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第五节　机械能守恒定律
【素养目标】　1.知道什么是机械能，能够分析动能与势能(包括重力势能和弹性势能)之间的相互转化问题。
2．会根据守恒的条件判断机械能是否守恒。　3.能应用机械能守恒定律解决相关问题。
知识点一　机械能守恒定律
【情境导入】　如图所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面。
(1)从A至B的过程中，物体受到哪些力？它们做功情况如何？
(2)试写出物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)从A至B列动能定理，通过该式比较物体在A、B处的机械能的大小。
提示：(1)物体受到重力、支持力作用。重力做正功，支持力不做功。
(2)EA＝
EB＝。
(3)由动能定理得WG＝
又WG＝mgh1－mgh2
联立以上两式可得＋mgh2＝＋mgh1
即EB＝EA。
【教材梳理】(阅读教材P100—P102完成下列填空)
1．机械能：动能与势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能。
2．重力势能与动能的转化
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能。
3．弹性势能与动能的转化
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能。
4．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能发生相互转化，而系统的机械能总量保持不变。
(2)表达式：Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2。
(3)条件：①系统只受重力或弹力。
②除了重力和弹力外，系统还受其他力，但其他力合力为0。
③除了重力和弹力外，系统受其他力的合力不为0，但其他力做功的代数和为0。
以上三个条件只要满足其一，即可判断系统机械能守恒。
【师生互动】　跳伞运动员匀速下降时，他和装备的机械能是否守恒？能不能说合外力为零，或合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒？
提示：不守恒；匀速下降，动能不变，重力势能减小，机械能减小。不能；因为跳伞运动员匀速下降时所受合外力为零，合外力做功也为零，但其机械能不守恒。
(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
A．甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，物体和弹簧组成的系统机械能守恒(不计空气阻力)
B．乙图中，物体在大小等于摩擦力的沿斜面向下的拉力F作用下沿斜面下滑时，物体机械能守恒
C．丙图中，物体沿斜面匀速下滑的过程中，物体机械能守恒
D．丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒
答案：ABD
解析：题图甲中，只有重力和弹簧弹力对系统做功，系统机械能守恒，A正确；题图乙中，物体在大小等于摩擦力的沿斜面向下的拉力F作用下沿斜面下滑时，由于力F做的正功等于摩擦力做的负功，则力F与摩擦力做功的代数和为零，物体机械能守恒，B正确；题图丙中，物体沿斜面匀速下滑的过程中，动能不变，重力势能减小，物体机械能减小，C错误；题图丁中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中只有重力做功，物体机械能守恒，D正确。
判断机械能是否守恒的方法
1．利用机械能的定义直接判断：若动能和势能中，一种能变化，另一种能不变，则其机械能一定变化。
2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。
3．用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则系统的机械能守恒。
针对练1.关于机械能守恒的叙述，下列说法正确的是(　　)
A．做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒
B．物体所受的合力不等于零，机械能可能守恒
C．物体做匀速直线运动，机械能一定守恒
D．物体所受合力做功为零，机械能一定守恒
答案：B
解析：若物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故A错误；物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒，例如物体
做自由落体运动，故B正确；物体在竖直方向做匀速直线运动时，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故C错误；物体所受合力做功为零，它的动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故D错误。
针对练2.(2024·茂名市高一统考期末)如图所示，一小球从竖直固定轻质弹簧的上端某一高度P点自由下落，小球在A点与弹簧接触，B点为到达的最低点，重力加速度为g，则在小球下落过程中下列说法正确的是(　　)
A．小球到达A点时动能最大
B．从P到B的过程中，小球的机械能守恒
C．从A到B的过程中，弹簧的机械能守恒
D．若增大P点到A的距离，则小球下降的最低点的位置下降
答案：D
