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课件44张PPT。有效改进课堂教学人民教育出版社 章建跃
zhangjy@pep.com.cn一、数学教师专业化发展的思考数学学科的专业素养
有较好的数学功底（教好数学的前提是自己先学好数学），对数学内容所反映的思想、精神有深入的体会和理解；懂得哪些数学知识对学生的发展具有根本的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的科学方法和理性思维过程的能力和“技术”；等。 教育学科的专业素养：
一个人的可持续发展，不仅要有扎实的双基，而且要有积极的生活态度、主动发展的需求、终身学习的愿望、热情、能力和坚持性、健康向上的人生观和价值观。教师在这些方面对学生的影响力，就是教师的教育学科专业素养的最重要指标。 “两个素养”的结合善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削枝强干；善于打开凝结在数学知识中的数学家的思维活动，并有好的载体（如教学情景、典型例子、变式训练等）来展开这些数学思维活动；对数学知识中蕴含的价值观资源特别敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价值观影响有机整合。 从“理解数学”入手提高概念理解水平：从表面到本质—把握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体—对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更多的典型、精彩的例子；从孤立到系统—对概念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体化的认识；等。
提高解读概念所反映的数学思想方法的能力。二、抓“基础”的含义不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题；
加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。
“题型”、与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽。教学应追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法。三、关于课堂引入1.学科、章节的引入
现状：很少关注这个问题。
先行组织者理论：呈现具体内容前，先呈现相关的、包容范围广但又容易理解和记忆的引导性材料，给学生的后续学习提供理想的“固着点”。
作用： “导游图”——增强学习自觉性、主动性；新旧知识的桥梁——促进有效学习。例1 向量的“先行组织者”引进一个量，必须要有运算——向量如果没有运算就只是一个路标；
类比数及其运算，提出和研究向量运算——以加法和乘法的定义为出发点；
特例：向量与数的运算；
引进一种运算，就要研究运算律——结合律、分配律、交换律等；向量及其运算的几何意义：
数乘向量——直线的向量表示，与数轴对应；
向量加法——平面的向量表示，平面向量基本定理；
数量积——与几何度量、位置关系相关；向量法——中学阶段学习向量的主要目的是用向量方法解决几何问题——核心思想是“三步曲”。
向量法是坐标法的返璞归真。例如，根据条件建立适当的坐标系——恰当选择基向量。例2 四边形的“先行组织者”研究的问题
一般四边形：组成元素、度量（内角和问题）；
特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；
边的特殊性——平行四边形：性质和判定；“性质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；特殊的平行四边形：角的特殊——矩形，边的特殊——菱形，边角都特殊——正方形，都要研究判定和性质。
研究的方法
化归为三角形、平行线的性质等已有知识；
特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形——直角三角形；菱形——等腰三角形；
……例3 函数性质的先行组织者变化之中保持的“不变性”就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值……这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质——“单调性”“最大值”“最小值”……。2. 一堂课的引入“实际问题引入”的误区
不反映当前学习内容的本质（例：椭圆）；
复杂化（例：圆周角）；
“儿童化”（ 例：多边形内角和）；
与后续教学脱节（无盖长方体）；等。改进：这个“引入”有什么用成为后续概括活动的基础；吸引学生注意力；引发学生兴趣；……
数学内在的逻辑线索是重要的引入基础。
例4 “圆周角”的引入
（1）复习圆心角相关的知识：重点是“研究思路”的回顾——从圆是以圆心为对称中心的中心对称图形出发，讨论圆心角、弧、弦、弦心距的度量性质；（2）已经研究了与圆相关的一个重要的角——圆心角，它的顶点在圆心；还有一个重要的角——顶点在圆周上。类比圆心角的研究，你认为可以研究圆周角的哪些问题？
