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第三节　生活中的圆周运动
【素养目标】　1.会分析汽车转弯过程中向心力的来源，并会求临界速度。　2.会分析火车转弯问题中向心力的来源，并会求火车转弯的规定速度。　3.会求汽车驶过拱形与凹形路面在最高点、最低点时对路面的压力大小。
知识点一　公路弯道
【情境导入】　(1)如图1所示，在公路的弯道处，为什么会挂有减速标志？
(2)如图2所示，在部分公路弯道处，采用外高内低的斜坡式设计，原因是什么？
提示：(1)防止汽车超速引起侧滑。
(2)由汽车所受重力和支持力的合力提供部分向心力，使汽车高速安全通过弯道。
【教材梳理】
汽车转弯时的向心力分析
路面种类 分析 水平路面 内低外高的路面(车轮沿斜坡方向、所受静摩擦力为0时)
受力情况
向心力来源 静摩擦力f 重力和支持力的合力
向心力关系式 f=m mgtanθ=m
速度大小 v= v=
【师生互动】　汽车在倾角为θ的倾斜路面转弯时，若速度大于，汽车受哪些作用力？汽车转弯的最大速度由什么因素限制？
提示：重力、支持力和摩擦力；当摩擦力达到最大静摩擦力时，汽车转弯的速度达到最大，恰好不侧滑。
如图所示，高速公路转弯处弯道半径R=100m，汽车的质量 m=1500kg，重力加速度g=10m/s2。
(1)当汽车以v1=20m/s的速率行驶时，其所需的向心力为多大？
(2)若路面是水平的，已知汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ=，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问汽车转弯时不发生径向滑动所允许的最大速率vm为多少？
(3)通过弯道路面内外高差的合理设计，可实现汽车转弯时刚好不受径向的摩擦力作用的效果。若汽车转弯时仍以(2)中的最大速率vm 运动，则转弯处的路面应怎样设计？ 请计算说明。
答案：(1)6000N (2)5m/s (3)见解析
解析：(1)由题意，根据向心力公式F=m
解得所需向心力F=6000N。
(2)当以最大速率转弯时，最大静摩擦力提供向心力，此时有
fm=μmg=m
解得最大速率vm=5m/s。
(3)若汽车转弯时仍以(2)中的最大速率vm，且要求汽车刚好不受径向的摩擦力作用，则转弯处的路
面应设计成“外高内低”的情况，设路面的斜角为θ，作出汽车的受力示意图，如图所示，根据牛顿第二定律有mgtanθ=m，解得tanθ=，即转弯路面的倾角θ=37°。
知识点二　铁路弯道
【情境导入】　火车轨道和火车轮缘以及火车转弯的示意图如图甲、乙所示。
(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高,火车在转弯时的向心力由什么力提供 会导致怎样的后果
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨,如图丙所示。试从向心力的来源角度分析为什么要这样设计
提示：(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高,火车在竖直方向所受重力与支持力平衡,其向心力由外轨对轮缘的弹力提供;由于火车的质量太大,轮缘与外轨间的相互作用力太大,极易使轨道和车轮受损,还可能使火车侧翻。
(2)如果弯道处外轨略高于内轨,火车在转弯时轨道对火车的支持力FN 的方向不再是竖直的,而是斜向弯道的内侧,它与重力mg 的合力指向圆心,为火车转弯提供一部分向心力,从而减轻轮缘与外轨的挤压。
【教材梳理】 (阅读教材P39—P40完成下列填空)
1．火车转弯时的向心力
火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mg_tan_θ。
2．火车转弯时的设计速度
若火车转弯时只受重力和支持力作用，轮缘不受轨道压力，则mg tan θ＝，可得v0＝(r为道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)。
(1)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力。
(2)当火车行驶速度v【师生互动】 若v0为火车不受轨道侧压力的临界速度，当火车行驶速度大于v0时，轮缘受到哪个轨道的侧向压力 当火车行驶速度小于v0呢
提示：若v>v0，轮缘受到外轨向内的挤压力，外轨易损坏。
若v(2024· 佛山市高一期末)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，以下说法中正确的是 ( )
A．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度也将改变
C．该弯道的半径R=
D．按规定速度行驶时，火车受到的支持力小于自身的重力
答案：C
