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由一道三次多项式的因式分解所想到的
湖南省桂阳县飞仙中心校 欧阳利芳
因式分解在中学数学解题中应用非常广泛，如解方程，解不等式，判断一个函数式所表示的曲线等都是通过因式分解降次，以便求出结果。为此，选择了下面一题来探求它的解法，吸取它们的精华。
例：将x3+8x2+20x+16因式分解
分析：要想将x3+8x2+20x+16分解成几个一次因式的积，就必须把它降为熟悉的二次多项式，观察此式的结构特点，多项式对应的方程x3+8x2+20x+16=0可能的有理根是±2,±4.
又方程各项的系数都是正数，所以无正根，只有-2和-4。因此，分组后每一组只要出现x+2或x+4的因式，问题就很容易得到解决了。现将它的二次项或一次项或常数项分成几种情况进行拆项分组。
一、拆一次项
解法1：原式=(x3+8x2+16x)+(4x+16)
=x(x2+8x+16)+4(x+4)
=x(x+4)2+4(x+4)
=(x+4)(x2+4x+4)
=(x+4)(x+2)2
解法2: 原式=( x3+8x2+12x)+(8x+16)
= x(x2+8x+12)+8(x+2)
=(x+2)(x+6)x+8(x+2)
=(x+2)(x2+6x+8)
=(x+2)2(x+4)
解法3: 原式=( x3-4x)+(8x2+24x+16)
=x(x2-4)+8(x2+3x+2)
=x(x+2)(x-2)+8(x+2)(x+1)
=(x+2)(x2+6x+8)
=(x+2)2(x+4)
解法4: 原式= (x3-16x)+(8x2+36x+16)
=x(x2-16)+4(2x2+9x+4)
=x(x+4)(x-4)+4(x+4)(2x+1)
=(x+4)(x2+4x+4)
=(x+4)(x+2)2
二、拆二次项
解法1：原式= (x3+2x2)+(6x2+20x+16)
= x2 (x+2)+2(3 x2 +10 x +8)
= x2 (x+2)+2(x+2)(3 x+4)
=(x+2)( x2+6x+8)
=(x+2)2(x+4)

解法2: 原式=(x3+4x2)+(4x2+20x+16)
=x2 (x+4)+4(x2+5x+4)
=x2 (x+4) +4(x+4) (x+1)
=(x+4) (x2+4x+4)
=(x+4) (x+2)2
解法3: 原式=(x3+9x2+20x)+(- x2+16)
=x(x2+9x+20) +(16-x2)
=x(x+4) (x+5) +(4+x) (4-x)
=(x+4) (x2+4x+4)
=(x+4) (x+2)2
解法4原式=(x3+12x2+20x)+(-4x2+16)
=x(x2+12x+20) +4(4-x2)
=x(x+2) (x+10) +4(2+ x) (2-x)
=(x+2) (x2+6x+8)
=(x+2)2(x+4)
三、拆常数项
解法1原式= (x3 +4) + (8x2 +20 x + 8)
= (x+2) (x2 -2 x + 4) +4 (2x2+5x+2)
= (x+2) (x2 -2 x + 4) +4(x+2) (2x+1)
=(x+2) (x2 +6 x + 8)
=(x+2)2(x+4)
解法2原式=(x3+43) +( 8x2+20x-48)
=(x+4) (x2-4x+16) +4(2x2+5x-12)
=(x+4) (x2-4x+16) +4(x+3) (2x-3)
=(x+4) (x2 +4x + 4)
=(x+4) (x+2)2
四．同时拆一次项和常数项
解法1原式=(x3 -4 x) + (8x2 +32 x +32)-（8x+16)
=x（x2-4）+8（x2+4x+4）-8（x+2）
=x（x+2）（x-2）+8(x+2)2-8（x+2）
=（x+2）（x2+6x+8）
=(x+2)2（x+4）
解法2原式=(x3 +8) + (8x2 +32 x + 32)-（12x+24）
=（x+2）（x2-2x+4）+8（x2+4x+4）-12（x+2）
=（x+2）（x2+6x+8）
=(x+2)2（x+4）
五、同时拆二次项和常数项
解法1原式=(x3 +8) + (2x2 -8) +（6x2+20 x + 16)
=（x+2）（x2-2x+4）+2（x2-4）+2（3x2+10x+8）
=（x+2）（x2-2x+4）+2（x+2）（x-2）+2（x+2）（3x+4）
=（x+2）（x2+6x+8）
=(x+2)2（x+4）
解法2原式=(x3+2x2)+( 20x+40) +（6x2-24）
=x2（x+2）+20（x+2）+6（x2-4）
=（x+2）（x2+6x+8）
=(x+2)2（x+4）
解法3原式=(x3+43) +( 2x2-32) +（6x2+20x-16)
=（x+4）（x2-4x+16）+2（x2-16）+2（3x2+10x-8）
=（x+4）（x2-4x+16）+2（x+4）（x-4）+2（x+4）（3x-2）
=（x+4）（x2+4x+4）
=（x+4）(x+2)2
六．同时拆二次项和一次项（即分拆中间项）

