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第十七章
欧姆定律
第4节
欧姆定律在串、并联电路
欧姆定律是电学的基本定律之一，应用非常广泛实际电路虽然比较复杂，但是往往可以简化为串联电路、并联电路或它们的组合。我们如何运用欧姆定律解决串联和并联电路中的问题呢
欧姆定律在串联电路中的应用
串联电路中电阻的关系
(1) 推导：如图所示，两个串联的定值电阻分别为 R1、R2，它们两端的电压分别为 U1、U2，串联电路两端的总电压为 U，通过电路中的电流为 I，R1 和 R2 串联后的总电阻为 R。
由欧姆定律可得 U1＝IR1、U2＝IR2、U＝IR；
由 U＝U1＋U2 可得 IR＝IR1＋IR2，即 R＝R1＋R2。
(2) 结论：串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
(3) 实质：多个电阻串联后，相当于增加了导体的长度，所以串联后的总电阻大于任何一个串联导体的电阻。
(4) 拓展：对于多个电阻 R1、R2、···、Rn 串联，总电阻 R＝R1＋R2＋···＋Rn。
若 n 个阻值相同的定值电阻 (设每个电阻的阻值均为 R0) 串联，则 R＝nR0。
串联电路中电阻的分压作用
(1)推导：如图所示，R1与 R2 串联，根据欧姆定律可得 U1＝ I1R1，U2＝I2R2，
因为串联电路中 I1＝I2，所以 ＝＝，即 ＝。
(2)结论：在串联电路中，两个电阻器两端的电压之比等于其电阻之比。
(3)拓展
①串联电路中，一个电阻器的阻值增大时，该电阻器两端的电压也增大，其他电阻器两端的电压会减小。
②串联电阻起分压作用，即当电路中总电压大于用电器正常工作的电压时，可在电路中串联一个定值电阻分担多余的电压，使用电器正常工作。
串联电路中电流的计算
如图所示，根据串联电路电流的规律，通过定值电阻 R1 的电流和通过定值电阻 R2 的电流都等于 I。由欧姆定律可知 U1＝IR1，U2＝IR2。
根据串联电路电压的规律 U＝U1＋U2，有 U＝IR1＋IR2＝I(R1 ＋R2)，可得 I＝。
[归纳总结] 串联电路中的电流，等于电源两端电压除以各分电阻之和。
欧姆定律在并联电路中的应用
并联电路中电阻的关系
(1)推导：如图所示，定值电阻 R1、R2 并联后接入电路，并联电路两端的电压为 U，通过 R1、R2 的电流(支路电流)分别为 I1、I2，而干路中的电流 (即通过 R1 和 R2 的总电流)为 I。R1、R2 两个定值电阻并联后的等效电阻——并联电路的总电阻为 R。
由欧姆定律可知 I＝、I1＝、I2＝。
因为 I＝I1＋I2，所以 ＝＋，即 ＝＋(R＝)。
(2)结论：并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和。
(3)实质：因为导体并联相当于增大了导体的横截面积，所以并联电路的总电阻比任何一个分电阻都小。
(4)拓展
① 并联电路每增加一个并联支路，都相当于增加一次导体的横截面积，并联电路总电阻就会减小一次。
②若有 n 个定值电阻并联，有＝＋＋···＋，当这些定值电阻阻值相同时，有 R总＝。
并联电路中电阻的分流作用
(1)推导：如图所示，R1 与 R2 并联，根据欧姆定律可知 U1＝I1R1 、U2＝I2R2，因为并联电路中 U1＝U2，即 I1R1＝I2R2，所以 ＝。
(2)结论：在并联电路中，各支路电流之比等于各支路电阻之比的倒数。
并联电路中电流的计算
如图所示，根据并联电路电压规律，电阻器 R1和 R2 两端的电压都等于电源电压 U。
由欧姆定律得 I1＝，I2＝ 。
当电阻器 R1 的阻值发生变化，而电阻器 R2 的阻值不变时，因电源电压 U 不变，所以 I1 会变化，I2 不变。根据并联电路中电流的规律 I＝I1＋I2 知，干路电流也会变化。