解析：当火车以规定速率v行驶时，转弯时的向心力由重力与铁轨对火车的支持力提供，由牛顿第二定律得mgtanθ = m，可得R =，v =，可知火车转弯时的规定速度与火车的质量无关，故C正确，B错误;当火车速率大于v时，重力与铁轨对火车的支持力不足以提供向心力，此时外轨对火车轮缘有侧压力，轮缘挤压外轨，故 A 错误;按规定速度行驶时，火车受到的支持力大小为FN =，显然支持力大于重力，故 D错误。
知识点三　拱形与凹形路面
【情境导入】　(1)用两根铁丝弯成如图所示的凹凸桥，把一个小球放在凹桥底部A，调节两轨间的距离，使小球刚好不掉下去，但稍加一点压力，小球就会撑开两轨下落。让小球从斜轨滚下，当小球经过凹桥底部时，你看到了什么？
(2)把凹桥下的搭钩扣上，并让小球在凸桥顶端B静止放置时，刚好能撑开两轨下落。然后，让小球再从斜轨滚下，当球经过凸桥顶端时，你又看到了什么？
提示：(1)小球经过凹桥底部时，从两轨之间掉了下来。
(2)小球经过凸桥顶端时，没有掉下来。
【教材梳理】 (阅读教材P40—P41完成下列填空)
1.汽车过拱形路面(如图甲)
汽车在最高点满足关系
G－FN＝m
即FN＝G－m。
由牛顿第三定律得，汽车对路面的压力FN′＝FN＝G－m，则
(1)当v＝时，FN′＝0。
(2)当0≤v<时，0(3)当v>时，汽车将脱离路面做平抛运动，易发生危险。
说明：汽车通过拱形路面的最高点时，向心加速度竖直向下，汽车对拱形路面的压力小于其自身的重力，而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态。
2.汽车过凹形路面(如图乙)
汽车经过凹形路面最低点时，
满足FN－G＝m
即FN＝G＋m。
由牛顿第三定律得，汽车对路面的压力FN′＝FN＝G＋m，因此汽车对路面的压力大于重力，而且车速越大，压力越大。
【师生互动】　说出汽车过拱形路面或凹形路面时分别处于失重状态，还是超重状态。
提示：汽车过拱形路面时处于失重状态，过凹形路面时处于超重状态。
(2024·深圳市高一校考)有一个质量为m＝1 200 kg的小汽车驶上圆弧半径为r＝40 m的拱桥，重力加速度g取10 m/s2。
(1)汽车到达桥顶时速度为v1＝10 m/s，桥对汽车的支持力是多大？
(2)汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥面没有压力？
(3)假如拱桥的半径增大到与地球半径(约为6 400 km)一样，当汽车的速度不断地增大就会在桥上腾空形成绕地球做圆周运动的卫星，求使汽车成为卫星的最小速度。
答案：(1)9 000 N　(2)20 m/s　(3)8 km/s
解析：(1)设桥对汽车的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律可得mg－FN＝m
解得FN＝9 000 N。
(2)设汽车以速度v2经过桥顶时恰好对桥面没有压力，根据牛顿第二定律可得mg＝m
解得v2＝20 m/s。
(3)设使汽车成为卫星的最小速度为v3，根据牛顿第二定律可得mg＝m
解得v3＝8 km/s。
如图所示，质量为600 kg的汽车通过半径为25 m的凹形桥面时，在最低点桥面对汽车支持力大小是车重的3.5倍，汽车可看作质点，重力加速度为g＝10 m/s2。
(1)求汽车在最低点时的速度大小；
(2)如图所示，这辆汽车以同样大小的速度，通过半径为25 m的拱形桥面的最高点，求此时汽车对桥面的压力大小。
答案：(1)25 m/s　(2)0
解析：(1)汽车通过凹形桥最低点时，向心力方向向上，则有
3．5mg－mg＝m
解得v＝25 m/s。
(2)设汽车恰能通过拱形桥最高点时的速度为v′，则有
mg＝m
解得v′≈15.8 m/s<25 m/s
则汽车脱离桥面，此时桥面对汽车的支持力为0，由牛顿第三定律，汽车对桥面的压力大小也为0。
汽车过凸形桥面时，速度越大，对桥面的压力越小，当压力为零时，将要脱离桥面，存在危险，因此存在驶过凸形桥面的最大速度；汽车驶过凹形桥面时，速度越大，对桥面的压力越大，桥面能承受的压力有限，因此存在驶过凹形桥面的最大速度。
针对练.(多选)(2024·广州市高一期中)周日，一同学和父母一起自驾外出游玩，途中某段路面由两个半径相同的圆弧相切组成，该同学乘坐的汽车(视为质点)以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点B时，汽车对路面的压力大小为其所受重力的。已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A．汽车的速率为
B．汽车的速率为
C．汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为
D．汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为
答案：BC
解析：由受力分析可知汽车在B点时受重力和支持力，由牛顿第三定律可知，汽车在B点时受路面的支持力为mg，则有mg－mg＝，解得汽车的速率v＝，A错误，B正确；汽车在A点时，有FN－mg＝，解得FN＝，由牛顿第三定律可知，汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为，C正确，D错误。故选BC。
