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7.2.1古典概型的概率计算公式
学习目标
1.通过实例体会古典概型的抽象过程；
2.理解古典概率的两个基本特征，掌握古典概型的概率计算公式；
3.了解古典概型的重要性和应用的广泛性，能建立古典概率模型解决简单的实际问题，提升数学建模素养．
二、学习重难点
重点：古典概型的建立和应用．
难点：古典概型的辨析．
三、自主预习、知识梳理
1．对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的________．概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画．
2．一般地，若试验E具有如下特征：
(1)有限性：试验E的样本空间 Ω 的样本点总数有限，即样本空间 Ω 为有限样本空间；
(2)等可能性：每次试验中，样本空间 Ω 的各个样本点出现的可能性相等．
则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．
3．对古典概型来说，如果样本空间 Ω 包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为
P(A)＝__________________＝________.
四、应用举例
例1.在试验E6“袋中有白球3个（编号为1,2,3）、黑球2个（编号为1,2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为w1，w2，w3，摸到黑球的结果分别记为b1，b2，求：
（1）取到的两球都是白球的概率；
（2）取到的两球颜色相同的概率；
（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率.
解：由题意可知
Ω={w1w2,w1w3,w1b1,w1b2,w2w1,w2w3,w2b1,w2b2,w3w1,w3w2,w3b1,w3b2,b1w1,b1w2,b1w3,b1b2,b2w1,b2w2,b2w3,b2b1}，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，属于古典概型.
（1）设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则A={ w1w2,w1w3, w1w2,w1w3, w3w1,w3w2}，共含有6个样本点，所以P(A)=.
（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则B={ w1w2,w1w3, w2w1,w2w3, w3w1,w3w2, b1b2, b2b1}，共含有8个样本点，所以P(B)=.
（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，则
C={w1w2,w1w3,w1b1,w1b2,w2w1,w2w3,w2b1,w2b2,w3w1,w3w2,w3b1,w3b2,b1w1,b1w2,b1w3,b2w1,b2w2,b2w3}，含有18个样本点，所以P(C)= =.
思考：你可以结合该题，规划一下运用古典概型求概率的主要步骤吗？
答案：（1）根据问题情境判断是否为古典概型；
（2）用列举法写出试验所对应的样本空间；
（3）利用古典概型的概率公式计算概率.
例2．有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时：
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．
解：将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝．
(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝＝．
(3)设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝＝．
例3. 先后抛掷两枚大小相同的骰子
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
解：基本事件的总数共36种．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝＝．
(2)记“出现两个4点”为事件B，则事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P(B)＝．
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝＝．
五、课堂练习
1.下列试验中，是古典概型的有( )
A.种下一粒种子观察它是否发芽
B.从直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C.抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
2.某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费金额每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是( )
A.某人抽奖100次，一定能中奖10次 B.某人消费1000元，至少能中奖1次
C.某人抽奖1次，一定不能中奖 D.某人抽奖10次，可能1次也没中奖
3.某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班恰有40名同学的成绩在内，将这40名学生的成绩整理，绘制成频率分布直方图（如图所示），从成绩在内的同学中任取2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是( )
A. B. C. D.
4.袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为( )
A. B. C. D.
5.下列是古典概型的是( )
A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B.求任意一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止
6.下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个基本事件出现的可能性相等；
④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则.
A.②④ B.③④ C.①④ D.①③④
7.（多选）甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛,每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分,3分,2分,1分.比赛结束甲获得16分为第一名,乙获得14分为第二名,且没有同分的情况.则( )
A.第三名可能获得10分 B.第四名可能获得6分
C.第三名可能获得某一项比赛的第一名 D.第四名可能在某一项比赛中拿到3分
8.（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是( )
A.向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B.五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C.从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌
D.某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
9.某中学为了庆祝“天问一号”成功着陆火星，特举办中国航天史知识竞赛，高一某班现有2名男生和2名女生报名，从报名学生中任选2名学生参赛，则恰好选中2名女生的概率为__________.
10.下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”.
其中属于古典概型的是______________.
六、课后练习
1.下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率.
其中所有正确说法的序号是( )
A.①②④ B.①③ C.③④ D.①③④
2.在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为( )。
A. B. C. D.
3.下列试验中,是古典概型的为( )
A.种下一粒花生,观察它是否发芽
B.向正方形内,任意投掷一点,观察点是否与正方形的中心重合
C.从四个数中,任取两个数,求所取两数之一是的概率
D.在区间内任取一点,求此点小于的概率
4.下列关于古典概型的说法正确的是( )
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;
②每个事件出现的可能性相等;
③每个样本点出现的可能性相等;
④样本点的总数为,随机事件若包含个样本点,则.