（3）圆周角与同弧所对的圆心角的关系是一个好问题。如何研究？数学中常常找特殊情形为突破口，哪一类情形比较特殊？注意决定圆的要素（圆心和半径）的作用。
……四、设计概念的概括过程概括的含义：同类事物的共同本质特征；
概括的意义：形成和掌握概念的前提；迁移的实质就是概括；概括是一切思维品质的基础；概括能力是思维能力的基础。
“举一反三”与“举三反一”的关系：
（1）分化典型具体事例的属性，分析、综合、比较而概括出共同本质属性——举三反一；（2）类化，把共同本质属性推广到同类事物中——举一反三；
（3）纳入概念系统，与相关概念建立联系。
特别注意：对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是教学的重要环节；发现关系的能力是很重要的。例5：函数的奇偶性
急功近利的做法
（1）给出函数y=x2和y=x的图像，并提出问题：如果从图象的对称性观察，两个图像各有什么特点？
（2）给表格并提问：数量关系上有啥特征？
（3）能否描述一下函数y=x2的特征？
学生的回答：对于y=x2，当x取任意数时y都取正数；函数图像关于y轴对称；自变量取一对相反数时，函数值相等；……
（4）对于定义域内任意一个x，是否都有f(－)＝f(x)？
（5）能否描述一下偶函数的定义？
——“一个函数打天下”，缺乏概括的基础。改进的方法典型、丰富的例证——不止一个：y=x2，y=|x|， y=x2－2……；
从观察图像、概括共同特征入手；
列表，从数的角度描述特征；
形、数对照——从形到数——用函数符号语言描述特征；
概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素的具体界定；组织——建立相关知识的联系。五、设计公式、定理的概括过程公式：用数学符号表示的几个量之间关系的式子，具有普遍性，适用于同类关系的所有问题。
定律：对客观规律的一种表达形式，通过大量具体事例归纳而成。
定理：从公理出发，演绎推导出来的真实命题。公式、定理的教学：从定律到公式、定理——观察具体事例，归纳规律（定律），证明而得公式、定理。本质是对原发现过程的还原。例4 递推数列的通项公式题型1 an+1－ an=f(n)，累加法；变式题：裂项相加法，倒数化归法。
题型2 an+1/an=f(n)，累乘法；变式题： an+1=an2n，……
题型3 利用a1=S1，an=Sn－Sn-1；
题型4 an+1=p an +q；
题型5 ……题型套题型，题型何其多
没有思想方法作为主线，杂乱无章an+1=p an +q型数列通项公式今天研究求an+1=p an +q型数列通项公式问题。一般地，抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题的基本策略。
问题1 已知a1=1，an+1=2an+1（n＞1），求通项公式。
问题2 已知a1=1，an+1=2an+3（n＞1），求通项公式。
问题3 已知a1=1，an+1=3an+1（n＞1），求通项公式。问题1、2可以“凑”，但问题3不能，怎么办？注意观察前两个问题的解决过程，转化得到的结构有什么共性？对解决问题3有什么启发？
结论：都转化为an+1+t=k(an+t)的形式。
问题4 一般地，对于a1=a，an+1=pan+1 +q，如何求通项公式？——因为推广到了“同类事物”，所以要注意“完备性”，细节、特例的追究。
例5 等腰三角形的性质先行组织者：对于三角形，我们研究过它的组成要素和相关要素（内角、边、外角、角平分线、中线、高等）的度量关系；研究过两个三角形的特殊关系——全等问题；等。这些研究从性质和判定两个角度入手。像研究直线的特殊位置关系（垂直、平行）一样，三角形也有特殊的（是什么？）需要研究——“角”为标准的直角三角形，“边”为标准的等腰三角形（特例是等边）。问题1 你认为可以研究等腰三角形的哪些问题？——性质与判定
问题2 等腰三角形的性质可以从哪些角度入手？——角的关系（两底角相等）、高、中线、角平分线的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。
问题3 前面学习过轴对称图形，知道角是以角平分线为对称轴的轴对称图形。根据这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并说明你得到的一定是等腰三角形。从“剪”的过程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？你可以得到哪些性质的猜想？
“剪”的关键步骤是什么？数学含义是什么？
上述猜想是从一个等腰三角形得到的，是否对所有等腰三角形都有这些性质呢？如何证明？——通过全等三角形，注意从操作中获得证明思路的启发。
对特殊的等腰三角形——等边三角形，有什么相应的特殊结论？六、教师讲解、指导的有效性启发式讲解
内容的科学性和思想性、系统性和逻辑性——围绕核心、贯穿始终的思想方法；
关键在于设疑、激疑和解疑：目的性；要针对当前内容的本质；明确、具体；激发学生的思考、兴趣；把握好“度”。
指导：点穴——切中要害，豁然开朗。合情推理（第一课时）生：可以看成正方形个数的相加，即1个正方形和3个正方形相加得到4个正方形。