解析：小球到达A点时仍会加速下降，直到满足mg＝kx，即弹簧向上的弹力等于重力时，速度最大，动能最大，A错误；从P到B的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，从A到B的过程中，弹簧的弹性势能不断增大，小球的机械能不断减小，B、C错误；若增大P点到A的距离，即增大小球的重力势能，增大系统的机械能，则到达最低点时弹簧的弹性势能增大，即小球下降的最低点的位置下降，D正确。故选D。
知识点二　机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从守恒的 角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须先选参考平面
从转化 角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量(减少量)等于势能的减少量(增加量) —
从转移 角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加(减少)的机械能等于B减少(增加)的机械能 不必选参考平面
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律的表达式列方程并求解。
如图所示，质量m＝60 kg 的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求：
(1)运动员在A点时的机械能；
(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。
答案：(1)5 880 J　(2)14 m/s　(3)9.8 m
解析：(1)运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝5 880 J。
(2)运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得
E＝
解得vB＝14 m/s。
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒定律得E＝mghm
解得hm＝9.8 m。
拓展变式．如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点沿光滑的轨道向下运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升多高？
答案：(1) 　(2)3.5R
解析：(1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点所在的水平面为参考平面，设物体在B点的速度为vB，则＝
解得v0＝。
(2)设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒定律可得mgHB＝
解得HB＝4.5R
所以离开C点后还能上升的高度为HC＝HB－R＝3.5R。
如图所示，处于自由伸长状态的水平轻弹簧一端与墙相连，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
答案：(1)50 J　(2)32 J
解析：(1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有Epm＝＝×4×52 J＝50 J。
(2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有
＝＋Ep1
可得Ep1＝＝32 J。
拓展变式．把质量是0.2 kg的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A的位置，如图甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C(图乙)，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态。已知B、A的高度差为0.1 m，C、B的高度差为0.2 m，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略，g取10 m/s2。
(1)分别说出小球由位置A至位置B、由位置B至位置C时，小球和弹簧的能量转化情况；
(2)小球处于位置A时，弹簧的弹性势能是多少？在位置C时，小球的动能是多少？
答案：(1)见解析　(2)0.6 J　0
解析：(1)小球由位置A至位置B，弹簧对小球做正功，弹簧的弹性势能减少，转化为小球的机械能；
小球由位置B至位置C，只有重力做负功，小球的动能转化为重力势能，小球的机械能守恒。
(2)小球由A到C，由系统的机械能守恒得
E弹A＝mg＝0.2×10× J＝0.6 J
在位置C时，小球的速度为0，动能为0。
1. (多选)关于机械能守恒，以下说法中正确的是(　　)
A．系统内只有重力做功时，动能和重力势能相互转化，总量不变
B．系统内只有弹力做功时，动能和弹性势能相互转化，总量不变
C．系统内只有重力和弹力做功时，动能、弹性势能、重力势能相互转化，总量不变
D．系统内有除重力或弹力以外的其他力做功时，机械能不可能守恒
答案：ABC
解析：由机械能守恒定律易知A、B、C正确；有除重力或弹力以外的其他力做功，但只要其他力做的总功为零，机械能仍可能守恒，D错误。
2．(多选)月球围绕地球的轨道是椭圆形的，在发生满月时，如果月球刚好运行到近地点附近，此时的满月就是最大满月；如果刚好运行到远地点附近，就是最小的满月。如图所示，月球的绕地运动轨道实际上是一个偏心率很小的椭圆，则(　　)
A．月球运动到远地点时的动能最小
B．月球由近地点向远地点运动的过程，势能增大
C．月球由近地点向远地点运动的过程，动能增大
D．月球由近地点向远地点运动的过程，机械能守恒
答案：ABD
解析：根据开普勒第二定律可知，月球运动到远地点时的速度最小，动能最小，所以A正确；月球由近地点向远地点运动的过程，万有引力对月球做负功，动能减小，转化为势能，机械能守恒，所以B、D正确，C错误。故选ABD。
