一起转动，下列说法正确的是(　　)
A．脱水桶桶壁上某点的线速度大小为8 m/s
B．脱水桶桶壁上某点的线速度大小为6.25 m/s
C．小物体对桶壁的压力为4 N
D．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力
答案：AC
解析：脱水桶桶壁上某点的线速度大小为v＝ωr＝8 m/s，故A正确，B错误；桶壁对小物体的弹力提供向心力，大小为FN＝mω2r＝4 N，根据牛顿第三定律可知，小物体对桶壁的压力为4 N，故C正确；小物体受到重力、弹力、摩擦力的作用，向心力是效果力，不是物体受到的力，故D错误。
4.(2024·广州市高一期末)如图为某电影中空间站模拟地球重力的装置。环形实验装置的外侧壁相当于“地板”，让环形实验装置绕O点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g，装置的外半径为R)(　　)
A． B．
C．2 D．
答案：A
解析：由于地球上的物体受重力和地面的支持力处于平衡状态，有FN＝mg，在空间站模拟地球重力的装置能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，那么环形实验装置的外侧壁给的支持力提供向心力，这个支持力大小应该刚好与地球上的重力大小相等，即有FN＝mg＝mω2R，由上式解得ω＝ ，故选A。
5.如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列几种说法中正确的是(　　)
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
答案：A
解析：A、B为球体表面上两点，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，
A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝R sin 60 ，B运动的半径rB＝R sin 30 ，＝＝＝，B错误；＝＝，D错误。
6.如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则(　　)
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
答案：D
解析：传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，则A∶B＝1∶1，A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，则ωB∶ωC＝1∶1，B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由a＝可知A、B两点的向心加速度大小之比为aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，C错误；由于B、C两点的角速度相等，由a＝ω2R可知B、C两点的向心加速度大小之比为aB∶aC＝RB∶RC＝1∶2，又aA∶aB＝1∶2，所以aA∶aC＝1∶4，D正确。
7.(2024·湛江市高一期中)下列说法中正确的是(　　)
A．匀速圆周运动是一种匀变速运动
B．物体受到恒定的合外力，不可能做匀速圆周运动
C．所有做圆周运动的物体，它所受的合外力一定是指向圆心的
D．因为物体做圆周运动，所以产生了向心力
答案：B
解析：匀速圆周运动的加速度在不断变化，不是匀变速运动，A错误；匀速圆周运动所需向心力指向圆心，即所受合外力方向需不断变化，物体受到恒定的合外力，不可能做匀速圆周运动，B正确；做匀速圆周运动的物体，所受的合外力指向圆心，做变速圆周运动的物体所受合外力不指向圆心，C错误；物体因为受到指向圆心的力提供向心力，所以做圆周运动，不是因为物体做圆周运动，所以产生了向心力，D错误。故选B。
8.如图所示，两个质量相同的小球用长度相等的细线拴在同一点，并在各自水平面内做匀速圆周运动，则下列说法错误的是(　　)
A．A的角速度较大 B．A的周期较大
C．A的线速度较大 D．A的向心加速度较大
答案：B
解析：依题意，设绳长为L，绳与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律有mg tan θ＝mω2Lsin θ＝mL sin θ＝m＝ma，可得角速度ω＝ ，周期T＝2π，线速度v＝，向心加速度a＝g tan θ，由题图可知θA>θB，所以可得ωA>ωB，TAvB，aA>aB，故A、C、D正确，B错误。本题选择错误的，故选B。
9.(多选)(2024·湛江市高一联考)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗光滑钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直，无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则(　　)
