资源简介

2.5.1 直线与圆的位置关系
一、学习目标
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
二、重难点
重点：判断直线与圆的位置关系；
难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题
三、自主预习
1.直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有 个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点 ；
（3）直线与圆相离，没有公共点 .
2.直线与圆的位置关系的判断：要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的 ，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得 .
四、应用举例
例1 已知直线：和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长。
解：直线与圆相交，弦长.（详见课本）
例2 过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.
(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4).
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,
所以=1,即|k+4|=,
所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-.所以切线方程为y+3=-(x-4),
即15x+8y-36=0.
(2)若直线斜率不存在,
圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,
这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
五、课堂练习
（一）课本练习部分
1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系：
（1），圆；
（2），圆C：；
（3），圆.
2.已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程.
3.判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长.
4.赵州桥的跨度是，圆拱高约为.求这座圆拱桥的拱圆的方程.
5.某圆拱桥的水面跨度，拱高.现有一船，宽，水面以上高，这条船能否从桥下通过？
6.在一个平面上，机器人从与点的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变.它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少？
（二）课本习题部分
1.判断直线与圆的位置关系.如果有公共点，求出公共点的坐标.
2.求直线被圆截得的弦AB的长.
3.求圆心在直线上，与x轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.
4.求与圆关于直线对称的圆的方程.
5.正方形ABCD的边长为a，在边BC上取线段，在边DC的延长线上取.试证明：直线AE与BF的交点M位于正方形ABCD的外接圆上.
6.已知三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值.
7.已知圆，直线.b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1
六、课后练习
1.已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.过直线上一点P作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于直线对称时，线段PA的长为( )
A.4 B. C. D.2
3.若圆C的半径为1，圆心在第三象限，且与直线和y轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
4.已知圆，直线与圆C相交于A，B两点，则的最小值为( )
A. B.2 C.4 D.
5.如果实数x，y满足，那么的最大值是( )
A. B. C. D.
6.当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.（多选）已知圆，点，则下列说法正确的有( )
A.若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为
B.若点P在圆O外，则直线与圆O相交
C.若点P在圆O内，则直线与圆O相交
D.若点P在圆O外，则直线与圆O位置关系不确定
8.直线与直线是圆C的两条切线，则圆C的面积是___________.
9.在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________.
10.直线被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般式方程是__________.
11.如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
（1）求该圆弧所在圆的方程.
（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
12.已知圆.
（1）若过点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）已知点为圆上的点，求的取值范围.
答案及解析
三、自主预习
1.两
2.解的个数 弦长
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）相交
（2）相切
（3）相离
解析：（1）圆，圆心坐标为，半径；
圆心到直线的距离，故直线与圆相交；
（2）圆，即圆，圆心，半径，
圆心到直线的距离，故直线与圆相切；
（3）圆，即圆，圆心，半径，
圆心到直线的距离，故直线与圆相离.
2.答案：
解析：圆心在原点即圆心为，因为直线与圆C相切，
故圆心到直线的距离等于半径，则，
所以圆的方程为.
3.答案：相交；弦长为
解析：由圆的方程得圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为：，
所以与圆相交，
所以直线被圆截得的弦长为.
4.答案：
解析：根据题意，以拱高所在直线为y，如图建立平面直角坐标系，
根据题意得：，，
此时圆心在y轴上，圆心为D，半径为r，则，
所以在中，，即，
解得：，所以，
设所求圆的方程为，
即拱圆的方程为：.
5.答案：该船可以从桥下通过
解析：建立如图所示的坐标系.依题意，有，，，，.
设所求圆的方程是，
于是有
解此方程组，得，，，
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是.
把点D的横坐标代入上式，得.
由于船在水面以上高，，所以该船可以从桥下通过.
6.答案：最近距离和最远距离分别是，
解析：机器人到与点距离为9的地方绕C点顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变，
机器人的运行轨迹为，
与，
直线AB的方程为，即为，
则圆心C到直线AB的距离为，
最近距离和最远距离分别是，.
（二）课本习题
1.答案： (方法一)因为圆心到直线的距离为，
圆的半径长是10，所以直线与圆相切.
圆心与切点连线所在直线的方程为.
解方程组得
因此，切点坐标是.
(方法二)联立方程组消去y，得，解得.
所以直线与圆有且只有一个公共点，
所以直线与圆相切.
2.答案：
解析：(方法一)设直线l与圆C相交于点.
联立方程组消去y，得.
根据一元二次方程根与系数的关系，有.
直线l被圆C截得的弦AB的长为.
(方法二)将圆C的方程化成标准形式，得.
圆心坐标是，半径长.
圆心C到直线l的距离为.
弦AB的长.
3.答案：或
解析：设所求圆的方程为.
圆心到直线的距离为.
