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3.2 双曲线的简单几何性质
一、学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题.
二、重难点
重点：双曲线的几何性质.
难点：双曲线的几何性质的应用.
三、自主预习
双曲线的简单几何性质：
1.范围：双曲线上点的横坐标的范围是 或 ，纵坐标的范围是 .
2.对称性：关于x轴、y轴和 都对称.
3.顶点：线段叫做双曲线的 ，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的 .
4.渐近线： . 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
5.离心率： .
四、应用举例
例1 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把双曲线的方程化为标准方程.
由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是，；离心率；渐近线方程为.
例2 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1 m）.
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的
直角坐标系Oxy，使小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合.
这时，上、下口的直径，都平行于x轴，且，.
设双曲线的方程为，点C的坐标为.
则点B的坐标为.
因为直径是实轴，所以.
又B，C两点都在双曲线上，所以，
由方程②得（负值舍去），代入方程①得.
化简得③，
解方程③得（负值舍去）.
因此所求双曲线的方程为.
例3 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，由此得.
将上式两边平方，并化简，得，即.
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.
例4 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求.
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，.
因为直线AB的倾斜角是，且经过右焦点，
所以直线AB的方程为.①
由，消去y得.
解得，.
将，的值分别代入①，得，.
于是A，B两点的坐标分别为，.
所以
五、课堂练习
（一）课本练习
1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2.求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，.
3.对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程.
4.双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程.
5.已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是.求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状.
6.求下列直线和双曲线的交点坐标：
（1），；
（2），.
7.直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e.
（二）课本习题
1.已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程：
（1）；
（2）.
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8；
（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8；
（3）离心率，经过点.
3.求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程.
4.求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程.
5.相距1400 m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程.
6.设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
7.M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形(O为原点)的面积为3，求动点M的轨迹方程.
8.设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围.
9.已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
10.已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于两点.当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？
六、课后练习
1.中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，则( )
A. B. C.4 D.6
3.已知双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为( )
A.
B.
C.当时，；当时，
D.当时，；当时，
4.若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
5.过点的直线l与双曲线相交于A，B两点.若P是线段AB的中点，则直线l的方程是( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线（，）的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点.若四边形ABCD的面积为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则( )
A. B.顶点坐标为
C.C的离心率为 D.C的渐近线方程为
8.小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支，O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线互相垂直，且AB与OC垂直，其中C为AB的中点，，，若该双曲线的焦点位于直线OC上，则距点O较近的焦点距点O________cm.
9.已知双曲线(，)的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，则当C的离心率________时，满足.
10.已知双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线C交于B，D两点，线段BD的中点为，求直线l的方程.
答案及解析
三、自主预习
1.
2.原点
3.实轴 虚半轴长
4.
5.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）实轴，虚轴的长，顶点，，
焦点的坐标，，离心率
（2）实轴，虚轴的长，顶点，，
焦点的坐标，，离心率
（3）实轴，虚轴的长，顶点，，
焦点的坐标，，离心率
（4）实轴，虚轴的长，顶点，，
焦点的坐标，，离心率
解析：（1），，
，，，
双曲线的实轴，虚轴的长，
顶点，，
焦点的坐标，，
离心率.
（2），，
，，，
双曲线的实轴，虚轴的长，
顶点，，
焦点的坐标，，
离心率.
（3），，
，，，
双曲线的实轴，虚轴的长，
顶点，，
焦点的坐标，，
离心率.
（4），，
，，，
双曲线的实轴，虚轴的长，
顶点，，
焦点的坐标，，
离心率.
2.答案：（1）
（2）
解析：（1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，，
则，，，
双曲线的标准方程为；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，，
则，，，
双曲线的标准方程为.
3.答案：标准方程为，渐近线方程为
解析：因为一个焦点是，所以，且焦点在x轴，
所以设等轴双曲线方程为，
所以，解得，
所以双曲线标准方程为，
渐近线方程为.
4.答案：或
解析：若双曲线焦点在x轴，设方程为（，），
则渐近线方程为，
所以，解得，
所以双曲线标准方程为：；
若双曲线焦点在y轴，设方程（，），
则渐近线方程为，
所以，解得，
所以双曲线标准方程为：；
所以双曲线标准方程为或.
5.答案：轨迹方程为，轨迹为焦点在x轴上的双曲线，不含左右顶点
解析：设，因为，，
所以，整理得，
故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在x轴上的双曲线，不含左右顶点.
6.答案：（1），
（2）
解析：（1）由消去y，得：，解得：或，
由解得，；由解得，；
所以交点坐标为：，；
（2）由消去y，得：，
解得：.求得，；
所以交点坐标为.
