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2.2.3一元二次不等式的解法
学习目标
1. 会用因式分解法或配方法解一元二次不等式，借助二次函数的图像写出一元二次不等式的解集。
2. 能将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解.
二、重难点
重点：一元二次不等式的解法
难点：含参数的一元二次不等式的解法
三、知识梳理
1.实数符号之间的关系
________或
________或
2.一元二次不等式及其解集
（1）一元二次不等式：一般地，形如________的不等式称为一元二次不等式，其中是常数，而且，式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
（2）一元二次不等式所有解组成的________为一元二次不等式的解集.
3.一元二次不等式的解法
（1）因式分解法：一般地，如果，则不等式的解集是________，不等式的解集是________.
（2）配方法：一元二次不等式通过配方可变为或的形式.
当时，的解集为________，的解集为________ .
当时，的解集为________，的解集为________.
当时，的解集为________，的解集为________.
应用举例
例1：解下列不等式：
（1）2x2＋7x＋3>0；
（2）－4x2＋18x－≥0；
（3）－2x2＋3x－2<0．
解：（1）因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－．又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为．
（2）原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为．
（3）原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R．
例2：解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1<0．
解：当a＝0时，原不等式可化为x>1．
当a≠0时，原不等式可化为（ax－1）（x－1）<0．
当a<0时，不等式可化为（x－1）>0，
∵<1，∴x<或x>1．
当a>0时，原不等式可化为（x－1）<0．
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈ ；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为x或x>1；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为．
五、课堂训练
1.求下列不等式的解集：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
2.求下列不等式的解集：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
3.求下列不等式的解集：
（1）； （2）.
4.已知，，求.
5.求下列不等式的解集：
（1）； （2）.
6.写出3个一元二次不等式，使它们的解集都是集合的子集.
7.求不等式的解集.
8.求关于x的不等式的解集.
六、课后练习
1.不等式的解集为( )
A. B.或
C.或 D.
2.不等式的解集为( )
A.或 B.
C. D.
3.定义行列式，若行列式，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.某公司每个月的利润y（单位：万元）关于月份n的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
5.若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
6.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知a为实数，下列选项中可能为关于x的不等式解集的有( )
A. B.
C. D.
8.（多选）已知关于的不等式的解集中最多有1个整数，则整数的值可以是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
9.二次不等式的解集为或，则关于x的不等式的解集为_____________________.
10.不等式：的解集为A.
（1）求集合A；
（2）若不等式的解集为B，且，求a的取值范围.
答案及解析
三、知识梳理
1.
2.（1）
（2）集合
3.（1） 或
（2）或
五、课堂训练
1.答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1），
不等式的解集为.
（2）原不等式等价于，
不等式的解集为.
（3），
原不等式等价于，
不等式的解集为.
（4），
不等式的解集为.
2.答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解析：（1），
原不等式可化为，即.
两边开平方得，从而可知或.
即或.
不等式的解集为.
（2）一元二次不等式，
对应的一元二次方程的两个根为，
所以原不等式的解集为：.
（3）由于，所以原不等的解集为.
（4）依题意，所以原不等式的解集为.
（5）不等式，即，
对应一元二次方程的两个根为，
所以原不等式的解集为.
（6）由于，所以原不等式的解集为.
3.答案：（1）或
（2）
解析：（1）或，
所以解集为或.
（2），
所以解集为.
4.答案：或
解析：可化为，即，
.
又可化为，或.
或.
5.答案：（1）
（2）R
解析：（1）原不等式可化为，即，
所以原不等式的解集为.
（2）因为，所以原不等式可化为，
显然，这个不等式恒成立，即原不等式的集为R.
6.答案：见解析
解析：满足条件的一元二次不等式可以是，或，或.（答案不唯一）
7.答案：
解析：由题意知，原不等式两边同乘以，
得且，
即且，
因此原不等式的解集为.
8.答案：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
解析：原不等式可化为.
（1）当时，，
（2）当时，，
（3）当时，.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
六、课后练习
1.答案：B
解析：不等式可化为，即，解得或.故所求不等式的解集为或.故选B.
2.答案：D
解析：由得，所以，解得，所以不等式的解集为.故选D.
3.答案：D
解析：因为，由，得到，
整理得到，解得或，
故选：D.
4.答案：C
解析：由题意得：，解得或，
故、8、9、10、11、12，共6个月;
故选：C.
5.答案：C
解析：不等式可化为，
当时，不等式为，不等式的解集为，不符合题意；
当时，，解不等式得；
当时，，解不等式得.
因为不等式的解集中恰有两个整数，
所以或，即或.
所以m的取值范围是或.
故选C.
6.答案：B
解析：因为关于x的一元二次不等式的解集为，
所以关于x的一元二次方程的两个根分别为，2，
由根与系数的关系可得，，解得，，所以，
故选：B.
7.答案：ABD
解析：(1)当时，原不等式即，解得，故A正确;
(2)当时，原不等式即，
① 当时，，解得，故B正确;
② 当时，，解得或，故D正确;
③ 当时，，解得，且;
④ 当时，，解得或.
故选：ABD.
8.答案：BCD
解析：设，函数图象开口向上，且对称轴为，因此关于的不等式的解集中最多有1个整数时，需满足或解得，
又因为，所以或10或11满足题意.故选BCD.
9.答案：
解析：由题意可知所以
所以不等式为，又，
所以，解得.
故答案为：.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，即，
且，解得，故.
（2）由，得，
，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，不等式可化为，
又，，
，又，.
当时，不等式可化为，此时，不符合题意，舍去.
综上可知，a的取值范围是.

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