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3.1.1函数及其表示方法
学习目标
1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．
2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
二、重难点
重点：函数的概念理解，函数定义域的求解
难点：用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用
三、知识梳理
1.函数的有关概念及其记法
（1）一般地，给定两个________A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的________实数x，在集合B中都有________的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的________，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的________．
（2）函数的三要素：________，对应关系，值域.
2.同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数表达式表示的函数________相同，________也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
3.函数的表示方法
表示法 定义
解析法 用________表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫作函数的解析式
图象法 以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用________表示两个变量之间对应关系的方法叫作图象法
列表法 列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出________来表示两个变量之间对应关系的方法叫作列表法
4.描点作图法
一般情况下，要作出一个函数的图象，只需描出________即可．但是，很多函数的图象都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实．实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象．
5.分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有________，则称其为分段函数．
6.常数函数
值域________元素的函数，通常称为常数函数．
7.取整函数
，其定义域是________，值域是________．这个函数早在 18 世纪就被＂数学王子＂高斯提出，因此也被称为高斯取整函数．
应用举例
类型1：函数的概念
例1：（1）下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝，g（x）＝x
B．f（x）＝x，g（x）＝
C．f（x）＝，g（x）＝x
D．f（x）＝x2，g（x）＝（）4
（2）判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．
①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝；
②A＝{1，2，3}，B＝R，f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4；
③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应法则如图所示．
（1）C
选项A中，由于f（x）＝＝|x|，g（x）＝x两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；选项B中，由于f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；选项C中，f（x）＝＝x，g（x）＝x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；选项D中，f（x）＝x2的定义域为R，g（x）＝（）4＝x2的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．
（2）解：①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
②由f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
例2：求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝2＋；
（2）f（x）＝（x－1）0＋；
（3）f（x）＝·；
（4）f（x）＝－．
解：（1）当且仅当x－2≠0，
即x≠2时，
函数f（x）＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
（2）函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
（3）函数有意义，当且仅当
解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
（4）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
五、课堂训练
1.已知集合，，对应关系f为“求倒数”，判断f是否为A上的一个函数.
2.以下是中国人民银行2015年10月24日公布的部分人民币定期存款基准年利率表（数据来自中国人民银行网站），设银行定期存款的年利率为，存期为t年，判断r是否为t的函数.如果是，写出这个函数的定义域和值域；如果不是，说明理由.
t 0.5 1 2 3
r 1.3 1.5 2.1 2.75
3.已知，，求，，.
4.设函数的值域为A，判断和7是否为A中的元素.
5.求下列各函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）.
6.下列各图中，哪些可能是函数的图象？哪些一定不是函数的图象？为什么？
7.写出常数函数的定义域、值域，并作出它的图象.
8.把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域，并作出函数图象：
（1）当时，；当时，.
（2）当时，；当时，；当时，.
9.分别判断f是否为A上的一个函数（函数值均为R中的元素）：
（1），f为“加1”；
（2），f为“求非负平方根”；
（3），f为“求倒数”；
（4），f为“求平方根”.
10.已知下列表格表示的是函数，写出，，，并判断2是否为这个函数值域中的元素.
u 0 1 2
w 3 4 5 6 7
11.已知函数求这个函数的定义域与值域.
12.判断下列各组函数是否为同一个函数：
（1），；
（2），；
（3），.
13.求下列函数的值域：
（1），；
（2），.
14.已知，，求，，，.
15.已知函数，求，.
16.已知函数，求，.
17.作出函数的图象.
18.学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍.在这个过程中，这位同学行进的速率和行走的路程都是时间的函数，作出速率函数和路程函数的示意图.
六、课后练习
1.下列图象中，可以表示函数的为( )
A. B.
C. D.
2.已知函数满足，则( )
A. B.4 C. D.3
3.已知函数，若，则( )
A.-3 B.-1 C.0 D.3
4.已知定义在R上的函数满足对任意的，，.则( )
A. B.0 C.2 D.1
5.函数的定义域是( )
A.且 B.
C. D.且
6.（多选）集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是( )
A.B.C.D.
7.（多选）下列各组函数表示同一个函数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
8.（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是( )
A.的值域为
B.的定义域为R
C.，
D.任意一个非零有理数T，对任意恒成立
9.已知函数的值域为R，则m的取值范围是________.
10.已知函数
(1)若，求实数m的值;
(2)若，求实数a的取值范围.