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球所受的拉力不变
答案：AC
解析：当悬线碰到钉子后的瞬间，小球水平方向不受力，则由于惯性，小球的线速度没有变化，根据v＝ωr，小球的转动半径减小，则角速度变大，故A正确，B错误；小球的转动半径变为原来的一半，根据a＝，则向心加速度突然增大到原来的2倍，由牛顿第二定律有FT－mg＝m，则悬线所受的拉力也突然增大，故C正确，D错误。故选AC。
10.(2024·广州市高一期中)小明同学的质量为m(视为质点)，她在荡秋千时，A和B分别为其运动过程中的最低点和最高点，如图所示。两根秋千绳长均为L，小明运动到A位置时的速度大小为v，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，不计秋千绳受到的重力，下列说法正确的是(　　)
A．在B位置时，小明所受的合力为零
B．在A位置时，小明处于失重状态
C．在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为
D．在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为
答案：C
解析：在B位置时，小明受到重力和秋千绳的拉力，合力不为零，故A错误；在A位置时，重力和秋千绳拉力的合力产生向上的向心加速度，小明处于超重状态，故B错误；在A位置时，由牛顿第二定律可得2F－mg＝m，可知每根秋千绳的拉力大小为F＝，故C正确，D错误。故选C。
11.(多选)(2024·揭阳市高一期末)在工业生产中会应用到偏心轮，偏心轮就是以轮上某个非圆心点为轴转动，如图所示，一个偏心轮的转轴为O，以O为圆心的一个圆内切于偏心轮，且经过偏心轮圆心P，A和B是偏心轮边缘的两点，且AP⊥OB于P，则下列说法中正确的是(　　)
A．A、B的角速度大小相等
B．A、B的线速度大小之比∶3
C．A、P的向心加速度大小相等
D．A、B的向心加速度方向相同
答案：AB
解析：A、B两点在同一偏心轮上，故周期与角速度均相等，A正确；设偏心轮半径为r，则A、B运动半径分别为rA＝＝r，rB＝＋r＝r，根据v＝ωr可知，A、B的线速度大小之比为vA∶vB＝rA∶rB＝∶3，B正确；P点运动半径为，根据a＝ω2r可知，A、P的向心加速度大小之比为aA∶aP＝rA∶rP＝∶1，C错误；向心加速度方向指向圆心，则A、B的向心加速度方向不相同，D错误。故选AB。
12.(2024·珠海市高一期中)如图甲所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，这个过程简化为图乙中的情景，水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物体相对木板始终静止，下列说法正确的是 ( )
A．在最低点时，物体所受支持力等于物块的重力
B．物体所受合外力不变
C．除c、d两点外，物体都要受摩擦力
D．c、d两点，物体所受支持力相同
答案：C
解析：物体做匀速圆周运动，向心力大小始终不变，根据牛顿第二定律，在c点有mg-FNc=F向，解得FNc=mg-F向≠mg，在d点有FNd-mg=F向，解得FNd=F向+mg≠FNc，故 A、D 错误；物体所受合外力提供向心力，大小不变，但方向始终变化，故B错误；物体所受重力和支持力始终在竖直方向，而向心力方向始终指向圆心，只有在c、d 两点，仅靠重力和支持力的合力就可以提供向心力，而除c、d两点外，物体都要受摩擦力，才能使合外力指向圆心，故 C正确。故选 C。
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第2课时　向心力与向心加速度
　　　　
第二章　第二节　向心力与向心加速度
1．掌握向心力的表达式，会应用公式进行计算。　
2．会分析向心力的来源。　
3．理解向心加速度的概念。　
4．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
素养目标
知识点一　向心力的来源分析与计算
情境导入　(1)随水平圆台一起匀速转动的人或物体
需要的向心力由什么力提供？
提示：由圆台对人或物体的静摩擦力提供。
(2)当转动的角速度变大后，人仍与转盘保持相对静止，
人受到的摩擦力大小怎样变化？
提示：当人转动的角速度变大后，由F＝mω2r可知需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
自主学习
方向
大小
3．常见物理情境中向心力的来源
实例 向心力 示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝FT＋G

