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3.1.1 椭圆及其标准方程
一、学习目标
1.掌握椭圆的定义、标准方程.
2.通过对标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想.
二、重难点
重点：椭圆的标准方程，坐标法的基本思想.
难点：椭圆标准方程的推导与化简.
三、自主预习
1.椭圆的定义：平面内与两个定点，的距离的和等于 （大于）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为 .
2.椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上的椭圆的标准方程是，焦点坐标 ，，其中 .
（2）焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 ，焦点坐标， ，其中.
四、应用举例
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.
解：由于椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为.
由椭圆的定义知，
，
所以，所以.
所以所求椭圆的标准方程为.
例2 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为，点P的坐标为，
则点D的坐标为.
由点M是线段PD的中点，得，.
因为点在圆上，所以.①
把，代入方程①，得，即.
所以点M的轨迹是椭圆.
例3 如图，设A，B两点的坐标分别为，. 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标为，因为点A的坐标是，
所以直线AM的斜率.
同理，直线BM的斜率.
由已知有，
化简得点M的轨迹方程为.
点M的轨迹是除去，两点的椭圆.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是___________.
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1），，焦点在x轴上；
（2），，焦点在y轴上；
（3），.
3.经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点.
（1）求的周长；
（2）如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？
4.已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？
（二）课本习题
1.如果点在运动过程中，总满足关系式
那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点坐标分别为；(真点在y轴上)
（2）.(焦点位置不确定)
3.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
4.彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程.
5.如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且.当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
6.一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
六、课后练习
1.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知定点，，动点P满足，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.椭圆或射线 C.椭圆或线段 D.不存在
3.“”是“方程表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l交C于A，B两点，则的周长为( )
A.2 B.4 C. D.
5.一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，则点P横坐标的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知椭圆，若的顶点B，C分别是椭圆的两个焦点，顶点A在椭圆上，则的值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
8.椭圆的左、右焦点分别为，，弦AB过点.若的内切圆周长为，A，B两点的坐标分别为，，则的值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）设点A，，的坐标分别为，，，动点满足：，则下列说法正确的有( )
A.点P的轨迹方程为
B.
C.存在4个点P，使得的面积为
D.
10.设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，.若，则椭圆的标准方程为__________.
11.在平面直角坐标系中，若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为__________.
12.已知椭圆，点M与椭圆C的焦点不重合.若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则___________.
13.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，当轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求的面积.
答案及解析
三、自主预习
1.常数 焦点 半焦距
2.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：14
解析：由，则，由P在椭圆上，故有，又.所以.
故答案为：14.
2.答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1），，焦点在x轴上的椭圆方程为；
（2）由，可得，
又焦点在y轴上，所以标准方程为；
（3）联立，解得，，
所以标准方程为或.
3.答案：（1）20
（2）不变；理由见解析
解析：（1）由椭圆的定义得：，，
所以的周长为.
（2）不变，由椭圆的定义的周长为.
只受a的影响，不受AB与x轴的位置关系影响.
4.答案：点M的轨迹是直线，并去掉点
解析：设点M的坐标为，则，，
当时，，整理得，
所以点M的轨迹是直线，并去掉点.
（二）课本习题
1.答案：见解析
解析：点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆.
点到两定点的距离之和为10，且大于两定点间的距离，由椭圆的定义知，
则，椭圆的方程为.
2、（1）答案：
解析：焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为..
椭圆的标准方程为.
（2）答案：或
解析：由得.
椭圆的标准方程为或.
3.答案：见解析
解析：点Q的轨迹是椭圆.
理由：如答图所示，连接AQ.
为定点，Q是线段AP的垂直平分线上的一点，
.
又(定值)，
且点A在圆内，.
由椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
4.答案：
解析：以近日点与远日点连线的中点为坐标原点，以近日点与远日点所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略).
设椭圆的标准方程为，则有解得
轨道方程为.
5.答案：见解析
解析：设是圆上的任意一点，则点D的坐标为.
依题意有，即.
，
即
在圆上，
，即.
点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆.
6.答案：见解析
解析：设动圆的圆心为，半径为r.
又圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径.
根据题意得.
又，
点O的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆，
即.此时.
动圆圆心的轨迹方程为，是以点为焦点的椭圆.
六、课后练习
1.答案：A
解析：由题意，得椭圆的焦点坐标分别为，，即.设所求椭圆的方程为（且）.将点的坐标代入，得，解得（舍去）或，所以所求椭圆的方程为.故选A.
2.答案：A
解析：因为，所以，当且仅当时取等号，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选A.
3.答案：B
解析：方程表示椭圆，解得或.故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.选B.
4.答案：D
解析：由得，则由椭圆的定义可知，的周长为.故选D.
5.答案：A
解析：设动圆半径为r，圆心为M，根据题意可知，，，，，，，，，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且焦点坐标为和，其中，，，，所以，故动圆圆心的轨迹方程为，故选A.
6.答案：B
解析：由椭圆方程得，，设，则，，所以.①
又点P在椭圆上，则，即，代入①得，
所以，
故选B.
7.答案：A
解析：由椭圆可得，，所以，则，，所以在中，利用正弦定理可得，故选A.
8.答案：A
解析：由椭圆方程，得，，所以.由椭圆的定义，可知的周长为.由内切圆的周长为，得内切圆的半径长为，所以.因为，所以.故选A.
9.答案：AD
解析：对于A，由得，，
所以点P的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，即，，则，故点的轨迹方程为，A正确.
对于B，D，将的坐标代入椭圆方程左边得，所以点在椭圆内部，如图所示，所以，当且仅当点P运动到点处时，等号成立，故B错误；
，
因为，所以，当且仅当点P运动到点处时，等号成立，故D正确.
对于C，，其中h为点P到直线的距离，若，则，由于当点P为椭圆的右顶点时，h取得最大值3，故满足条件的点P只有一个，C错误.故选AD.
10.答案：
解析：，，.又，
.由椭圆定义可知，，，，椭圆的标准方程为.
11.答案：
解析：由平面上两点间的距离公式可知，点M到点与的距离之和为8.又与两点间的距离为4，且，所以动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆.其中，，所以，，.故点M的轨迹方程为.
12.答案：12
解析：如图，不妨设，分别为椭圆C的左、右焦点，点M关于的对称点为A，点M关于的对称点为B.设线段MN的中点为P，连接，，则由是AM的中点，可知.
同理可得.
根据椭圆的定义得，.
13.答案：（1）
（2）
解析：（1）由知，因此.
因为轴时，，所以可得点P的坐标为或，
因为点P在椭圆上，所以，
又，所以，
解得，所以椭圆的方程为.
（2）设，，在中，由余弦定理可得
，又，
所以，所以，
所以，
所以的面积为.

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