[归纳总结] 当并联电路中一个支路的电阻改变时，这个支路的电压不变，电流会变化，干路电流也会变化，但另一个支路的电流和电压都不变。
例题1
为开展科技活动，某同学设计了一个用开关 S2，控制电阻为R1 的电阻器两端电压的工作电路，如图 17.4-1 所示，电源电压为 18V。已知通过电阳为 R1 的电阻器的电流与其两端电压的关系如图 17.4-2 所示。
图17.4-1 例题1的电路图
图17.4-2 I-U 图像
(1) 电阻 R1 是多少
解：从图17.4-2可知，电阻为 R1的电阻器两端的电压 U′ 为 18 V 时，通过它的电流 I′ 为 0.9A。由欧姆定律可得
R1＝＝＝20 Ω
(2) 闭合开关 S1，要使开关 S2 断开时电阻为 R1 的电阻器两端的电压变为 16 V，另一个电阻器的电阻 R2 应为多少
图17.4-1 例题1的电路图
18 V
20 Ω
解：S2 断开后，电阻为 R1 的电阻器两端的电压 U 为 16 V。根据欧姆定律，此时通过电阻为 R1 的电阻器的电流
I1＝＝ ＝0.8 A
图17.4-1 例题1的电路图
18 V
20 Ω
由于 S2 断开时电阻为 R1 的电阻器和电阻为 R2 的电阻器是串联的，因此它们两端的电压之和等于电源电压 U。此时电阻为 R2 的电阻器两端的电压
U2＝U－U1＝18V－16V＝2 V
图17.4-1 例题1的电路图
18 V
20 Ω
因为串联电路中各处的电流相等，所以此时通过电阻为 R2 的电阻器的电流
I2＝I1＝0.8A
由欧姆定律可得
R2＝＝＝2.5Ω
例题2
如图17.4-3 所示，一个电阻器的电阻 R1 为 10 Ω，开关 S1 闭合、S2 断开时，电流表的示数为 1.2A，再把 S2 闭合后，电流表的示数变为 1.5A。
图17.4-3 例题2的电路图
图17.4-3 例题2的电路图
(1) 开关 S1 闭合、S2 断开时，电阻为 R1 的电阻器两端的电压是多少？
解：开关 S1 闭合、S2 断开时，电流表的示数等于通过电阻为 R1的电阻器的电流 I1。由欧姆定律可得此时电阻为 R1 的电阻器两端的电压
U1＝I1R1＝1.2A×10 Ω＝12 V
(2) 另一个电阻器的电阻 R2 是多少
解：由于两个电阻器是并联的，它们两端的电压相等，即 U2＝U1＝12 V，且电流表的示数等于通过两个支路的电流之和 I，因此 S2 闭合后通过电阳为 R2 的电阻器的电流
I2＝I－I1＝1.5 A－1.2 A＝0.3 A
由欧姆定律可得 R2＝＝＝40 Ω
欧姆定律公式中的电压、电流、电阻是对同一个研究对象而言的，因此在应用欧姆定律解决问题的时候，必须明确：公式中的三个量是不是这个研究对象的 而串、并联电路中的电流关系、电压关系，描述的是不同研究对象之间的相互联系。
在解决串、并联电路的问题时，我们可以先选择某个导体为研究对象，用欧姆定律求解通过它的电流或它两端的电压，再通过该导体与其他导体的串、并联关系求得题目的答案。我们也可以先通过两个导体的串、并联关系求得通过某一个导体的电流或它两端的电压，再以该导体为研究对象，用欧姆定律求解题目的答案。
串、并联电路中电流、电压、电阻的关系
项目 串联电路 并联电路
电流 I＝I1＝I2 I＝I1＋I2
电压 U＝U1＋U2 U＝U1＝U2
电阻 R总＝R1＋R2
电压或电流的分配关系
把电阻分别为5Ω、15Ω 的两个电阻器和一个电流表串联起来，接在电源上。电流表的示数是0.3A，电源的电压是多少
串联电路总电阻等于各串联电阻之和，所以 5Ω、15 Ω 的两个电阳器串联后的总电阻为 5Ω＋15 Ω＝20 Ω。
在串联电路中电流处处相等，电流表读数 I＝0.3A，根据欧姆定律 U＝R，可求出电源电压 U＝IR＝0.3A×20Ω＝6 V.