1.(2024·佛山市高一校考)如图所示，照片中的汽车做匀速圆周运动通过水平弯道，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.6倍，水平弯道路面的半径为150 m，g取10 m/s2，则运动的汽车(　　)
A．汽车受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B．所受的作用力的合力可能为零
C．汽车在做匀速圆周运动时，速度不变
D．最大速度不能超过30 m/s
答案：D
解析：运动的汽车受到重力、支持力、摩擦力三个力作用，故A错误；汽车在做匀速圆周运动，所受作用力的合力不可能为零，故B错误；汽车在做匀速圆周运动时，速度的大小不变，方向在时刻发生改变，故C错误；由汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.6倍，根据牛顿第二定律有0.6mg＝m，代入数据解得vmax＝30 m/s，故D正确。故选D。
2. (2024·中山市高一统考期末)为了使赛车快速安全通过弯道，有些赛车道转弯处通常设计成赛道表面外侧高，内侧低。某赛道急转弯处是一圆弧，赛道表面倾角为θ，如图所示，当赛车行驶的速率为v时，恰好没有向赛道内、外两侧滑动的趋势。则在该弯道处(　　)
A．赛车受到重力、支持力和向心力
B．赛车所需的向心力等于其所受地面的支持力
C．车速高于v，车辆便会向弯道外侧滑动
D．若弯道半径不变，设计的θ角变小，则v的值变小
答案：D
解析：赛车受到重力、支持力的作用，合力提供向心力，故A、B错误；速度高于v时，摩擦力指向内侧，只要速度不超出最高限度，车辆不会侧滑，故C错误；根据合力提供向心力有mg tan θ＝m，解得v＝，所以若弯道半径不变，设计的θ角变小，则v的值变小，故D正确。故选D。
3.(鲁科版P79T5改编)如图所示，凸形桥为一段半径为15 m的圆弧，汽车运动到桥顶时对桥面的压力大小等于其所受重力大小的，重力加速度g＝10 m/s2，则汽车通过桥顶时的速度大小为(　　)
A．10 m/s B．15 m/s
C．10 m/s D．20 m/s
答案：A
解析：由牛顿第二定律可得mg－FN＝m，其中FN＝mg，解得v＝10 m/s，故选A。
4．(2024·东莞市高一统考期末)如图为汽车越野赛的一段赛道，一辆质量为m的汽车以相同的速率先后通过a、b、c三点，其中a、c为凹形路面的最低点，a、b、c三处均可近似看成圆弧且a处半径最大，下列说法正确的是(　　)
A．汽车在a、b、c三点的胎压大小关系为pa>pb>pc
B．汽车在a、b、c三点的胎压大小关系为pc>pb>pa
C．汽车在c点受到重力、支持力、牵引力、阻力和向心力
D．判断汽车在a、b、c三点的胎压大小时用到的核心物理规律是牛顿第二定律
答案：D
解析：设路面对汽车的支持力为FN，汽车在a、c两点，根据牛顿第二定律有FN－mg＝m，解得FN＝mg＋m，由于汽车速率相同，而Ra>Rc，因此可得FNapa>pb，故A、B错误。汽车在c点受到重力、支持力、牵引力和阻力，向心力为效果力，由重力与支持力的合力提供，故C错误。根据以上分析可知，在判断汽车在a、b、c三点的胎压大小时用到的核心物理规律是牛顿第二定律，故D正确。故选D。
课时测评11　生活中的圆周运动
(时间：30分钟　满分：60分)
(选择题1－8题，每题5分，共40分)
1.如图所示，汽车在某一水平路面上做匀速圆周运动，已知汽车做圆周运动的轨道半径约为50 m，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的，则运动的汽车(g＝10 m/s2)(　　)
A．所受的合力可能为零
B．只受重力和地面支持力作用
C．所需的向心力由重力和支持力的合力提供
D．速度不能超过20 m/s
答案：D
解析：由汽车做匀速圆周运动，合力提供向心力可知，汽车所受的合力不可能为零，A错误；汽车在竖直方向没有运动，故重力和地面支持力的合力为零，汽车受到的静摩擦力提供向心力，B、C错误；最大静摩擦力提供向心力时，汽车的速度最大，有mg＝，代入数据解得vmax＝20 m/s，D正确。
2．(2024·惠州市高一校考)一辆汽车以18 m/s的速度匀速经过一段水平弯道，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，汽车可视为质点，重力加速度＝10 m/s2。若汽车进入弯道后不侧滑，则弯道的半径(　　)
A．不小于54 m B．不大于54 m
C．不小于30 m D．不大于30 m
答案：A
解析：汽车经过弯路时向心力小于或等于最大静摩擦力，有μmg≥m，代入数据解得R≥54 m；为保证汽车进入弯道后不侧滑，则弯道的半径不小于54 m，故选A。
3.(2024·广州市高一期末)山崖边的公路常常被称为最险公路，某弯道如图所示，外圈临悬崖，内圈靠山，为了减小弯道行车安全隐患，弯道路面往往设计成倾斜的。某汽车在这样的弯道转弯，下列说法正确的是(　　)
