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3.1.3函数的奇偶性
学习目标
1．理解奇函数、偶函数的定义．
2．了解奇函数、偶函数图像的特征．
3．掌握判断函数奇偶性的方法．
二、重难点
重点：函数奇、偶的判断方法，会判断函数奇、偶性
难点：分段函数奇、偶性判断，函数奇、偶性运用
三、知识梳理
1.偶函数的定义：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且____________，则称y＝f(x)为偶函数．
2.偶函数的图象特征：
偶函数的图像关于________对称；反之，图象关于y轴对称的函数一定是________函数.
3.奇函数的定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且____________，则称y＝f(x)为奇函数．
4.奇函数的图象特征：
奇函数的图像关于________对称；反之，图象关于原点对称的函数一定是________函数．
5.奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质
（1）奇(偶)函数的定义域关于____________对称.
（2）偶函数的实质是函数f(x)图像上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点____________也在f(x)图象上.
（3）奇函数的实质是函数f(x)图像上任一点(x，f(x))关于原点的对称点____________也f(x)的图象上.
（4）若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则必有f(0)=0，即函数图象必过原点.
四、应用举例
例1：判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3＋x；
（2）f（x）＝＋；
（3）f（x）＝；
（4）f（x）＝
解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称．
又f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），
因此函数f（x）是奇函数．
（2）由得x2＝1，即x＝±1．
因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f（1）＝f（－1）＝－f（－1）＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数．
（3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），
不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（4）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
f（－x）＝
即f（－x）＝
于是有f（－x）＝－f（x）．所以f（x）为奇函数．
例2：已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图像如图所示．
（1）画出在区间[－5，0]上的图像；
（2）写出使f（x）<0的x的取值集合．
解：（1）因为函数f（x）是奇函数，所以y＝f（x）在[－5，5]上的图像关于原点对称．
由y＝f（x）在[0，5]上的图像，可知它在[－5，0]上的图像，如图所示．
（2）由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为（－2，0）∪（2，5）．
五、课堂训练
1.判断下列命题的真假：
（1）如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；
（2）如果一个函数为奇函数，则它的定义域关于坐标原点对称；
（3）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.
2.判断下列函数是否具有奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4），.
3.已知函数满足，分别在下列各条件下比较与的大小.
（1）是偶函数； （2）是奇函数.
4.如果定义域为R的函数满足，函数可能是奇函数吗？可能是偶函数吗？说明理由.
5.求证：二次函数的图象关于对称.
6.已知函数，且，求的值.
7.已知函数的定义域关于原点对称，判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；（3）.
8.如果函数和的定义域相同，且为偶函数，为奇函数，判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
（1）； （2）.
9.已知函数的定义域为R，且函数图象关于对称，在区间上是增函数，判断在上的单调性.
10.是否存在函数，其既是奇函数，又是偶函数？如果不存在，说明理由；如果存在，举出实例.
11.研究函数的性质，并作出函数图象.
六、课后练习
1.已知奇函数的定义域为R，且，则( )
A．0 B．1 C．2 D．-1
2.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是( )
A. B. C. D.
3.已知函数为奇函数，且，则( )
A.2 B.-5 C.1 D.3
4.设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使的x的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知是定义域为R的奇函数，且，若，则( )
A.2 B.1 C. D.
6.（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
7.（多选）设为奇函数，为偶函数，则( )
A. B.
C. D.
8.已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数a的取值范围是_____________.
9.已知函数的定义域为R，为奇函数，当时，，则_______________.
10.已知函数是偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
（3）当时，记在区间上的最小值为，求的表达式.
答案及解析
三、知识梳理
1.
2.y轴 偶
3.
4.原点 奇
5.（1）原点
（2）
（3）
五、课堂训练
1.答案：（1）假命题
（2）真命题
（3）真命题
解析：（1）假命题.理由：函数定义域关于原点对称，但不一定成立，
例如：的定义域为R，
但，而，.
（2）真命题.理由：根据奇函数的定义知，
若x在定义域内，则也在定义域内，故定义域关于坐标原点对称.
（3）真命题.理由：函数图像上任一点关于y轴的对称点，也在图像上，
所以，故为偶函数.
2.答案：（1）奇函数
（2）偶函数
（3）既不是奇函数也不是偶函数
（4）非奇非偶函数
解析：（1）的定义域为R，关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数.