把电阻分别为 R1 与 R2 的两个电阻器并联后接入电路，两端所加的电压为 24V。如果 R1为80 Ω，通过电阻为 R2 的电阻器的电流为0.2A，电路中的总电流是多少 电阻 R2 是多少
0.5 A；120 Ω。
解析：由于两电阻器并联，所以两电阻器两端的电压均为 24 V，
通过电阻为 R1 电阻器的电流 I1＝＝＝ 0.3 A，
电路中的总电流 I＝I1＋I2＝0.3 A＋0.2 A＝0.5A，
电阻 R2＝＝ ＝120 Ω
有一个电阻是 40 Ω 的电阻器，允许通过的最大电流是 0.2A。若将它接在 20 V 的电源上，它能正常工作吗 为使它正常工作，应串联一个电阻是多大的电阻器
(1) 在 20 V 电压下，I＝＝＝0.5A ＞0.2A，该电阻器不能正常工作。
(2) 要使该电阻器正常工作，有 R总＝＝ ＝100 Ω，
R串＝ R总－R＝100 Ω －40 Ω＝60 Ω，
需要串联一个 60 Ω 的电阻器。
如何用一个电压表和一个已知电阻的电阻器来测量某个电阻器的电阻 某同学设计了如图17.4-4 所示的电路，实验时，已知 R1 为 40 Ω。闭合开关S、断开 S1 时电压表的示数是 2.0 V，闭合 S1 时电压表的示数是 2.8V。整个实验过程中，电源的电压不变，求待测电阻器的电阻 R2。
16 Ω
图 17.4-4
图 17.4-4
解析：当 S、S1 闭合时，电压表测的是电源电压，故电源电压 U＝2.8 V；
当 S1 断开时，R1 与 R2 串联，电压表测的是 R1 两端的电压，即 U1＝2.0 V，则通过 R1 的电流为 I1＝＝ ＝0.05A，
图 17.4-4
R1 与 R2 串联时通过 R2 的电流与通过 R1 的电流相等，即 I2＝I1＝0.05 A，
R2 两端的电压 U2＝U－U1＝2.8 V－20 V＝0.8 V，则 R2＝＝＝16 Ω。
1.有两个定值电阻 R1＝3 Ω，R2＝6 Ω，将 R1、R2 串联起来，通过它们的电流之比 I1 ∶ I2＝_________，它们两端的电压之比 U1 ∶ U2 ＝ _________。
1 ∶ 1
1 ∶ 2
2. 一个小灯泡的电阻是 8 Ω，正常工作时的电压是 4 V，现在要把这个小灯泡直接接在 6 V 的电源上，需要_________ 联一个_________Ω 的定值电阻才能使小灯泡正常发光。
串
4
3. (大连甘井子期中) 如图所示电路中，两电流表的规格相同(两个量程为 0~0.6 A和 0~3 A)，闭合开关 S，两个定值电阻均有电流通过，两只电流表指针偏转角度相同，则 R1 和 R2 的比值为( )
A. 1:5 B. 5:1
C. 1:4 D. 4:1
D
4. (云南中考) 如图所示，电源电压 6 V 恒定不变，R1 阻值为 15 Ω，电流表量程为 0~0.6 A。
(1) 开关 S、S1 都闭合，滑片 P 不能移到 a 端的原因是会造成电路 ________ (选填“通路” “短路”或“断路”)；
短路
(2) 开关 S 闭合、S1 断开时，求电流表示数；
(3) 开关 S、S1 都闭合时，为了使电流表的示数不超量程，求滑动变阻器 R2，连入电路的最小阻值。
6 V
15 Ω
0~0.6 A
0.4 A
30 Ω
如图17-1所示，A、B 是两位同学做实验时根据实验数据画出的 I-U 图像。他们所用的电阻器的电阻分别是多少