A．汽车以恒定速率转弯时，做匀变速曲线运动
B．汽车以恒定速率转弯时，转弯半径越大，所需向心力越大
C．为了减小弯道行车安全隐患，弯道路面应该设计成内低外高
D．因弯道路面倾斜，汽车转弯时一定不需要摩擦力提供向心力
答案：C
解析：汽车以恒定速率转弯时，汽车的加速度大小不变，方向时刻发生变化，汽车做变加速曲线运动，故A错误；汽车以恒定速率转弯时，根据F＝m，可知转弯半径越大，所需向心力越小，故B错误；为了减小弯道行车安全隐患，弯道路面应该设计成内低外高，使路面支持力有指向圆心的分力，故C正确；弯道路面倾斜，因汽车转弯时的速度不一样，所以有可能需要摩擦力提供向心力，故D错误。故选C。
4.(多选)(2024·惠州市高一统考期中)火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图所示。若已知某转弯处轨道平面与水平面夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R。在该转弯处规定的安全行驶的速度为v，则下列说法中正确的是(　　)
A．该转弯处规定的安全行驶的速度为v＝
B．该转弯处规定的安全行驶的速度为v＝
C．当实际行驶速度大于v时，轮缘挤压内轨
D．当实际行驶速度小于v时，轮缘挤压内轨
答案：AD
解析：火车以转弯处规定的安全速度v行驶时，内、外轨道均不受侧压力作用，火车所受的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示，
根据牛顿第二定律得mg tan θ＝m，解得v＝，故A正确，B错误；当实际行驶速度大于v时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，轮缘挤压外轨，故C错误；当实际行驶速度小于v时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有近心趋势，轮缘挤压内轨，故D正确。故选AD。
5.(多选)(2024·汕尾市高一统考期末)如图所示，一汽车在某次性能测试中需通过一半径R＝15 m拱桥，要求汽车经过最高点时不能离开桥面，取g＝10 m/s2时的速度符合要求的是(　　)
A．20 km/h B．30 km/h
C．40 km/h D．50 km/h
答案：ABC
解析：汽车过拱桥时做圆周运动，恰好不离开桥面，即最大向心力等于车的重力，根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v＝＝ m/s≈12.25 m/s＝44.1 km/h，只要速度比上述结果小即可， 故选ABC。
6.(多选)城市公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”，如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时(　　)
A．汽车所需的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供
B．车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力
C．桥对车的支持力小于汽车的重力
D．为了防止爆胎，车应高速驶过
答案：AB
解析：由题意得，汽车通过凹形桥的最低点时所需要的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供，即FN－mg＝，即桥对车的支持力大于汽车的重力，车处于超重状态，则为了防止爆胎，车应减速驶过，故A正确，C、D错误；因为车内乘员也处于超重状态，则座位对其支持力大于其重力，由牛顿第三定律得，车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力，故B正确。
7.一辆汽车先后通过拱形桥与凹形桥，下列说法正确的是(　　)
A．汽车驶过拱形桥顶部时，对桥面的压力等于车重
B．汽车驶过拱形桥顶部时，对桥面的压力大于车重
C．汽车行驶至凹形桥底部时，汽车处于失重状态
D．汽车行驶至凹形桥底部时，汽车处于超重状态
答案：D
解析：汽车驶过拱形桥顶部时，汽车的重力与桥面的支持力提供汽车的向心力，即mg－FN＝m，求得FN＝8.一辆汽车匀速率通过一座圆弧形凹形桥后，接着又以相同速率通过一座圆弧形拱形桥。设两圆弧半径相等，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力FN1，其大小为车重的1.5倍，汽车通过拱形桥的桥顶时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为(　　)
A．3∶1 B．3∶2
C．1∶3 D．1∶2
答案：A
解析：汽车过拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN2′＝FN2，所以由牛顿第二定律可得mg－FN2′＝m；同理，FN1′＝FN1，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有FN1′－mg＝m，而FN1＝mg，联立以上各式解得FN2＝mg，所以FN1∶FN2＝3∶1，故选A。