（2）的定义域为R，关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数.
（3）的定义域为R，关于原点对称，
又，，
所以函数既不是奇函数也不是偶函数.
（4），，定义域不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数.
3.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数是偶函数，
所以，
因此，，从而由条件可知.
（2）因为函数是奇函数，所以，
因此，，
由条件可知，因此.
4.答案：不可能是奇函数，但可能是偶函数
解析：不可能是奇函数，但可能是偶函数.
因为若是奇函数，则，
可求得，这与已知是矛盾的.
5.答案：证明见解析
解析：证明：任取，
因为，，
所以，
因此函数的图像关于对称.
6.答案：
解析：，
设，则，
，
，
，，
.
7.答案：（1）偶函数
（2）奇函数
（3）偶函数
解析：（1）令，因为的定义域关于原点对称，
所以的定义域关于原点对称，且，
因此函数为偶函数.
（2）令，则定义域关于原点对称，
且，
因此函数为奇函数.
（3）令，则定义域关于原点对称.
因为，所以函数为偶函数.
8.答案：（1）奇函数，理由见解析
（2）非奇非偶函数，理由见解析
解析：（1）因为函数，的定义域相同，是偶函数，为奇函数，
所以定义域关于原点对称，
所以，
因此是奇函数.
（2）因为函数，定义域相同，是偶函数，为奇函数，
所以的定义域关于原点对称，所以，
所以且，所以函数为非奇非偶函数.
9.答案：减函数
解析：因为函数的图像关于对称，所以.
设，则，所以.任取，且，
则.因为在上为增函数，
所以，
所以，因此函数在为减函数.
10.答案：存在
解析：存在，定义域关于原点对称即可.
因为定义域关于原点对称，
且有，
根据奇函数和偶函数的定义可得（定义域关于原点对称即可）既是奇函数又是偶函数.
11.答案：见解析
解析：要使函数有意义，需有，因此函数的定义域为.
对任意，都有，而且，所以函数是奇函数，
函数的图像关于原点对称.下面研究上的性质及图像.
任取，且，
则，
当时，由，，，
所以，即
所以函数在上是增函数.
当时，由，，，
所以，即，
所以函数在上是减函数.
所以当时，函数，无最大值，
因此图像在右边部分一定在第一象限.
列表：
x 1 3 9
10 6 10
描点、连线.
又函数为奇函数，所以图像关于原点对称，即得函数的图像.
如图所示：
函数具有以下性质：
定义域，值域：或.
单调性：在，上是增函数；在，上是减函数.
奇偶性：奇函数.
六、课后练习
1.答案：A
解析：因为是定义在R上的奇函数，所以.
令，得.
故选：A
2.答案：A
解析：函数是定义在R上的偶函数，
当时，，
当时，，
则.
故选：A
3.答案：B
解析：由函数为奇函数，
可得：.
故选：B.
4.答案：B
解析：因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称，由在上的图象，知它在上的图象，
如图所示.
所以由题可知使的x的取值范围为.故选B.
5.答案：D
解析：因为是定义域为R的奇函数，且，
则，故，
所以，函数是周期为4的周期函数，由奇函数的性质可得，
所以，，，
因此，.
故选：D.
6.答案：BD
解析：的定义域是，
故函数为非奇非偶函数，故A错误；的定义域为R，其图象的对称轴为直线，故函数是偶函数且在区间上单调递增，故B正确；令，，则，则是奇函数，故C错误；
令，，则，则为偶函数，当时，单调递增，故D正确.故选BD.
7.答案：ABC
解析：，
，
，
A，B，C均正确.
，D错误.
故选：ABC.
8.答案：
解析：因为为偶函数，所以，
函数的图象关于对称，
又在上单调递增，，
所以，解得.
故答案为：.
9.答案：
解析：由题意可得，所以，
所以，所以，
又，所以，所以.
故答案为：.
10.答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1）当时，，可得，
又为偶函数，所以，
所以当时，，
所以
（2）作出函数的图象，如图，
可得的单调递增区间为，，单调递减区间为，.
若函数在区间上单调，
则或，
即或，解得或，
故实数a的取值范围是或.
（3）由于a的取值范围不同会影响函数的单调性，进而影响的最小值，故应对a的取值范围进行分类讨论.
当时，，此时；
当时，在区间上单调递增，所以.
综上可知，

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