3.如图所示，压缩的轻质弹簧将一物块沿光滑轨道由静止弹出，物块的质量为0.2 kg，上升到0.1 m的高度时速度为1 m/s，g取10 m/s2，弹簧的最大弹性势能是(　　)
A．0.1 J B．0.2 J
C．0.3 J D．0.4 J
答案：C
解析：取物体初位置所在水平面为参考平面，对于物体和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，则根据系统的机械能守恒得Ep弹＝mgh＋mv2＝0.2×10×0.1 J＋×0.2×1 J＝0.3 J，故选项C正确。
4.如图所示，质量为1 kg的小物块从倾角为30 、长为2 m的光滑固定斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置所在的水平面为参考平面，重力加速度g取10 m/s2，则它滑到斜面中点时具有的机械能和动能分别是(　　)
A．5 J，5 J B．10 J，15 J
C．0，5 J D．0，10 J
答案：C
解析：物块的机械能等于物块动能和重力势能的总和，选初始位置所在的水平面为参考平面，则物块在初始位置的机械能E＝0，在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，故有－mg·Lsin 30 ＋Ek＝0，可得Ek＝5 J，选项C正确。
课时测评26　机械能守恒定律
(时间：30分钟　满分：60分)
(选择题1－9题，每题3分，共27分)
1.关于物体机械能是否守恒的叙述，正确的是(　　)
A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒
C．外力对物体所做的功等于零，机械能一定守恒
D．若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
答案：D
解析：做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，比如降落伞匀速下降，机械能减小，故A错误；做变速直线运动的物体机械能不一定守恒，如水平面上匀加速运动的汽车，机械能增加，故B错误；外力对物体做功为零时，动能不变，但是势能有可能变化，机械能不一定守恒，比如匀速上升的运动，故C错误；只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒，故D正确。
2．以下物体的运动过程 ，满足机械能守恒的是(　　)
A．在草地上滚动的足球
B．从旋转滑梯上滑下的小朋友
C．竖直真空管内自由下落的硬币
D．匀速下落的跳伞运动员
答案：C
解析：在草地上滚动的足球要克服阻力做功，机械能不守恒，故A错误；小朋友从旋转滑梯上滑下时，受阻力作用，阻力做负功，机械能减小，故B错误；真空管内自由下落的硬币只有重力做功，重力势能转化为动能，机械能守恒，故C正确；匀速下落的跳伞运动员受重力和空气阻力而平衡，阻力做负功，故机械能减少，故D错误。
3.(多选)下列选项中物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)(　　)
答案：CD
解析：物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒。选项C、D正确。
4.(多选)平抛运动中，关于重力做功，下列说法正确的是(　　)
A．重力不做功
B．重力做功与路径无关
C．重力做正功，机械能守恒
D．重力做正功，机械能减少
答案：BC
解析：平抛运动中，重力方向竖直向下，与位移方向的夹角小于90 ，则重力做正功，平抛运动只受重力，机械能守恒，并且重力做功与路径无关。故选BC。
5.如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以速度v0离开桌面，不计空气阻力，若以桌面为参考平面，重力加速度为g，则当物体经过A处时，它所具有的机械能是(　　)
A． B．＋mgh
C．＋mg(H＋h) D．＋mgH
答案：A
解析：由题意知选择桌面为参考平面，则开始时机械能为E＝"，由于不计空气阻力，物体运动过程中机械能守恒，故当物体经过A处时，它所具有的机械能是，故A正确，B、C、D错误。
6.(2024·河北唐山迁西县第一中学高一校考)以10 m/s的速度将质量为m的物体从地面竖直上抛，若忽略空气阻力，g取10 m/s2，物体上升过程中，重力势能和动能相等时，物体距地面的高度为(　　)
A．2 m B．2.5 m
C．5 m D．10 m
答案：B
解析：设距地面的高度为h时物体的重力势能和动能相等，则有mgh＝mv2，由机械能守恒定律有mgh＋mv2＝，联立解得h＝2.5 m，故选B。
7.如图所示，在光滑水平桌面上，用一个质量为1 kg的小球压缩左端固定的水平轻质弹簧。小球与弹簧不拴接，此时弹簧的弹性势能为5 J，小球距桌边的距离大于弹簧原长，释放小球后小球从桌边飞出，落地时的速度方向与水平方向成60 角，则桌面距离地面的高度为(重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力)(　　)
A．1 m B．1.5 m
C．2 m D．4 m
答案：B
解析：由动能定理有Ep＝，解得v0＝ m/s，则小球落地时的速度大小v＝＝2 m/s，由机械能守恒定律有Ep＋mgh＝mv2，解得h＝1.5 m，A、C、D错误，B正确。
8.以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面上分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则(　　)
A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2C．h1＝h3