用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝FT

物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝f

小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合

课堂探究
师生互动　如图所示，月球绕地球做匀速圆周运动时，它受到了指向圆心的力的作用吗？
提示：它受到了指向圆心的力的作用，即地球对月球引力。
例1
√
√

√
√
返回
知识点二　向心加速度
情境导入　如图甲所示，地球绕太阳转动可近似看作匀速圆周运动；如图乙所示，光滑桌面上有一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
提示：地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
自主学习
(2)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
提示：由于地球和小球的加速度方向总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
圆心
垂直
相同
ω2r

师生互动　1．在变速圆周运动中，物体所受外力 F
可分解为跟圆周相切的分力Ft和指向圆心的分力Fn。
任务1.试分析两个分力的作用；
提示：Ft与物体运动的速度同向，使物体的速度越来
越大；Fn指向圆心，提供物体做圆周运动所需的向心
力，改变物体速度的方向。
任务2.该物体加速度指向圆心吗 试分析加速度的两个分量的物理意义。
提示：在变速圆周运动中，加速度a与F方向相同，不指向圆心;切向加速度at表示速度大小变化的快慢；向心加速度an表示速度方向变化的快慢。
课堂探究
角度1　向心加速度的理解
(多选)下列关于向心加速度的说法正确的是
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
√
例2
√
√
向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故 A、B正确;物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不指向圆心，故 D正确，C错误。
探究归纳
1．向心加速度的物理意义
描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
2．圆周运动的性质
不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
探究归纳
3．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度。向心加速度改变速度的方向，切向加速度改变速度的大小。在变速圆周运动中，向心加速度的方向总是指向圆心。
例3
√
探究归纳
1．向心加速度的几种表达式
探究归纳
针对练.(2024·广州市第二中学高一校考期中)如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图乙中所示的模型。A、B是转动的大小齿轮边缘的两点，C是大齿轮上的一点。大齿轮上B、C的半径分别为3r、r，小齿轮上A的半径为2r，则A、B、C三点
A．线速度大小之比是3∶3∶1
B．加速度大小之比是6∶3∶1
C．角速度之比是2∶3∶3
D．转动周期之比是3∶2∶2
√

返回
知识点三　圆周运动的动力学分析
2．变速圆周运动的动力学分析
(1)物体受到的沿半径方向的合力提供向心力，产生向心加速度，改变速度的方向。
(2)物体受到的沿切线方向的合力产生切向加速度，改变速度的大小。
例4



探究归纳
几种常见的圆周运动模型
情境 受力分析 力的分解方法 满足的方程

探究归纳
情境 受力分析 力的分解方法 满足的方程


探究归纳
情境 受力分析 力的分解方法 满足的方程

针对练1.如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内
壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内
做匀速圆周运动。以下关于A、B两球做圆周运动时的线速
度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的
压力(FNA、FNB)的关系式正确的是
A．vA>vB B．ωA>ωB
C．aA>aB D．FNA>FNB
√

√

返回
随堂演练　对点落实
√
√

2.把一个小球放在光滑的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球沿
漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。如图所示，关于小
球的受力情况，下列说法正确的是
A．受重力、漏斗壁的支持力
B．受重力、漏斗壁的支持力及向心力
C．受重力、漏斗壁的支持力、摩擦力及向心力
D．小球受到的合力为零
√
小球受重力和支持力两个力的作用，这两个力的合力提供向心力，故A正确，B、C、D错误。
3.飞机驾驶员所能承受的压力最大等于9倍的重力，如图所示，飞机在竖直平面内沿圆弧轨道俯冲做特技表演，若飞机在最低点时速度大小为360 km/h，则为保证驾驶员安全，飞机俯冲圆弧轨道的最小半径为(取g＝10 m/s2)
A．500 m B．125 m
C．111 m D．250 m
√