依题意，有
解方程组，得；或.
所以所求的圆的方程有两个，它们分别是或.
4.答案：
解析：把圆C的方程化成标准形式，得.
圆心坐标是.
设与圆心关于直线l对称的点的坐标是，则有
解此方程组，得
所以与圆C关于直线对称的圆的方程是.
5.答案：以正方形ABCD的中心为坐标原点，建立如答图所示的平面直角坐标系，则由题意知.
所以，
所以直线AE的方程为，即.
直线BF的方程为，即.
由解得
即点M的坐标为.
(方法一)因为正方形ABCD外接圆的圆心为原点，半径为，且，
所以点M在正方形ABCD的外接圆上.
(方法二)因为正方形ABCD的外接圆的方程为，且，即点M的坐标满足圆的方程.
所以点M在正方形ABCD的外接圆上.
(方法三)易知点D的坐标为，
所以，
所以，所以.
所以点M在以BD为直径的圆上，即点M在正方形ABCD的外接圆上.
答案：最大值是88，最小值是72
解析：如答图，设点P的坐标是，则.
因为，所以.
由可得.
所以最大值是88，最小值是72.
7.答案：见解析
解析：如答图，由已知得圆的半径长是2，圆心O到直线l的距离为.
令，则.
当时，与直线平行且距离等于1的直线是和.
直线与圆相切，切点到直线的距离是1；
直线与圆相交，两个交点与直线的距离是1.
因此当时，圆上有三个点到直线l的距离都是1.
同理，当时，圆上也有三个点到直线l的距离都是1.
综上，当时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1.
六、课后练习
1.答案：A
解析：已知直线，变形整理得，
由得即直线l恒过定点，代入圆C的方程的左端有，即点在圆内，所以直线l与圆C相交.故选A.
2.答案：C
解析：如图所示，圆心，连接CP，CA，因为直线，关于直线对称，所以CP垂直于直线，故，而，则.故选C.
3.答案：A
解析：设圆心（，），圆，
依题意有，圆心到直线的距离为，解得或（舍去）.
所以圆C的标准方程为.
故选A.
4.答案：A
解析：由圆C的方程可得圆心，半径，直线l的方程可整理为，
令解得所以直线l恒过定点.
由题意知，当AB与CD垂直时，弦长最小，又，，所以此时，直线，
点C到直线l的距离，所以.故选A.
5.答案：D
解析：将圆的一般方程化为标准方程，得，则该圆的圆心为点，半径为.的几何意义是圆上一点与点连线的斜率，如图.结合图像易知，当过原点的直线斜率为正，且与圆相切时，斜率最大，即最大.设此时直线的倾斜角为，则，所以的最大值为.故选D.
6.答案：C
解析：由题意知，曲线表示半圆，直线过定点.由图知，k的取值范围在直线与半圆左侧相切时的斜率（不含）和直线过点时的斜率之间.当直线与半圆的左侧相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得.当直线过点时，.综上可知，要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是.故选C.
7.答案：AB
解析：对于A，点P在圆O上，则，因为点P的坐标满足，故直线过点P.又点到直线的距离，故直线与圆O相切.综上所述，若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为，A正确.
对于B，D，点P在圆O外，则，又点O到直线的距离，故直线与圆O相交，所以B正确，D错误.
对于C，点P在圆O内，则，又点O到直线的距离，故直线与圆O相离，C错误.
故选AB.
8.答案：
解析：易知直线与直线平行，若两条平行直线是圆C的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径.直线，即，与直线间的距离，则圆C的半径，圆C的面积.
9.答案：
解析：由直线，得，故直线过点.当切线与过，两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有，故所求圆的标准方程为.
10.答案：
解析：直线l的方程为，即.令解得即直线l过定点.圆的圆心坐标为，半径为3.过点和点的直线的斜率为，所以最短弦所在直线的斜率为，所以最短弦所在直线的方程为，即，所以最短弦所在直线的一般式方程是.
11.答案：（1）
（2）4辆
解析：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，设圆心为.
设该圆的半径为r米，则，解得，
因此，
故该圆弧所在圆的方程为.
（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，
则，解得.
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为，
故该隧道不能并排通过5辆该种汽车.
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为，
则隧道能并排通过4辆该种汽车.
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.
12.答案：（1）或
（2）
解析：由已知条件得圆C的标准方程为，
圆C的圆心为，半径.
（1）当直线l的斜率不存在，即时，直线l与圆C的交点坐标为，
截得的弦长为，满足题意.
当直线l的斜率存在时，设，即，
圆心C到直线l的距离.，解得，
直线l的方程为.
综上所述，直线l的方程为或.
（2）z的几何意义为圆上的点到的距离d的平方.
圆心C到点的距离为，
，，
，，
的取值范围为.

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