9.(8分)(2024·梅州市高一校考)如图所示，高速公路转弯处弯道半径R＝100 m，汽车的质量m＝1 500 kg，重力加速度g取10 m/s2。
(1)当汽车以v1＝10 m/s的速率行驶时，其所需的向心力为多大？
(2)若路面是水平的，已知汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.4，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多少？
答案：(1)1 500 N　(2)20 m/s
解析：(1)由题意得F＝m＝1 500× N＝1 500 N
故汽车所需向心力为1 500 N。
(2)当以最大速率转弯时，最大静摩擦力提供向心力，此时有fm＝μmg＝m
由此解得最大速率为vm＝20 m/s
故汽车转弯时不发生径向滑动所允许的最大速率为20 m/s。
10.(12分)如图所示，摩托车沿曲面冲上高0.8 m、顶部水平的高台，接着以v＝3 m/s水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，已知圆弧半径为R＝1.0 m，人和车的总质量为180 kg，特技表演的全过程中，阻力忽略不计，人与车一直没有分离，人和车这个整体可以看成质点。(计算中取g＝10 m/s2，sin 37 ＝0.6，cos 37 ＝0.8，sin 53 ＝0.8，cos 53 ＝0.6)求：
(1)从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s；
(2)人与车整体在A点时的速度大小和方向；
(3)若人与车整体运动到圆弧轨道最低点O时，速度为v′＝8 m/s，求此时对轨道的压力大小。
答案：(1)1.2 m　(2)5 m/s　与水平方向的夹角为53
(3)13 320 N
解析：(1)人和车做的是平抛运动，根据平抛运动的规律可得
竖直方向上H＝gt2
水平方向上s＝vt
可得t＝0.4 s，s＝1.2 m。
(2)摩托车落至A点时，其竖直方向的分速度vy＝gt＝4 m/s
到达A点时速度vA＝＝5 m/s
设摩托车落至A点时，速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝
解得α＝53 。
(3)在最低点O，受力分析可得FN－mg＝m
解得FN＝13 320 N
由牛顿第三定律可知，人和车在最低点O时对轨道的压力为13 320 N。
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第三节　生活中的圆周运动
　　　　
第二章　圆周运动
1．会分析汽车转弯过程中向心力的来源，并会求临界速度。　
2．会分析火车转弯问题中向心力的来源，并会求火车转弯的规定速度。　
3．会求汽车驶过拱形与凹形路面在最高点、最低点时对路面的压力大小。
素养目标
知识点一　公路弯道
自主学习
情境导入　(1)如图1所示，在公路的
弯道处，为什么会挂有减速标志？
提示：防止汽车超速引起侧滑。
(2)如图2所示，在部分公路弯道处，
采用外高内低的斜坡式设计，原因是什么？
提示：由汽车所受重力和支持力的合力提供部分向心力，使汽车高速安全通过弯道。
教材梳理　
汽车转弯时的向心力分析
路面种类
分析 水平路面 内低外高的路面(车轮沿斜坡方向、所受静摩擦力为0时)
受力情况
向心力来源 __________ ____________________
向心力关系式
速度大小
静摩擦力f
重力和支持力的合力
mgtanθ
课堂探究
如图所示，高速公路转弯处弯道半径R=100m，汽车的质量 m=1500kg，重力加速度g=10m/s2。
(1)当汽车以v1=20m/s的速率行驶时，其所需的向心力为多大？
答案：6000N
例1
(3)通过弯道路面内外高差的合理设计，可实现汽车转弯时刚好不受径向的摩擦力作用的效果。若汽车转弯时仍以(2)中的最大速率vm 运动，则转弯处的路面应怎样设计？ 请计算说明。

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知识点二　铁路弯道
自主学习
情境导入　火车轨道和火车轮缘以及火车
转弯的示意图如图甲、乙所示。
(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车
在转弯时的向心力由什么力提供？ 会导致
怎样的后果？
提示：如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外轨对轮缘的弹力提供；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，极易使轨道和车轮受损，还可能使火车侧翻。
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，如图
丙所示。试从向心力的来源角度分析为什么要这