图 17-1
A 同学所用电阳器的电阻为 5.26 Ω，B 同学所用电阳器的电阻为 10 Ω 。
甲
某同学用图17-2甲所示的器材探究电阻一定时电流与电压的关系，根据实验数据在坐标系中描出的，点如图 17-2乙所示。
(1) 请用笔画线表示导线，把图17-2甲的实物电路连接完整。
(2) 请你帮助他在图17-2乙中画出 I-U 图像，在作图时应注意什么
甲同学和乙同学做“探究电压一定时电流与电阻的关系”的实验时，记录的实验数据如下所示。
甲同学的实验记录
序号 1 2 3 4 5
电阻 R/Ω 5 10 15 20 25
电流 I/A 0.50 0.24 0.16 0.12 0.10
乙同学的实验记录
序号 1 2 3 4 5
电阻 R/Ω 5 10 15 20 25
电流 I/A 0.40 0.20 0.14 0.10 0.08
甲同学和乙同学在实验时，定值电阻两端的电压分别是多少 说说你判断的依据。
甲同学实验时定值电阻两端电压 U甲＝IR＝2.5 V。
乙同学实验时定值电阻两端电压 U乙＝IR＝2V。
判断依据：在“探究电压一定时电流与电阻的关系”实验中，要控制定值电阻两端电压不变，通过欧姆定律变形式 U＝IR 可知两实验中定值电阻两端的电压。
图17-3甲所示的是一种家用天然气泄漏检测仪，其内部简化电路图如图17-3乙所示，工作电压为 4.5 V，定值电阻的电阻R 为100 Ω，天然气气敏电阻的电阻是 R0。当报警器两端的电压达到 3V 时报警，此时 R0 是多少
甲
乙
由图乙可知，定值电阻 R 与天然气气敏电阻 R0 串联，报警器与气敏电阻 R0 并联，
乙
所以报警器两端的电压就是气敏电阻 R0 两端的电压，
已知工作电压 U＝4.5 V，
当报警器报警时 UR0＝3 V，
根据串联电路中总电压等于各部分电压 之和，可得定值电阻 R 两端的电压
U＝U－UR0＝4.5 V－3 V＝1.5 V，
因为串联电路中各处的电流相等，根据欧姆定律 I＝，
乙
可得通过定值电阻 R 的电流 IR，
已知 R＝100 Ω，UR＝1.5V，
则 IR＝＝ ＝0.015A，
所以电路中的电流 I＝IR＝0.015 A，
已知 UR0＝3 V，I＝0.015 A，
则气敏电阻 R0 的电阻为 R0＝＝＝200 Ω。
将一个定值电阻接到电压为 6V 的电源上，通过定值电阻的电流是 0.4A，定值电阻的电阻是多少 若把一个电阻 为50Ω的定值电阻换接到这个电源上，通过它的电流是多少
已知定值电阻两端电压 U＝6 V，通过的电流 I＝0.4 A，
据欧姆定律 I＝，变形可得 R＝＝＝15 Ω。
电源电压 U＝6 V 不变，换接的电阻 R′＝50 Ω，
根据欧姆定律I＝知，
此时通过定值电阻的电流I′＝＝＝0.12A。
已知通过一个电阻为 242 Ω 的灯泡的电流是 0.91A。如果在灯泡两端再并联一个电阻为165 Ω 的电烙铁，那么并联电路的总电流变为多大
根据欧姆定律 I＝，
可知灯泡两端的电压 U＝＝0.91 A×242 Ω＝220.22 V，
因为并联电路各支路两端电压相等，
所以电烙铁两端电压也为 U＝220.22 V，
电烙铁的电阻 R＝165 Ω，
根据欧姆定律可求出通过电烙铁的电流
I铁＝＝ ＝1.33A，
并联电路干路电流等于各支路电流之和，所以总电流
I＝I灯＋I铁＝0.91 A＋1.33 A＝2.24 A.