h2
答案：D
解析：竖直上抛的物体和沿光滑斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒定律得mgh＝，所以h＝，斜上抛的物体在最高点时仍有水平方向的速度，设为v1，则mgh2＝，所以h29.如图所示，光滑的曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度为h处由静止下滑，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则(　　)
A．小球与弹簧刚接触时，速度大小为
B．小球与弹簧接触的过程中，小球机械能守恒
C．小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh
D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变
答案：A
解析：小球在曲面上滑下过程中，根据机械能守恒定律得mgh＝mv2，解得v＝，即小球与弹簧刚接触时，速度大小为，故A正确；小球与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对小球做功，则小球机械能不守恒，故B错误；对整个过程，根据小球与弹簧组成的系统的机械能守恒可知，小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh，故C错误；小球在压缩弹簧的过程中，弹簧弹力增大，则小球的加速度增大，故D错误。
10.(10分)游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来(如图甲)。我们可以把这种情形抽象为如图乙的模型：弧形轨道的下端与半径为R的圆轨道平滑相接，固定在同一个竖直面内，将一个质量为m的小球由弧形轨道上A点释放。已知重力加速度为g，不考虑摩擦等阻力。为使小球可以顺利通过圆轨道的最高点，求：
(1)小球在圆轨道最高点的最小速度的大小v；
(2)A点距水平面的最小高度h。
答案：(1)　(2)2.5R
解析：(1)小球恰好能运动到圆轨道最高点时，由牛顿第二定律得mg＝m
可得最小速度v＝。
(2)从A点到圆轨道最高点，根据机械能守恒定律有mg(h－2R)＝mv2
解得h＝2.5R。
11.(12分)如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中，若忽略运动员的身高，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小；入水时的速度大小与起跳时的方向有关吗？
答案：(1)5 000 J　(2)625 J　(3)15 m/s　无关
解析：(1)以水面为参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep＝mgh＝5 000 J。
(2)运动员起跳时的动能为Ek＝＝625 J。
(3)运动员从起跳到入水的过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，则有
＝mv2
解得v＝15 m/s
此速度大小与起跳时的方向无关。
12.(12分)如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动(不计空气阻力)。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
答案：(1)5∶1　(2)能，理由见解析
解析：(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg·
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg·
联立可得EkB∶EkA＝5∶1。
(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律有FN＋mg＝
可得vC应满足vC≥
由机械能守恒定律得mg·＝
可得vC＝
综上可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。
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第五节　机械能守恒定律
　　　　
第四章　机械能及其守恒定律
1．知道什么是机械能，能够分析动能与势能(包括重力势能和弹性势能)之间的相互转化问题。
2．会根据守恒的条件判断机械能是否守恒。　
3．能应用机械能守恒定律解决相关问题。
素养目标
知识点一　机械能守恒定律
自主学习
教材梳理　(阅读教材P100—P102完成下列填空)
1．机械能：动能与______(包括__________和__________)统称为机械能。
2．重力势能与动能的转化
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能______，动能______，物体的__________转化为______；若重力对物体做负功，则物体的重力势能______，动能______，物体的______转化为__________。
3．弹性势能与动能的转化
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能______，物体的动能______，弹簧的__________转化为物体的______；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能______，物体的动能______，物体的______转化为弹簧的__________。
势能
重力势能
弹性势能
减少
增加
重力势能
动能
增加
减少
动能