答案及解析
三、知识梳理
1.（1）非空实数集 每一个 唯一确定 定义域 值域
（2）定义域
2.定义域 对应关系
3.数学表达式 图象 表格
4.所有点
5.不同的对应方式
6.只有一个
7.R Z
五、课堂训练
1.答案：不是
解析：因为对A中的元素0，在对应关系f下无意义，所以f不是A上的一个函数.
2.答案：t与r符合函数关系；定义域为，值域为
解析：由题，t与r符合函数关系，即一个自变量t对应唯一确定的因变量r，
则定义域为，值域为.
3.答案：，，
解析：由题，，
，
.
4.答案：，
解析：令，则，无解，；
令，则，解得，.
5.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为函数有意义，所以，即，则定义域为；
（2）因为函数有意义，所以，即，则定义域为；
（3）因为函数有意义.所以，则或，则定义域为.
6.答案：见解析
解析：因为（1）（3）（4）中，对定义域中的自变量x都有唯一确定的y与之对应，可能是函数的图象；
而（2）中，对定义域中的每一个自变量x不是都有唯一确定的y与之对应，不符合函数的定义，则一定不是函数的图象.
7.答案：定义域为R，值域为，图象见解析
解析：由题，则定义域为R，值域为，图象如图所示，
8.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1），
则定义域为R，值域为，图象如图所示，
（2），
定义域为R，值域为，图象如图所示，
9.答案：（1）是 （2）是 （3）不是 （4）不是
解析：设自变量为x，因变量为y，
（1）由题可得，因为，所以f为A上的一个函数；
（2）由题可得，因为，所以f为A上的一个函数；
（3）由题可得，因为，则当时，y无意义，故f不是A上的一个函数；
（4）由题可得，因为，则当时，一个自变量对应两个因变量，故f不是A上的一个函数
10.答案：不是
解析：由题，通过表格可得，，，
在表格中找不到的情况，故2不是这个函数值域中的元素.
11.答案：定义域为R，值域为
解析：由题可知，函数的定义域为R，函数图象如图所示，
由图象可得函数的值域为.
12.答案：（1）不是
（2）是
（3）不是
解析：（1）因为的定义域为，而的定义域为R，
所以与不是同一个函数；
（2）因为与的定义域均为R，所以定义域相同，
又，
所以与是同一个函数；
（3）因为与的定义域均为R，所以定义域相同，
又，所以与不是同一个函数.
13.答案：（1）
（2）
解析：（1），
，
，
，
函数的值域为.
（2），
，
，
函数的值域为.
14.答案：，，，
解析：，
，
，
.
15.答案：，
解析：，
.
16.答案：，
解析：令，则，所以；
令，则，所以，所以.
17.答案：见解析
解析：函数，
其图象如图所示：
18.答案：见解析
解析：设这位同学行进的速率和行走的路程分别为v，s，
则由题意，得，，
则示意图如图所示.
六、课后练习
1.答案：B
解析：选项A，C，D的函数图象中存在x，对应多个不同的函数值，
故不可以表示函数，故B正确.
故选：B.
2.答案：A
解析：令，则;再令，则
联立两式解出，所以选A
3.答案：D
解析:由题意知，所以，
所以．
故选：D．
4.答案：C
解析：因为对任意的，，，
令，，则，即；
令，，则，即；
可得，令，则，解得.
故选：C.
5.答案：A
解析：由，解得且，
所以函数的定义域是且.
故选:A.
6.答案：AC
解析：选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，
选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数，
选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，
选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数.
故选：AC.
7.答案：BD
解析：对于A，定义域为R，
定义域为，A错误；
对于B，与是同一函数，B正确；
对于C，定义域为，
的定义域为，C错误；
对于D，，，
定义域均为R，且对应法则相同，为同一个函数，D正确.
故选：BD.
8.答案：BCD
解析：因为函数，所以的值城为，故A不正确;
因为函数，所以的定义域为R，故B正确;
因为，，所以，故C正确;
对于任意一个非零有理数T，若x是有理数，则是有理数;若x是无理数，
则是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，
都有对任意恒成立，故D正确，
故选：BCD.
9.答案：
解析：由于的值域为R，当时，，
所以，解得.
故m的范围是.
故答案为：.
10.答案：(1)3或
(2)
解析：(1)当时，，解得或（舍去）;
当时，，解得.
所以m的值为3或
(2)当时，，不符合题意，
，且，
解得.
所以a的取值集合是.

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