4．(2024·湛江市高一期末)明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转。”如图所示为牛力齿轮翻车，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田。已知a、b齿轮啮合且齿轮之间不打滑，b、c齿轮同轴，若a、b、c三齿轮半径的大小关系为ra＝2rb＝4rc，则
A．齿轮a、b的角速度之比为2∶1
B．齿轮a、c的线速度之比为4∶1
C．齿轮a、b的向心加速度之比为1∶2
D．齿轮a、c的向心加速度之比为1∶4
√
返回
课时测评
1.(2024·佛山市高一联考)如图所示，圆弧MON是汽车以恒定速率运动的轨迹，ab过O点与圆弧相切，cd过O点垂直于ab。汽车过O点时，所受合力的方向
A．由O指向a B．由O指向b
C．由O指向c D．由O指向d
√
由题意，汽车做匀速圆周运动，故其所受合力为向心力，方向总是与速度方向垂直并指向轨迹凹侧。故选C。
2．如图所示，一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速
转动，一个物体放在距圆心为r处的P点不动(P点未画
出)，关于物体的受力，以下说法正确的是
A．物体在P点不动，因此不受摩擦力的作用
B．物体随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力的合力充当向心力
C．物体随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对它的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动，物体在P点受到的摩擦力不变
√
由于物体随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，
该力一定指向圆心，而重力和支持力在竖直方向上，
它们不能提供向心力，因此物体会受到静摩擦力的
作用，且提供向心力，选项A、B错误，C正确；由
于物体随圆盘转动半径不变，当圆盘的转速变小时，角速度变小，由F＝mω2r可知，所需向心力变小，在P点受到的静摩擦力变小，且方向始终改变，选项D错误。
3.(多选)如图所示为脱水桶简易模型。若该模型的半径为r＝16 cm，以角速度ω＝50 rad/s做匀速圆周运动，质量为10 g的小物体随桶壁一起转动，下列说法正确的是
A．脱水桶桶壁上某点的线速度大小为8 m/s
B．脱水桶桶壁上某点的线速度大小为6.25 m/s
C．小物体对桶壁的压力为4 N
D．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力
√
√
脱水桶桶壁上某点的线速度大小为v＝ωr＝8 m/s，故A正确，B错误；桶壁对小物体的弹力提供向心力，大小为FN＝mω2r＝4 N，根据牛顿第三定律可知，小物体对桶壁的压力为4 N，故C正确；小物体受到重力、弹力、摩擦力的作用，向心力是效果力，不是物体受到的力，故D错误。
√

5.如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列几种说法中正确的是
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
√

6.如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
√

7.(2024·湛江市高一期中)下列说法中正确的是
A．匀速圆周运动是一种匀变速运动
B．物体受到恒定的合外力，不可能做匀速圆周运动
C．所有做圆周运动的物体，它所受的合外力一定是指向圆心的
D．因为物体做圆周运动，所以产生了向心力
√
匀速圆周运动的加速度在不断变化，不是匀变速运动，A错误；匀速圆周运动所需向心力指向圆心，即所受合外力方向需不断变化，物体受到恒定的合外力，不可能做匀速圆周运动，B正确；做匀速圆周运动的物体，所受的合外力指向圆心，做变速圆周运动的物体所受合外力不指向圆心，C错误；物体因为受到指向圆心的力提供向心力，所以做圆周运动，不是因为物体做圆周运动，所以产生了向心力，D错误。故选B。
8.如图所示，两个质量相同的小球用长度相等的细线拴在同一点，并在各自水平面内做匀速圆周运动，则下列说法错误的是
A．A的角速度较大
B．A的周期较大
C．A的线速度较大
D．A的向心加速度较大
√

√
√

√

√
√

12.(2024·珠海市高一期中)如图甲所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，这个过程简化为图乙中的情景，水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物体相对木板始终静止，下列说法正确的是
A．在最低点时，物体所受支持力等于
物块的重力
B．物体所受合外力不变
C．除c、d两点外，物体都要受摩擦力
D．c、d两点，物体所受支持力相同
√
返回
物体做匀速圆周运动，向心力大小始终不
变，根据牛顿第二定律，在c点有mg-FNc=
F向，解得FNc=mg-F向≠mg，在d点有FNd-
mg=F向，解得FNd=F向+mg≠FNc，故 A、D
错误；物体所受合外力提供向心力，大小不变，但方向始终变化，故B错误；物体所受重力和支持力始终在竖直方向，而向心力方向始终指向圆心，只有在c、d 两点，仅靠重力和支持力的合力就可以提供向心力，而除c、d两点外，物体都要受摩擦力，才能使合外力指向圆心，故 C正确。故选 C。

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