重力势能
减少
增加
弹性势能
动能
增加
减少
动能
弹性势能
4．机械能守恒定律
(1)内容：在只有______或______做功的系统内，______和______发生相互转化，而系统的____________保持不变。
(2)表达式：Ep1＋Ek1＝____________。
(3)条件：①系统只受重力或弹力。
②除了重力和弹力外，系统还受其他力，但其他力合力为0。
③除了重力和弹力外，系统受其他力的合力不为0，但其他力做功的代数和为0。
以上三个条件只要满足其一，即可判断系统机械能守恒。
重力
弹力
动能
势能
机械能总量
Ep2＋Ek2
师生互动　跳伞运动员匀速下降时，他和装备的机械能是否守恒？能不能说合外力为零，或合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒？
提示：不守恒；匀速下降，动能不变，重力势能减小，机械能减小。不能；因为跳伞运动员匀速下降时所受合外力为零，合外力做功也为零，但其机械能不守恒。
课堂探究
　 　(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是
A．甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，物体和弹簧组成的系统机械能守恒(不计空气阻力)
B．乙图中，物体在大小等于摩擦力的沿斜面向下的拉力F作用下沿斜面下滑时，物体机械能守恒
C．丙图中，物体沿斜面匀速下滑的过程中，物体机械能守恒
D．丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒
例1
√
√
√
题图甲中，只有重力和弹簧
弹力对系统做功，系统机械
能守恒，A正确；题图乙中，
物体在大小等于摩擦力的沿
斜面向下的拉力F作用下沿斜面下滑时，由于力F做的正功等于摩擦力做的负功，则力F与摩擦力做功的代数和为零，物体机械能守恒，B正确；题图丙中，物体沿斜面匀速下滑的过程中，动能不变，重力势能减小，物体机械能减小，C错误；题图丁中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中只有重力做功，物体机械能守恒，D正确。
探究归纳
判断机械能是否守恒的方法
1．利用机械能的定义直接判断：若动能和势能中，一种能变化，另一种能不变，则其机械能一定变化。
2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。
3．用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则系统的机械能守恒。
针对练1.关于机械能守恒的叙述，下列说法正确的是
A．做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒
B．物体所受的合力不等于零，机械能可能守恒
C．物体做匀速直线运动，机械能一定守恒
D．物体所受合力做功为零，机械能一定守恒
√
若物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故A错误；物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒，例如物体做自由落体运动，故B正确；物体在竖直方向做匀速直线运动时，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故C错误；物体所受合力做功为零，它的动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故D错误。
针对练2．(2024·茂名市高一统考期末)如图所示，一小球从竖直固定轻质弹簧的上端某一高度P点自由下落，小球在A点与弹簧接触，B点为到达的最低点，重力加速度为g，则在小球下落过程中下列说法正确的是
A．小球到达A点时动能最大
B．从P到B的过程中，小球的机械能守恒
C．从A到B的过程中，弹簧的机械能守恒
D．若增大P点到A的距离，则小球下降的最低点的位置下降
√
小球到达A点时仍会加速下降，直到满足mg＝kx，即弹簧
向上的弹力等于重力时，速度最大，动能最大，A错误；
从P到B的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，
从A到B的过程中，弹簧的弹性势能不断增大，小球的机
械能不断减小，B、C错误；若增大P点到A的距离，即增
大小球的重力势能，增大系统的机械能，则到达最低点时弹簧的弹性势能增大，即小球下降的最低点的位置下降，D正确。故选D。
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知识点二　机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从守恒的
角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须先选参考平面
从转化
角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量(减少量)等于势能的减少量(增加量) —
从转移
角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加(减少)的机械能等于B减少(增加)的机械能 不必选参考平面
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律的表达式列方程并求解。
　 　如图所示，质量m＝60 kg 的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求：
(1)运动员在A点时的机械能；
答案：5 880 J　
例2