图 17-4
如图17-4 所示，某同学用滑动变阻器改变小灯泡的亮度。已知所用电源是两节新的干电池，小灯泡正常发光时两端的电压为 2.5 V，通过的电流为 0.3A，此时滑动变阻器接入电路中的电阻是多少 为防止小灯泡被烧毁，移动滑片时应注意观察什么
已知所用电源是两节新的干电池，电源电压 U＝1.5 V×2＝3V，
由题图可知，滑动变阻器与小灯泡串联，在串联电路中，各处电流相等，
所以通过滑动变阻器的电流 I滑＝I灯＝0.3A，
串联电路中电源电压等于各用电器两端电压之和，已知小灯泡正常发光时两端电压 U灯＝2.5V，
那么滑动变阻器两端的电压
U滑＝U－U灯＝3 V－2.5 V＝0.5 V，
根据欧姆定律 I＝，可得滑动变阻器接入电路中的电阻
R滑＝＝＝1.67Ω。
防止小灯泡被烧毁的注意事项：因为小灯泡正常发光时两端电压为 2.5V，超过这个电压值小灯泡可能会被烧毁。所以为防止小灯泡被烧毁，移动滑片时应注意观察电压表的示数，使小灯泡两端的电压低于 2.5 V。
如图17-5 所示的是一种能在家中使用的接线板，其指示灯为一个发光二极管。发光二极管正常工作时两端的电压为 2 V，通过的电流为10 mA。为了使指示灯正常工作，需要串联一个电阻器，这个电阻器的电阻应为多大
图 17-5
家庭电路电压 U＝220 V，发光二极管正常工作电压 U＝2V，
根据串联电路电压特点，串联电阻器两端电压 UR＝U－ULED＝220 V－2 V＝218 V，
已知通过发光二极管的电流 ILED＝10 mA＝0.01 A，
因为串联电路电流处处相等，
所以通过电阻器的电流 IR＝ILED＝0.01A，
根据欧姆定律 I＝，可得电阻 R＝＝＝21 800 Ω。
请应用欧姆定律和串、并联电路的电流、电压规律，推导下面的结论。
(1) 在由两个导体组成的串联电路中，导体两端的电压与它们的电阻成正比。
(2) 在由两个导体组成的并联电路中，通过导体的电流与它们的电阻成反比。
(1) 在由两个导体组成的串联电路中，导体两端的电压与它们的电阻成正比。
在串联电路中，电流处处相等，即 I＝I1＝I2，
根据欧姆定律 I＝，可得 U＝IR，对于导体 R1，其两端电压 U1＝I1R1，对于导体 R2，其两端电压 U2＝I2R2。
因为 I1＝I2，所以 ＝＝，
即导体两端的电压与它们的电阻成正比。
(2) 在由两个导体组成的并联电路中，通过导体的电流与它们的电阻成反比。
在并联电路中，各支路两端电压相等，即 U＝U1＝U2，
由欧姆定律 I＝ 可得 I1＝，I2＝，
因为 U1＝U2，所以 ＝ ＝，
即通过导体的电流与它们的电阻成反比。
电流表的电阻非常小，它是跟被测对象串联的；电压表的电阻非常大，它是跟被测对象并联的。请用欧姆定律说明：如果电流表跟用电器并联，电压表跟用电器串联，将会产生什么后果
根据欧姆定律 I＝ 可知，电流表的电阻 RA 非常小，当电流表与用电器并联时，并联部分的总电阻 R总 会很小 (因为并联电阻的总电阻比任何一个分电阻都小，且此时 R总 主要由电流表电阻决定)，电源电压 U 不变，
由 I＝ 可知，此时电路中的电流 I 会很大，过大的电流可能会烧坏电流表，同时也可能对电源造成损害，甚至引发安全事故。
电压表的电阻 RV 非常大，当电压表与用电器串联时，电路中的总电阻 R总 会很大 (因为串联电阻的总电阻等于各分电阻之和，且此时 R总 主要由电压表电阻决定)，由 I＝，电源电压 U 不变，由于 R总 很大，所以电路中的电流 I 会非常小，
用电器两端的电压 U用电器＝ IR用电器，因为 I 很小，R用电器 一般相对电压表电阻较小，所以用电器两端电压会很小，几乎为 0，导致用电器无法正常工作。而电压表此时几乎测量的是电源电压，因为 UV＝IRV，RV 很大，I 虽小但仍能使电压表有示数。

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