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④
5.同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用表示出现的结果，其中分别为两枚骰子向上的点数，则该事件的所有结果种数为( )。
A.11 B.22 C.36 D.66
6.下列试验是古典概型的是( )
A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽 B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球 C.向一个圆面内随机投一点 D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10环,命中9环,……,命中0环
7.（多选）下列问题中是古典概型的是( )
A.小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率
B.从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率
C.在区间上任取一数，求这个数大于2的概率
D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
8.（多选）下列有关古典概型的说法中，正确的有( )
A.试验中所有可能出现的样本点只有有限个
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率
9.下列试验是古典概型的为____________.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小；
②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
10.某游乐园为吸引游客推出了一项有奖转盘活动.如图所示，假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，每个游客凭门票只可以参与一次活动，一次活动需转动转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，工作人员便会记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下：
①若，奖励玩具一个；②若，奖励水杯一个；③其余情况则奖励饮料一瓶.
（1）求在一次活动中获得玩具的概率；
（2）请比较一次活动中获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
答案及解析
三、自主预习、知识梳理
1.概率
3.；
五、课堂练习
1.答案：C
解析：古典概型有两大特征，即（1）有限性，试验中所有可能出现的样本点为有限个；（2）等可能性，每个样本点出现的可能性相等.上述选项中，只有C具有上述特征.
2.答案：D
解析：中奖的概率为10%，与抽奖次数无关，不能保证一定中奖，也不能保证一定不中奖，只是每次抽奖有10%的可能性中奖，故D选项正确.故选D.
3.答案：B
解析：由题中频率分布直方图知，成绩在内的有人，不妨记为a，b；成绩在内的有人，不妨记为1，2，3，4.从6人中任取2人的样本空间为，共15个样本点，事件“恰有一人的成绩在内”包含的样本点有8个，所以所求的概率为.故选B.
4.答案：D
解析：18组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，这5组数据满足条件，
所以估计恰好抽取三次就停止的概率.
故选：D.
5.答案：C
解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；B项中的样本点个数是无限的，故B不是古典概型；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点个数不是有限个，故D不是古典概型.故选C.
6.答案：D
解析：在①中，由随机试验的定义知，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确：
在②中，由随机试验的定义知，每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；
在③中，由随机试验的定义知，每个基本事件出现的可能性相等，故③正确：
在④中，基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知，故④正确.故选D.
7.答案：ABD
解析：由题设,
第一名16分,情况如{2个第一,2个第二}、{3个第一,1个第四},
第二名14分,情况如{1个第一,3个第二}、{2个第一,2个第三},
{2个第一,1个第二,1个第四},
所以,第一名与第二名各比赛项目组合情况如下：
第一种情况为：第一名{2个第一,2个第二},第二名{2个第一,2个第三},
或{2个第一,1个第二,1个第四},
第二种情况为：第一名{3个第一,1个第四},第二名{1个第一,3个第二},
综上,第三名最好成绩为{2个第二,2个第三},即最高分为10分,
故A正确,C错误;
当第三名{2个第二,2个第四},则第四名{2个第三,2个第四}时,
此时第四名获得6分,故B正确;
当第三名{1个第二,2个第三,1个第四},则第四名{1个第二,3个第四}时,
此时第四名在某一项比赛中拿到3分,故D正确;
故选：ABD.
8.答案：BC
解析：对于A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于B，实验结果有限且等可能，故正确，对于C，实验结果有限且等可能，故正确，对于D，显然实验并非等可能，故错误.
故选：BC.
9.答案：
解析：将2名男同学和2名女同学分别记为a，b，A，B，从中任选2人，有，，，，，，共6种情况，其中恰好选中2名女生的情况有1种，故选中的2人都是女生的概率为.
10.答案：③
解析：①不属于古典概型，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于古典概型，原因是命中0环，环…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于古典概型，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于古典概型，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于古典概型，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.
六、课后练习
1.答案：D
解析：②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选D.
2.答案：C
解析：在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，
基本事件总数。
“不是整数”包含的基本事件有，，，，，，，，共8个。
“不是整数”的概率。故选C。
3.答案：C
解析：对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B,正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D,区间内的点有无限多个，不满足有限性.故选C.
4.答案：B
解析：根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确， ②不正确.
5.答案：C
解析：在这个试验中，和应视为2种不同的结果，列表可知共有36种结果。
6.答案：B
解析：对于A，发芽与不发芽概率不一定相同；对于B，摸到白球与黑球的概率相同，均为；对于C，样本点有无限个；对于D，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，……，命中0环的概率不一定相等.
7.答案：BD
解析：对于A选项，种子长出果实，不长出果实的发生不是等可能的，故A不是古典概型；对于C选项，在区间中样本点的个数是无限多个，故C不是古典概型；对于B和D选项，其中样本点的发生是等可能的，且是有限个.故选BD.
8.答案：ACD
解析：②中所说的事件不一定是样本点，所以B不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知ACD正确.
9.答案：①②④
解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.
10.答案：（1）
（2）获得水杯的概率大于获得饮料的概率
解析：（1）用数对表示游客参加活动先后记录的数，则样本空间与点集一一对应.
因为S中的元素个数是，所以样本点总数.
记“”为事件A，则事件A包含的样本点共有5个，
即，，，，，故，即游客获得玩具的概率为.
（2）记“”为事件B，“”为事件C.
事件B包含的样本点共有6个，即，，，，，，则.
事件C包含的样本点共有5个，即，，，，，则.
因为，所以获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

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