(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
答案：14 m/s　

(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。
答案：9.8 m
运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒定律得E＝mghm
解得hm＝9.8 m。

(2)物体离开C点后还能上升多高？
答案：3.5R

　　 　如图所示，处于自由伸长状态的水平轻弹簧一端与墙相连，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
答案：50 J　
例3

(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
答案：32 J

拓展变式．把质量是0.2 kg的小球放在竖立的弹簧上，并
把小球往下按至A的位置，如图甲所示。迅速松手后，弹
簧把小球弹起，小球升至最高位置C(图乙)，途中经过位
置B时弹簧正好处于自由状态。已知B、A的高度差为
0.1 m，C、B的高度差为0.2 m，弹簧的质量和空气的阻
力均可忽略，g取10 m/s2。
(1)分别说出小球由位置A至位置B、由位置B至位置C时，小球和弹簧的能量转化情况；　
小球由位置A至位置B，弹簧对小球做正功，弹簧的弹性势能减少，转化为小球的机械能；小球由位置B至位置C，只有重力做负功，小球的动能转化为重力势能，小球的机械能守恒。
(2)小球处于位置A时，弹簧的弹性势能是多少？在位
置C时，小球的动能是多少？
答案：0.6 J　0
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随堂演练　对点落实
1. (多选)关于机械能守恒，以下说法中正确的是
A．系统内只有重力做功时，动能和重力势能相互转化，总量不变
B．系统内只有弹力做功时，动能和弹性势能相互转化，总量不变
C．系统内只有重力和弹力做功时，动能、弹性势能、重力势能相互转化，总量不变
D．系统内有除重力或弹力以外的其他力做功时，机械能不可能守恒
√
√
√
由机械能守恒定律易知A、B、C正确；有除重力或弹力以外的其他力做功，但只要其他力做的总功为零，机械能仍可能守恒，D错误。
2．(多选)月球围绕地球的轨道是椭圆形
的，在发生满月时，如果月球刚好运行
到近地点附近，此时的满月就是最大满
月；如果刚好运行到远地点附近，就是
最小的满月。如图所示，月球的绕地运动轨道实际上是一个偏心率很小的椭圆，则
A．月球运动到远地点时的动能最小
B．月球由近地点向远地点运动的过程，势能增大
C．月球由近地点向远地点运动的过程，动能增大
D．月球由近地点向远地点运动的过程，机械能守恒
√
√
√
根据开普勒第二定律可知，月球运动到远地点时的速度最小，动能最小，所以A正确；月球由近地点向远地点运动的过程，万有引力对月球做负功，动能减小，转化为势能，机械能守恒，所以B、D正确，C错误。故选ABD。
3.如图所示，压缩的轻质弹簧将一物块沿光滑轨道由静止弹出，物块的质量为0.2 kg，上升到0.1 m的高度时速度为　1 m/s，g取10 m/s2，弹簧的最大弹性势能是
A．0.1 J B．0.2 J
C．0.3 J D．0.4 J
√
4.如图所示，质量为1 kg的小物块从倾角为30 、长为2 m
的光滑固定斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置所
在的水平面为参考平面，重力加速度g取10 m/s2，则它滑
到斜面中点时具有的机械能和动能分别是
A．5 J，5 J B．10 J，15 J C．0，5 J D．0，10 J
√
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课时测评
1.关于物体机械能是否守恒的叙述，正确的是
A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒
C．外力对物体所做的功等于零，机械能一定守恒
D．若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
√
做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，比如降落伞匀速下降，机械能减小，故A错误；做变速直线运动的物体机械能不一定守恒，如水平面上匀加速运动的汽车，机械能增加，故B错误；外力对物体做功为零时，动能不变，但是势能有可能变化，机械能不一定守恒，比如匀速上升的运动，故C错误；只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒，故D正确。
2．以下物体的运动过程 ，满足机械能守恒的是
A．在草地上滚动的足球
B．从旋转滑梯上滑下的小朋友
C．竖直真空管内自由下落的硬币
D．匀速下落的跳伞运动员
√
在草地上滚动的足球要克服阻力做功，机械能不守恒，故A错误；小朋友从旋转滑梯上滑下时，受阻力作用，阻力做负功，机械能减小，故B错误；真空管内自由下落的硬币只有重力做功，重力势能转化为动能，机械能守恒，故C正确；匀速下落的跳伞运动员受重力和空气阻力而平衡，阻力做负功，故机械能减少，故D错误。
3.(多选)下列选项中物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)
√
√
物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒。选项C、D正确。
4.(多选)平抛运动中，关于重力做功，下列说法正确的是
A．重力不做功
B．重力做功与路径无关
C．重力做正功，机械能守恒
D．重力做正功，机械能减少
√
√
平抛运动中，重力方向竖直向下，与位移方向的夹角小于90 ，则重力做正功，平抛运动只受重力，机械能守恒，并且重力做功与路径无关。故选BC。
√

6．(2024·河北唐山迁西县第一中学高一校考)以10 m/s的速度将质量为m的物体从地面竖直上抛，若忽略空气阻力，g取10 m/s2，物体上升过程中，重力势能和动能相等时，物体距地面的高度为
A．2 m B．2.5 m
C．5 m D．10 m
√

7.如图所示，在光滑水平桌面上，用一个质量为1 kg的小
球压缩左端固定的水平轻质弹簧。小球与弹簧不拴接，
此时弹簧的弹性势能为5 J，小球距桌边的距离大于弹簧
原长，释放小球后小球从桌边飞出，落地时的速度方向与水平方向成60 角，则桌面距离地面的高度为(重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力)
A．1 m B．1.5 m C．2 m D．4 m
√
8.以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面上分别竖
直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，
三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则
A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2C．h1＝h3

h2
√

√

(2)A点距水平面的最小高度h。
答案：2.5R

11.(12分)如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中，若忽略运动员的身高，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；
答案：5 000 J　
以水面为参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep＝mgh＝5 000 J。
(2)运动员起跳时的动能；
答案：625 J　
(3)运动员入水时的速度大小；入水时的速度大小与起跳时的方向有关吗？
答案：15 m/s　无关

(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
答案：能，理由见解析

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