样设计？
提示：如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯
时轨道对火车的支持力FN 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力mg 的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力，从而减轻轮缘与外轨的挤压。
mg tan θ


课堂探究
师生互动 若v0为火车不受轨道侧压力的临界速度，当火车行驶速度大于v0时，轮缘受到哪个轨道的侧向压力？ 当火车行驶速度小于v0呢
提示：若v>v0，轮缘受到外轨向内的挤压力，外轨易损坏。
若v√
例2
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知识点三　拱形与凹形路面
情境导入　(1)用两根铁丝弯成如图所示的凹凸
桥，把一个小球放在凹桥底部A，调节两轨间
的距离，使小球刚好不掉下去，但稍加一点压
力，小球就会撑开两轨下落。让小球从斜轨滚
下，当小球经过凹桥底部时，你看到了什么？
提示：小球经过凹桥底部时，从两轨之间掉了下来。
(2)把凹桥下的搭钩扣上，并让小球在凸桥顶端B静止放置时，刚好能撑开两轨下落。然后，让小球再从斜轨滚下，当球经过凸桥顶端时，你又看到了什么？
提示：小球经过凸桥顶端时，没有掉下来。
自主学习
G－FN
0
说明：汽车通过拱形路面的最高点时，向心加速度竖直向下，汽车对拱形路面的压力小于其自身的重力，而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态。
FN－G
大于
大
师生互动　说出汽车过拱形路面或凹形路面时分别处于失重状态，还是超重状态。
提示：汽车过拱形路面时处于失重状态，过凹形路面时处于超重状态。
课堂探究
　 　(2024·深圳市高一校考)有一个质量为m＝1 200 kg的小汽车驶上圆弧半径为r＝40 m的拱桥，重力加速度g取10 m/s2。
(1)汽车到达桥顶时速度为v1＝10 m/s，桥对汽车的支持力是多大？
答案：9 000 N　
例3

(2)汽车以多大的速度经过桥顶时恰
好对桥面没有压力？
答案：20 m/s　
(3)假如拱桥的半径增大到与地球半径(约为6 400 km)一样，当汽车的速度不断地增大就会在桥上腾空形成绕地球做圆周运动的卫星，求使汽车成为卫星的最小速度。
答案：8 km/s
　 　如图所示，质量为600 kg的汽车通过半径为25 m的凹形桥面时，在最低点桥面对汽车支持力大小是车重的3.5倍，汽车可看作质点，重力加速度为g＝10 m/s2。
(1)求汽车在最低点时的速度大小；
答案：25 m/s　
例4
(2)如图所示，这辆汽车以同样大小的速度，通
过半径为25 m的拱形桥面的最高点，求此时汽
车对桥面的压力大小。
答案：0

探究归纳
　　汽车过凸形桥面时，速度越大，对桥面的压力越小，当压力为零时，将要脱离桥面，存在危险，因此存在驶过凸形桥面的最大速度；汽车驶过凹形桥面时，速度越大，对桥面的压力越大，桥面能承受的压力有限，因此存在驶过凹形桥面的最大速度。
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随堂演练　对点落实
1.(2024·佛山市高一校考)如图所示，照片中的汽车
做匀速圆周运动通过水平弯道，假设汽车受到的最
大静摩擦力等于车重的0.6倍，水平弯道路面的半径
为150 m，g取10 m/s2，则运动的汽车
A．汽车受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B．所受的作用力的合力可能为零
C．汽车在做匀速圆周运动时，速度不变
D．最大速度不能超过30 m/s
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2.(2024·中山市高一统考期末)为了使赛车快速安全通过弯道，有些赛车道转弯处通常设计成赛道表面外侧高，内侧低。某赛道急转弯处是一圆弧，赛道表面倾角为θ，如图所示，当赛车行驶的速率为v时，恰好没有向赛道内、外两侧滑动的趋势。则在该弯道处
A．赛车受到重力、支持力和向心力
B．赛车所需的向心力等于其所受地面的支持力
C．车速高于v，车辆便会向弯道外侧滑动
D．若弯道半径不变，设计的θ角变小，则v的值变小
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4．(2024·东莞市高一统考期末)如图为汽车越野赛的一段赛道，一辆质量为m的汽车以相同的速率先后通过a、b、c三点，其中a、c为凹形路面的最低点，a、b、c三处均可近似看成圆弧且a处半径最大，下列说法正确的是
A．汽车在a、b、c三点的胎压大小关系为pa>pb>pc
B．汽车在a、b、c三点的胎压大小关系为pc>pb>pa
C．汽车在c点受到重力、支持力、牵引力、阻力和向心力
D．判断汽车在a、b、c三点的胎压大小时用到的核心物理规律是牛顿第二定律