师：对，其实我们是根据图形语言来观察得到的，那用数学符号来表示呢？
生：1+3=4。
师：对，那么接下来的几个拼图呢？
师：对，你把问题的表现形式（图形语言）翻译成了另一种形式（文字语言）。能不能从数及其运算的角度表示出来？
生：1+3=4。
师：也许有的同学会认为这太“小儿科”了，但从接下来的表示中你会发现这种表示形式的转化在发现共性上的力量。下面的几个拼图呢？生：4个正方形和5个正方形相加得到9个正方形。
师：你能把得到9个正方形的过程分细吗？
生：先由1个和3个得到4个，再由4个和5个得到9个。
师：用符号语言来表述呢？
生：1+3+5=9。接下来是9个和7个相加得到16个，1+3+5+7=16。生：4个正方形和5个正方形相加得到9个正方形，即4+5=9。
师：这太没意思了。能否从“拼图过程”的角度再考虑一下？
生：哦，先由1个正方形和3个正方形拼成4个正方形，再由4个正方形和5个正方形拼成9个正方形，即1+3+5=9。接下来是1+3+5+7=16。（没有概括）师：对，“从头至尾”才反映了这个“过程”。这样我们就得到对“几个实事”的“一种观察”：
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16师：从图形看，拼成的图都正好是正方形，从中你怎么看上面式子右边的数？
生：我觉得可以从正方形的面积来看，分别是2、3的平方，即 1+3=22，1+3+5=32 。
师：能否用数学的文字语言描述它们？
生：前2个正奇数的和是2的平方，前3个正奇数的和是3的平方。师：对比等式的右边和拼成的结果，上述观察是否充分？你有什么新的想法？
生：哦，由于每次拼图结果都得到一个新的正方形，而等式右边都是平方数，所以可以从面积的角度对拼图过程和结果作出解释：1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42。师：继续观察最后的拼图，你能得到什么？
生：由于是边长为4的正方形，所以应该是 1+3+5+7=42，即前4个正奇数的和是4的平方。师：能否从数的角度观察算式的特点，并描述一下上述式子？
生：前2个正奇数的和是2的平方；前3个正奇数的和是3的平方；前4个正奇数的和是4的平方。
师：接下来会是什么结论？
生：前5个正奇数的和是5的平方，即1+3+5+7+9=52。师：接下来是什么式子？
生：式子该是1+3+5+7+9=52 ，即前5个正奇数的和是5的平方。
师：你能否验证？
生：从算式两边的值可以验证，也可以再通过拼图来得到。
师：那你能不能得到一般的情况呢？
生：前n个正奇数的和是n的平方。
师：用符号语言来表示呢？
师：上述结果很容易从计算和拼图得到验证。请同学们猜想一下一般的情况，并用算式表达出来。
生：前n个正奇数的和是n的平方，算式是：1+3+5+…+(2n－1)=n2。
师：对，通过本题的归纳过程，你觉得归纳推理的难点在哪儿？又该如何去解决？
生：难点是规律的发现，也就是如何去观察，可以借助不同语言的转换来帮助我们去观察的。师：对.请大家总结一下上述结论的获得过程，你觉得归纳推理的难点在哪儿？又该如何化解？
生：难点是规律的发现，也就是如何去观察，可以借助不同语言的转换来帮助我们去观察的。
师：难点的确是“如何观察”，也就是要学会观察的方法。从上述过程可以看到，要发现“前n个正奇数的和是n的平方”这一共性，首要的是认真分析题意，得出“几个事实”的数学本质：1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52。其中有几点值得注意：一是拼图“过程”的数学解释，实际上就是要“保留中间结果地写出算式”，生2的第一次回答就没有把“过程”表现出来，可以想象，如果照此继续，共性就很难发现了；二是观察要彻底，实际上，“每次拼图的结果是一个新的正方形”是一个很重要的共性，这一点大家在开始时并没有注意到；三是不同语言的转换对我们发现共性也有重要作用，这是同学们已经注意到的。结束语数学概念教学的注意事项
由数学概念的高度抽象性决定了认识它的过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个在已有基础上不断概括的过程；
人类认识数学概念是“渐进”的，个体认识数学概念要“重演”人类的认识过程，因此需要区分不同年龄阶段的概括层次，如函数的变量说——初中、映射说——高中、关系说（序偶）——大学；用于概括的例子至关重要，“一个好例子胜过一千条说教”；
“细节决定成败”，必须安排概念的精致过程，要对概念进行“深加工”；
在概念的系统中学习概念，形成用概念作判断的“操作步骤”的同时，建立相关概念的联系。欢迎批评指正
谢谢！例3 三角函数的核心三角函数是匀速圆周运动的本质表现。
角是“转”出来的：单位圆上的点（x，y）在其圆周上旋转所成的。
研究匀速旋转最重要的是研究（x，y）的变化，即研究x和y作为 θ的函数——三角函数是圆的几何性质的代数表示。
可以把正弦函数、余弦函数统一为一个函数。技术上，充分利用单位圆研究三角函数的图像与性质，其中特别是与圆的对称性相关的性质。
和（差）角公式的研究也应该利用圆的对称性——旋转对称性。

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