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1.1.3集合的基本运算
学习目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义.
3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.
二、
重点：理解两个集合的并集与交集的含义，并会用集合语言表达数学对象与数学内容.
难点：区别交集与并集的概念及符号表示.
三、知识梳理
1.交集
（1）定义：一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与的________；记作：________，读作：________.
用集合语言可以表示为________；交集的图表示如下：
（2）性质
①；②；③；④.
注意：①；②.
2.并集
（1）定义：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的________，记作：________，读作：________，
用集合语言可以表示为________.
图表示：
（2）性质
①；②；③；④.
注意：①；②.
3.补集
（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________.
（2）补集：
对于全集的一个子集，由全集中所有________________组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作：________；
用集合语言可以表示为________.
补集的图表示：
（3）性质
①；②；③.
应用举例
例1 设集合A = {x | -1 < x < 2}，集合B = {x | 1 < x < 3}，求.
解：法一：= {x | -1 < x < 2}{x | 1 < x < 3} = {x | -1 < x < 3}.
法二：利用数轴直观表示.
例2 设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系.
解：平面内直线，可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合.
（1）直线，相交于一点P可表示为；
（2）直线，平行可表示为；
（3）直线，重合可表示为.
例3 设U = {x | x是小于9的正整数}，A ={ 1，2，3 }，B ={ 3，4，5，6 }，求，.
解：根据题意可知，U = { 1，2，3，4，5，6，7，8 }，所以= { 4，5，6，7，8 }，= { 1，2，7，8 }.
例4 设全集U = {x | x是三角形}，A = {x | x是锐角三角形}，B = {x | x是钝角三角形}，求，.
解：根据三角形的分类可知，，= {x | x是锐角三角形或钝角三角形}，= {x | x是直角三角形}.
五、课堂训练
1.已知，，求，.
2.已知区间，，求，.
3.若是选修羽毛球课程的同学}，是选修乒乓球课程的同学}，请分别说明，所表示的含义.
4.设，，，求，.
5.已知全集，，求，，.
6.对于任意两个集合A，B，关系式总成立吗？说明理由.
7.已知集合.
（1）写出所有满足条件的集合B；
（2）满足条件的集合C有多少个？
8.设全集，，，求，.
9.设全集，集合，，求实数a的值.
10.已知区间，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数a的取值范围.
六、课后练习
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，若，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.设全集，集合A满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知全集，，，则是( )
A. B. C. D.
6.已知全集，集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( )
A.2个 B.3个 C.1个 D.无穷多个
7.（多选）若非空集合M，N，P满足，，则( )
A. B. C. D.
8.（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为( )
A. B.A的不同子集的个数为8
C. D.
9.某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有________________人.
10.设集合，．
(1)当时，求，;
(2)记，若集合C的子集有8个，求实数a的取值所构成的集合．
答案及解析
三、知识梳理
1.交集 交
2.并集 并
3.（1）所有元素
（2）不属于集合的所有元素
五、课堂训练
1.答案：，
2.答案：，
解析：在数轴上表示集合A，B，可得，.
3.答案：见解析
解析：是由既选修羽毛球课程又选修乒乓球课程的同学所组成的集合；
是由所有选修羽毛球课程和选修乒乓球课程的同学所组成的集合.
4.答案：，
解析：由题意，，，
，.
5.答案：，，
解析：在数轴上表示集合A，利用交集、并集、补集的定义，得到：，，.
6.答案：总成立.理由见解析
解析：总成立.理由如下：
①若，则成立；
②若，任取，则且，故，
则有
综上，总成立.
7.答案：（1），，，，，，，
（2）8
解析：（1），，
集合B为，，，，，，，.
（2），，满足条件的集合C有（个）.
8.答案：，
解析：整数分为奇数和偶数两大类.
为偶数}；
为奇数}，
，.
9.答案：
解析：，且，.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）区间，，
若，由交集定义，.
（2）区间，，
若，由并集定义，.
六、课后练习
1.答案：C
解析:由可知，所以，
故选：C．
2.答案：A
解析：，所以，
故选:A
3.答案：A
解析：由题意得，所以．
故选：A.
4.答案：C
解析：由题知，则由得.故选C.
5.答案：D
解析：因为，所以画出韦恩图如下：
可知.
故选：D.
6.答案：A
解析：阴影部分表示的集合为.因为，，所以.故选A.
7.答案：BC
解析：因为集合，所以，又，所以，所以，所以A选项不正确；由，得，所以B选项正确；由，得，所以C选项正确；易知当时，，当时，，所以D选项不正确.
8.答案：ABC
解析：因为，
因为，所以集合A中有，集合B中无的元素只有1，9；
因为，所以既不在集合A中，也不在集合B中的元素只有4，6，7；
因为，所以集合A与B的公共元素只有3；
所以集合B中有，集合A中无的元素只有0，2，5，8，即.
如图：
所以：，，故AC正确；
因为集合A中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确；
因为，故D错误.
故选：ABC
9.答案：43
解析：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，
由题意画出维恩图，如图所示：
全班人数为（人）.
故答案为：43.
10.答案：(1)，．
(2)
解析：(1)因为集合，
，
当时，，，．
(2)因为集合C的子集有8个，
集合C中有3个元素，
而，故实数a的取值集合为.

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