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第 14 章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第 2 课时 两角及其夹边分别
相等的两个三角形
1.能利用“角边角”判定两个三角形全等；（重点）
2.通过证三角形全等来证明线段相等或角相等.（难点）
如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形玻璃吗？如果可以，带哪块去合适
3
2
1
Ⅰ
Ⅱ
思考：观察上面图形变换，你认为应该带哪块去，猜想下这是为什么？
问题1：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
三角形全等的判定（“角边角”）
1
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′， 使 A′B′ = AB， ∠A′ =∠A， ∠B′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？
A
C
B
操作探究
作法：
（1）画线段 A'B' = AB；
（2）在 A'B' 的同旁画∠DA'B' =∠A，∠EB'A' =∠B，
A'D，B'E 相交于点 C'.
A′
B′
C′
E
D
想一想：从中你能发现什么规律？
A
C
B
“角边角”判定方法
文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A =∠A′ (已知)，
AB = A′B′ (已知)，
∠B =∠B′ (已知)，
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∴△ABC≌△A′B′C′ .(ASA)
A
B
C
A′
B′
C′
要点归纳
例1 已知：如图，点 A，F，E，C 在同一条直线上，AB∥DC，AB = CD，∠B =∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明： ∵ AB∥DC，
∴ ∠A =∠C.
在△ABE 和△CDF 中，
∴ △ABE≌△CDF .(ASA)
∠A =∠C，
AB = CD，
∠B =∠D，
典例精析
已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：
在△ABC 和△DCB 中，
∴△ABC≌△DCB.（ASA ）
B
C
A
D
练一练
如图，已知∠ACB =∠DBC，∠ABC =∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为 BC 虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，对应角相等，否则不能判定.
想一想
例2 已知：如图，点 A，B，P，在同一直线上，
∠1＝∠2，∠ 3＝∠4，求证：DB＝CB.
证明：∵∠ABD 与∠3 互为邻补角，
∠ABC 与∠4 互为邻补角，(已知)
又∵ ∠3＝∠4，(已知)
∴∠ABD＝∠ABC.(等角的补角相等)
在△ADB 和△ACB 中，
∠1＝ ∠2，(已知)
AB＝AB，(公共边)
∠ABD＝∠ABC，(已证)
∴ △ABD≌△ABC.(ASA)
∴ DB＝CB . (全等三角形的对应边相等)
1
2
3
4
“ASA”的判定与性质的综合运用
2
例3 如图，点 A，B 位于河岸两侧，且 AB 垂直于河岸MN. 要测量 A，B 两点之间的距离，可以在 MN 上取两点 C，D，使 BC = CD，再过点 D 作 MN 的垂线 DE，使点 A，C，E 在同一直线上，这时测得 ED 的长就可得到 A，B 两点之间的距离，
请说明这种测量方法
的依据
A
B
E
C
D
M
N
在△ABC 和△EDC 中，
∠ABC＝∠EDC，(已证)
BC＝DC，(已知)
∠ACB＝∠ECD ，(对顶角相等)
∴ △ABC≌△EDC.（ASA）
∴ AB＝ED. (全等三角形的对应边相等)
A
B
E
C
D
M
N
证明：AB⊥MN，ED⊥MN，(已知)
∴ ∠ABC＝∠EDC＝90°. (垂直的定义)
1. 如图，∠ACB =∠DFE，BC = EF，那么应补充一个条件 ，才能使△ABC≌△DEF (写出一个即可).
A
B
C
D
E
F
∠B =∠E
（ASA）
AB∥DE
或 AC = DF
（SAS）
D′
∠B =∠E
2. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB = AC，∠B =∠C. 求证：AD = AE.
证明：在△ACD 和△ABE 中，
∠A =____（ ），
_______ ( )，
∠C =____( )，
∴△ACD≌△ABE( )，
∴AD = AE（ ）.
分析：只要找出 ≌ ，得 AD = AE.
△ACD
△ABE
∠A
公共角
AB = AC
∠B
ASA
全等三角形的对应边相等
已知
已知
A
D
B
C
O
E
∵
3. 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′ 分别是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分线. 求证：CF = C′F′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∠A =∠A′，
∠ACB =∠A′C′B′.
∴ AC = A′C′，
∴ CF = C′F′.
又∵CF，C′F′ 分别是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分线，
∴ ∠ACF =∠A′C′F′.
∴ △ACF≌△A′C′F′ .(ASA)
4.如图，已知 AB = AE，∠1 =∠2，∠B =∠E，
求证：BC = ED.
证明：∵∠1=∠2，
∴ ∠1 +∠BAD =∠2 +∠BAD，
即∠EAD =∠BAC.
在△AED 和△ABC 中，
∠E =∠B，
AE = AB，
∠EAD =∠BAC，
A
B
E
C
D
1
2
∴△AED≌△ABC.(ASA)
∴ BC = ED.
学以致用：如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢 如果可以，带哪块去合适 你能说明其中理由吗
3
2
1
答：可以带 1 去，因为两角且夹边分别相等的两个三角形全等.
两角及其夹边分别相等的两个三角形
应用：证明角相等，边相等
三角形全等的“ASA”判定：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

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