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4.1 三角形
第4章 三角形
第2课时 三角形的高、角平分线和中线
学习目标
1. 了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用工具正确画出三角形的高、角平分线与中线；(重点)
2. 学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主探究意识，并培养动手实践能力. (难点)
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线
问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
问题2 由三角形的高你能得到什么结论？
∠AHB = ∠AHC = 90°
A
B
C
H
垂足
注意：标明垂直记号和垂足的字母.
高
三角形的高
1
② AH⊥BC，垂足为 H；
③ 点 H 在 BC 上，且∠AHB = 90° (或∠AHC = 90°).
① AH 是△ABC 的高；
A
B
C
H
高的描述方法（如图）：有三种
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形
的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示.
O
A
B
C
D
E
F
合作探究
直角边 BC 上的高是 ；
直角边 AB 上的高是 .
(2) 斜边 AC 上的高是 ；
直角三角形的三条高
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高；
AB
CB
它们有怎样的位置关系
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
钝角三角形的三条高
(1) 你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC 边上的高是哪条线段？
AB 边上的高是哪条线段？
BC 边上的高是哪条线段？
BF
CE
AD
A
B
C
D
F
(3) 钝角三角形的三条高相交
吗？
(4) 它们所在的直线交于一点
吗？这点位于何处？
O
E
钝角三角形的三条高不相交.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点，并且这个点在三角形外部.
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→
视频：画钝角三角形的高
例1 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　)
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1) 过该边所对的顶点；(2) 垂直于该边，且垂足必须在该边或在该边的延长线上.
D
典例精析
例2 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为 ．
方法总结：首先判定△ABC 为锐角三角形，得出 BP 最小等于 AC 边上的高；然后利用面积相等作为桥梁(可不求面积)去求这条高．此法通常称为“等面积法”．
_____
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 所在的射线即为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
三角形的角平分线
2
思考：在一张薄纸上任意画一个三角形，你能通过折纸的方法得到它吗
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
∠1 =∠2 = ∠BAC
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片
各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系
做一做
观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？
三角形的三条角平分线交于同一点.
例3 如图，CD 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数.
解：∵ CD 平分∠ACB，
又 DE∥BC，
∴∠ACB =∠AED = 80°.
∴∠ECD = 40°.
∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB.
A
B
C
E
D
典例精析
视频：平均分蛋糕
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定义：
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.
A
B
C
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
BE = CE = BC
E
如图，BE = CE，则线段 AE 是△ABC 的 BC 边上的中线．
三角形的中线
3
画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
画图发现
三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
例4 如图，AD 是△ABC 的中线， AE 是△ABC 的高.
（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来；
解：图中有 6 个三角形，
它们分别是：
△ABD，
△ADE，
△AEC，
△ABE，
△ADC，
△ABC.
（2）其中哪些三角形的面积相等？
解：因为 AD 是△ABC 的中线，
所以 BD = DC.
因为 AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高，
因此 S△ABD = S△ADC .
所以 S△ABD = BD AE，
S△ADC = DC AE，
总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分.
解：∵AD 是△ABC 的中线，∴CD = BD.
∵△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，
∴AC + AB = 35 - 11 = 24 (cm).
又∵△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，
∴AB - AC = 3 cm.
∴AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm.
例5 如图，△ABC 中，AB > AC，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，且△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，求 AB 与 AC 的长.
A
C
D
B
三角形的 重要线段 概念 图形 表示法
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段
三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(
1
(
2
1．下列说法正确的是 （　　）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
2.填空：
(1) 如图①，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则
AB = 2＿＿，BD = ＿＿，AE = ＿＿.
(2) 如图②，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，
则∠1 =_______， ∠3 =_______，∠ABC = 2_____.
图①
图②
AF
DC
∠CAD
∠2
∠BCF
A
B
C
D
E
F
AC
3. 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =_____cm2.
12
能力提升：王大爷有一块三角形的菜地，现在要将它们平均分给四个儿子，在菜地的一角 A 处有一口池塘，为了使分开后的四块菜地都能就近取水，王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？
如果不考虑水源，你认为还可以怎样分
A
（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.）
三角形的重要线段
高
注意钝角三角形两短边上高的画法
中线
会把原三角形的面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
是线段，不是射线

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