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课时测评
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2．(2024·惠州市高一校考)一辆汽车以18 m/s的速度匀速经过一段水平弯道，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，汽车可视为质点，重力加速度＝10 m/s2 。若汽车进入弯道后不侧滑，则弯道的半径
A．不小于54 m B．不大于54 m
C．不小于30 m D．不大于30 m
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3.(2024·广州市高一期末)山崖边的公路常常被称为最险公路，某弯道如图所示，外圈临悬崖，内圈靠山，为了减小弯道行车安全隐患，弯道路面往往设计成倾斜的。某汽车在这样的弯道转弯，下列说法正确的是
A．汽车以恒定速率转弯时，做匀变速曲线运动
B．汽车以恒定速率转弯时，转弯半径越大，所需向心力越大
C．为了减小弯道行车安全隐患，弯道路面应该设计成内低外高
D．因弯道路面倾斜，汽车转弯时一定不需要摩擦力提供向心力
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5.(多选)(2024·汕尾市高一统考期末)如图所示，一汽车在某次性能测试中需通过一半径R＝15 m拱桥，要求汽车经过最高点时不能离开桥面，取g＝10 m/s2时的速度符合要求的是
A．20 km/h B．30 km/h
C．40 km/h D．50 km/h
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6.(多选)城市公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”，如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时
A．汽车所需的向心力由车受到的支持力和重力的合力提供
B．车内乘员对座位向下的压力大于自身的重力
C．桥对车的支持力小于汽车的重力
D．为了防止爆胎，车应高速驶过
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7.一辆汽车先后通过拱形桥与凹形桥，下列说法
正确的是
A．汽车驶过拱形桥顶部时，对桥面的压力等于
车重
B．汽车驶过拱形桥顶部时，对桥面的压力大于车重
C．汽车行驶至凹形桥底部时，汽车处于失重状态
D．汽车行驶至凹形桥底部时，汽车处于超重状态
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8.一辆汽车匀速率通过一座圆弧形凹形桥后，接着又以相同速率通过一座圆弧形拱形桥。设两圆弧半径相等，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力FN1 ，其大小为车重的1.5倍，汽车通过拱形桥的桥顶时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为
A．3∶1 B．3∶2
C．1∶3 D．1∶2
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9.(8分)(2024·梅州市高一校考)如图所示，高速公路转
弯处弯道半径R＝100 m，汽车的质量m＝1 500 kg，
重力加速度g取10 m/s2 。
(1)当汽车以v1 ＝10 m/s的速率行驶时，其所需的向心力为多大？
答案：1 500 N　

(2)若路面是水平的，已知汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.4，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多少？
答案：20 m/s

10.(12分)如图所示，摩托车沿曲面冲上高0.8 m、顶部水平的高台，接着以v＝3 m/s水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，已知圆弧半径为R＝1.0 m，人和车的总质量为180 kg，特技表演的全过程中，阻力忽略不计，人与车一直没有分离，人和车这个整体可以看成质点。(计算中取g＝10 m/s2，sin 37 ＝0.6，cos 37 ＝0.8，sin 53 ＝0.8，cos 53 ＝0.6)求：
(1)从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s；
答案：1.2 m　
(2)人与车整体在A点时的速度大小和方向；
答案：5 m/s　与水平方向的夹角为53

(3)若人与车整体运动到圆弧轨道最低点O时，速度为v′＝8 m/s，求此时对轨道的压力大小。
答案：13 320 N

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