解法1原式=(x3+2x2)+(6x2+12x) +（8x+16) 列表帮助分组步骤是：
=x2（x+2）+6x（x+2）+（x+2） （1）将x的系数按降幂排列
x的系数
1
8
20
16
第一组
1
2
第二组
6
12
第三组
8
16
=（x+2）(x2+6x+8)
=(x+2)2（x+4）

（2）因为1：2=6：12=8：16
所以按上表分拆分组（见左上式）
解法2原式=(x3 +4x2) + (4x2 +16 x) +（4x+16) （1）
x的系数
1
8
20
16
第一组
1
4
第二组
4
16
第三组
4
16
=x2（x+4）+4x（x+4）+4（x+4）
=（x+4）（x2+4x+4）
=（x+4）(x+2)2

 （2）因为1：4=4：16=4：16
所以按上表分拆分组（见左上式）


解法3原式= (x3+4x2 +4 x)+(4x2+16x+16) （1）
x的系数
1
8
20
16
第一组
1
4
4
第二组
4
16
16
= x（x2 +4x+4）+4（x2 +4x+4）
=（x2 +4x+4）（x+4）
=(x+2)2（x+4）
（ （2）因为1：4：4=4：16：16
所以按上表分拆分组（见左上式）
由上述三种解法可见，分析中间项分组法简单易学，按表中步骤能快速分组，完成因式分解，所以指数大于1的一元多项式都可考虑，用此法分组分解。、
七、同时拆二次项、一次项和常数项
解法1原式=(x3+3﹡2﹡x2+3﹡22x+8)+(2x2+8x+8)
= (x+2)3+2（x2 +4x+4）
=(x+2)2（x+4）
解法2原式=(x3+3﹡4﹡x2+3﹡42x+43) +（-4x2-28x-48）
=(x+4)3-4（x2+7x+12）
=(x+4)3-4（x+4）（x+3）
=（x+4）（x2+4x+4）
=（x+4）(x+2)2
解法3原式=(x3 +2 x2+ (6x2 +24x + 24) +（-4x-8）
=x2（x+2）+6（x2 +4x+4）-4（x+2）
=（x+2）（x2 +6x+8）
=(x+2)2（x+4）
解法4原式=(x3 +2x2) + (2x2 +8 x + 8) +（4x2 +12x+8）
=x2（x+2）+2（x2 +4x+4）+4（x2 +3x+2）
=x2（x+2）+2(x+2)2+4（x+2）（x+1）
=（x+2）（x2 +6x+8）
=(x+2)2（x+4）
由上解法使学生体验到，一道因式分解题的解答思路有很多种，同时也系统的复习了因式分解中的提取公因式法，利用公式法，十字相交叉法，拆项分组法，强化了学生所学知识，提高了学生解题的灵活性，技巧性，拓宽了学生的知识面，为学习后续知识打下了牢固基础，渴求数学知识的欲望更强，兴趣更浓。

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