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2.2.4均值不等式及其应用
学习目标
1．掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．
2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．
二、重难点
重点：均值不等式运用，均值不等式成立的条件
难点：运用均值不等式求最值
三、知识梳理
1.均值不等式（基本不等式）
（1）算术平均值与几何平均值
前提 给定两个正数
结论 数________称为的算术平均值
数________称为的几何平均值
（2）均值不等式
前提 都是________数
结论
符号成立的条件 当且仅当________时，等号成立
几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大
2. 均值不等式与最值
（1）已知均为正实数，如果积是定值，那么当时，和有最小值，为________.
（2）已知均为正实数，如果和是定值，那么当时，积有最大值，为________.
（3）上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大.
运用以上结论求最值要注意下列三个条件：
①一正：要求各数均为________；
②二定：要求和或积为________；
③三相等：要保证具备________成立的条件.
应用举例
例1：给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－－＋－≤－2＝－2．
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
答案：B
解析：①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．
例2：（1）已知a，b∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（ ）
A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≥
（2）已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
答案：（1）D
（2）a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac
解析：（1）由≥得a＋b＝2，
∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．
（2）∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
∴2（a2＋b2＋c2）>2（ab＋bc＋ac）．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．
五、课堂训练
1.已知，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值.
2.已知，求证：，并推导出等号成立的条件.
3.（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？
（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？
4.已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值.
5.已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值.
6.已知a，b都是正数，求证：.
7.用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值.
六、课后练习
1.已知，则的最小值为( )
A.16 B.18 C.8 D.20
2.已知实数x，y满足，且，则的最小值为( )
A. B.8 C. D.
3.函数在上的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知正实数m，n满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若矩形的周长为4，则的最小值为( )
A.8 B.4 C.9 D.4.5
6.已知，，则的最小值为( )
A. B. C.4 D.2
7.（多选）设正数x，y满足，则下列说法正确的是( )
A.的最小值为 B.的最小值为4
C.的最大值为 D.的最小值为
8.（多选）下列命题中，正确的有( )
A.最小值是4
B.“”是的充分不必要条件
C.若，则
D.若a，，且，则的最小值为9
9.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为__________.
10.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体形状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.
（1）仓库顶部面积S（平方米）的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么铁栅应设计为多长？
答案及解析
三、知识梳理
1.（1）
（2）正
2.（1）
（2）
（3）正数 定值 等号
五、课堂训练
1.答案：当时，y取得最小值
解析：，.
当且仅当，即时，等号成立.
即当时，y取得最小值.
2.答案：证明见解析；时，取等号
解析：因为，所以，，
所以，
当且仅当时，即时，取等号.
3.答案：（1）当时，取得最小值14
（2）当时，xy取得最大值36
解析：（1）设，，，
由均值不等式，得，
当且仅当时，取等号.
由得，
即当时，取得最小值14.
（2）设，，，
由均值不等式，得.
当且仅当时，取等号.
由得.
即当时，xy取得最大值36.
4.答案：当时，y取得最大值
解析：，，，
.
当且仅当，即时，取等号.
即当时，y取得最大值.
5.答案：当时，y取得最大值
解析：，，
由均值不等式得，
，
当且仅当，即时，取等号，
即当时，y取得最大值.
6.答案：证明见解析
解析：，，
由均值不等式得，.
由不等式的性质，得，
当且仅当且时，等号成立.即证.
7.答案：当矩形的长为，宽为时，菜地的面积最大，最大值为
解析：设矩形菜地的长为，宽为，
由题意可知，，.
由均值不等式，得，即，
当且仅当时，等号成立.
故当矩形的长为，宽为时，菜地的面积最大，最大值为.
六、课后练习
1.答案：B
解析：因为，所以，又因为，所以（当且仅当，即时，等号成立），故选B.
2.答案：A
解析：因为，且，
所以，
从而，
等号成立当且仅当，
所以的最小值为.
故选：A
3.答案：C
解析：因为，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时函数在上的最小值是2.
故选:C
4.答案：A
解析：可以转化为，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，此时的最小值为.
故选：A．
5.答案：D
解析：由矩形的周长为4，
得，且，
则
，
当且仅当，
即，时，等号成立.
则的最小值为4.5.
故选：D.
6.答案：D
解析：因为，，所以，当且仅当，且，即，时，取等号，所以的最小值为2.故选：D.
7.答案：BCD
解析：A选项，，
当且仅当即，时等号成立，故的最大值为，A错误；
B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确；
C选项，由，得，
所以，当且仅当，时等号成立，故C正确；
D选项，由，得，
当且仅当，时等号成立，故D正确；
故选：BCD.
8.答案：BD
解析：当时，（当且仅当时取等号），
当时，（当且仅当时取等号），
所以没有最小值，故A错误；
由得或，
所以“”是的充分不必要条件，故B正确；
当，时，，但，故C错误；
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故D选项正确.
故选：BD
9.答案：24500
解析：设矩形栏目的高为，宽为，①
广告的高为，宽为，其中，.
广告的面积
，当且仅当时，等号成立，
此时，代入①式得，从而，即当，时，S取得最小值24500，故广告的高为，宽为时，可使广告的面积最小，最小值为.
10.答案：（1）100
（2）15米
解析：（1）设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积平方米.
由题意，知，
由基本不等式，得（当且仅当时取“=”），
所以，即，
解得.
由题意知，故，从而.
故仓库顶部面积S（平方米）的最大允许值是100.
（2）S取得最大值100的条件是，且100，
解得，即铁栅应设计为15米长.

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