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第 14 章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第 1 课时 两边及其夹角分别
相等的两个三角形
1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生识图、分析图形的能力；
2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.（重点、难点）
判定三角形全等的引入
A
B
C
D
E
F
1. 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
3. 已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.
① AB = DE
③ CA = FD
② BC = EF
④∠A =∠D
⑤∠B =∠E
⑥∠C =∠F
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证△ABC≌△DEF 吗
想一想：
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
判定三角形全等的条件
1
探究活动1：一个相等的条件可以吗？
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：
只有一个相等条件不能保证两个三角形全等.
有分别相等的两个条件不能保证三角形全等.
不一定全等
探究活动2：两个相等的条件可以吗？
3 cm
4 cm
不一定全等
3 cm
4 cm
不一定全等
30°
6cm
结论：
(1) 有两个角分别相等的两个三角形
(2) 有两条边分别相等的两个三角形
(3) 有一个角和一条边分别相等的两个三角形
6cm
30°
60°
30°
30°
60°
结论：三个内角分别相等的三角形不一定全等.
（1）有三个角分别相等的两个三角形
探究活动3：三个相等的条件可以吗？
60°
30°
90°
30°
60°
90°
1. 如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点 A，C，自由转动其一个脚，△ABC 的形状、大小随之改变，这说明了什么？那么还需增加什么条件才可以确定 △ABC 呢
A
C
B
α
探究
利用“SAS”判定三角形全等
1.两边及其夹角分别相等的两个三角形
操作：
已知：如图，△ABC.
求作：△A'B'C'，使A'B'=AB，∠B'=∠B，B'C'=BC.
A
C
B
2
B
C
A
B′
N
M
C′
A′
(3) 连接 A'C'.
？
思考：将所作的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC 上，看看它们能否完全重合.
由此你能得到什么结论
作法：(1) 如图，作 ∠MB'N =∠B；
(2) 在 B'M 上截取 B'A' = BA，在 B'N 上截取 B'C' = BC；
在△ABC 和△ DEF 中，
∴△ABC≌△DEF (SAS)．
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
“边角边”判定三角形全等的方法
几何语言：
AB = DE，
∠A = ∠D，
AC = DF，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
要点归纳
例1 已知：如图 AD∥CB ， AD = CB，
求证：△ADC≌△CBA.
证明：∵AD∥CB，(已知)
在△ADC 和△CBA 中，
AD = CB (已知)，
∠DAC =∠BCA (已证)，
∴ △ADC≌△CBA (SAS).
AC = CA (公共边)，
A
B
C
D
∴∠DAC =∠BCA (两直线平行，
内错角相等).
典例精析
例2 如图，AB = CB，∠ABD = ∠CBD，那么△ABD 和△CBD 全等吗？
分析:
△ABD≌△CBD
边:角:边:
AB = CB (已知)，
∠ABD = ∠CBD (已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD = BD (公共边).
解：
在△ABD 和△CBD 中，
AB = CB (已知)，
∠ABD =∠CBD(已知)，
∴△ABD≌△CBD (SAS).
BD = BD (公共边)，
变式1：已知：如图，AB = CB，∠1 =∠2.
求证：AD = CD，DB 平分∠ADC.
A
D
B
C
1
2
4
3
在△ABD 与△CBD 中，
证明：
∴△ABD≌△CBD (SAS).
AB = CB (已知)，
∠1 =∠2 (已知)，
BD = BD (公共边)，
∴ AD = CD，∠3 =∠4.
∴ DB 平分∠ADC.
A
B
C
D
变式2：
如图，AD = CD，DB 平分∠ADC，求证：∠A =∠C.
1
2
在△ABD 与△CBD 中，
证明：
∴△ABD≌△CBD (SAS).
AD = CD (已知)，
∠1 = ∠2 (已证)，
BD = BD (公共边)，
∴∠A =∠C.
∵ DB 平分∠ADC，
∴∠1 =∠2.
例3 如图，AB 和 CD 相交于 O，且 AO = BO，CO = DO. 求证：△ACO≌△BDO .
分析：
△ACO≌△BDO.
边:
角:
边:
AO = BO (已知)，
∠AOC =∠BOD (对顶角)，
(SAS)
CO = DO (已知).
？
证明：在△ACO 和△BDO 中，
∴ △ACO≌△BDO(SAS).
AO = BO，
∠AOC =∠BOD (对顶角相等)，
CO = DO，
方法小结：证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐藏的条件.如对顶角相等、公共角(边)相等等.
解 方案：在岸上取可以直接到达点 A，B 的一点 C，连接 AC 并延长到点 A'，
使A'C = AC；
连接 BC 并延长到点 B'，使 B'C = BC. 连接A'B'，量出 A'B' 的长，就得到 A，B 两点之间的距离.
例4 如图，在池塘的岸边有 A，B 两点，难以直接量出 A，B 两点间的距离，你能设计一种量出 A，B 两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由.
A
B
C
B'
A'
A
B
C
B'
A'
E
理由：
∴△ABC≌△A'B'C (SAS).
∴ AB = A'B' (全等三角形的对应边相等).
AC = A'C' (已知)，
∠ACB =∠A'CB' (对顶角相等)，
BC = B'C (已知) ，
在△ABC 和△A'B'C 中，
1. 在下列图中找出全等三角形进行连线.
Ⅰ

30°
8 cm
9 cm
Ⅳ
Ⅳ
8 cm
5 cm
Ⅱ
30°

8 cm
5 cm
Ⅲ

30°
8 cm
8 cm
Ⅲ
Ⅶ

30°
8 cm
9 cm
Ⅴ
30°

8 cm
5 cm
Ⅲ

30°
8 cm
8 cm
Ⅵ
Ⅳ
Ⅷ
8 cm
5 cm
∴ AE + EF = CF + EF，即 AF = CE.
2.如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，AE = CF. 求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：
∵ AD∥BC，
∴ ∠A =∠C.
∵ AE = CF，
在△AFD 和△CEB 中，
AD = CB (已知)，
∠A = ∠C (已证)，
AF = CE (已证)，
∴△AFD≌△CEB (SAS).
3.如图，AC = BD，∠CAB =∠DBA，求证：BC = AD.
A
B
C
D
证明：在△ABC 与△BAD 中
AC = BD (已知)，
∠CAB =∠DBA (已知)，
AB = BA (公共边)，
∴ △ABC≌△BAD (SAS).
∴ BC = AD(全等三角形的对应边相等).
4.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH =∠FDH，ED = FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道 EH = FH 吗？与同桌进行交流.
E
F
D
H
解：能. 在△EDH 和△FDH 中，　　
ED＝FD (已知)，
　 ∠EDH＝∠FDH (已知)，
　 DH＝DH (公共边)，
∴ △EDH≌△FDH (SAS).
∴ EH＝FH(全等三角形对应边相等).
边角边
内容
有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
1.已知两边，必须找“夹角”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边

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