7.答案：
解析：联立，得，
设，，
则，解得.
所以，离心率.
（二）课本习题
1.（1）答案：焦点坐标为，离心率，渐近线方程为.
（2）答案：焦点坐标为，离心率，渐近线方程为.
2.（1）答案：
解析：由题意可设双曲线的标准方程为，且，
所求双曲线的标准方程为.
（2）答案：
解析：由题意可设双曲线的标准方程为，且，
所求双曲线的标准方程为.
（3）答案：
解析：.
当焦点在x轴上时，设双曲线方程为.
双曲线过点.
双曲线的标准方程为.
当焦点在y轴上时，设双曲线方程为.
则，无解.
综上可知，所求双曲线的标准方程为.
3.答案：
解析：设等轴双曲线的方程为，
则，
即.所求方程为，即.
4.答案：
解析：由题意知，且焦点在x轴上.
所求双曲线方程为.
5.答案：见解析
解析：以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
设是曲线上的任意一点，，
，
所以所求轨迹是双曲线，且，
所以.所以所求轨迹方程为.
6.答案：见解析
解析：设点满足题意，则.
整理得.
令，则上式变为.
所以所求的点M的轨迹方程为，轨迹的形状为双曲线.
7.答案：
解析：如答图，设动点，
由题意知，M只能在直线与直线所夹范围内活动..
动点在右侧，
代入有.
同理有，所以，
即，所以，
所以所求轨迹方程为.
8.答案：；
解析：双曲线渐近线的斜率小于，由题意知.
又.在椭圆中，
.
.在双曲线中，，
.
9.答案：见解析
解析：设在双曲线上，线段AB的中点为，
设经过点P的直线l的方程为，
即.
与双曲线的方程联立并消去y，得.①
.由题意得，故.
当时，方程①变为，此时，
所以方程①没有实数根.所以不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.
10.答案：见解析
解析：由题意，联立
得，
整理得.
双曲线与直线有唯一的公共点，，
即，方程的根为.
把代入直线方程得，
即点，
过M且垂直于l的直线方程为.
当的，，①
时，，②
得，③
把③代入①得.
又，把k，m代入得，
整理得，点的轨迹方程为或，轨迹是双曲线及对应渐近线.
六、课后练习
1.答案：A
解析：在方程中，令，得，等轴双曲线的一个焦点坐标为，，，故选A.
2.答案：B
解析：由椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的离心率为，得双曲线的离心率为，所以.故选B.
3.答案：A
解析：方法一：方程表示双曲线，.
若，方程化为，此时，，渐近线方程为；
若，方程化为，此时，，渐近线方程为.
综上所述，双曲线的渐近线方程为.
故选A.
方法二：将等式右边的常数换为0，即，化简得，故选A.
4.答案：C
解析：双曲线的渐近线方程为，
直线的斜率为，所以由题意可得，所以双曲线的离心率，故选C.
5.答案：A
解析：设，，则两式相减得直线l的斜率为.又直线l过点，所以直线l的方程为，即，经检验此时直线l与双曲线有两个交点.故选A.
6.答案：B
解析：因为双曲线的离心率为，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为.设直线的倾斜角为，则，由双曲线及圆的对称性不妨令点A，B分别在第一、四象限，坐标原点为O，则.
于是得，而双曲线的虚半轴长为b，即，显然四边形ABCD为矩形，其面积，得，所以，所以双曲线的方程为.故选B.
7.答案：CD
解析：由题意得，，，且，所以，解得，故A错误；因为，焦点在y轴上，所以顶点坐标为，故B错误；因为，，所以，故离心率，故C正确；因为双曲线的焦点在y轴上，所以渐近线方程为，即，故D正确.故选CD.
8.答案：
解析：以OC所在直线为x轴，垂直于OC的直线为y轴且使O为双曲线的右顶点，建立平面直角坐标系(图略).设该双曲线的方程为(，).因为该双曲线的渐近线互相垂直，所以.由题意知，，所以，又，所以，故距点O较近的焦点距点O.
9.答案：
解析：如图，
在中，由得，
由双曲线的定义可得，
所以，，
在中，，
由余弦定理，得，
整理，得，所以，即.
故当时，满足.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，
所以，可得，
所以双曲线C的渐近线方程为，即.
因为右顶点到渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线C的方程为.
（2）若直线轴，则B，D关于x轴对称，此时线段BD的中点在x轴上，不符合题意.
设直线l的斜率为k，，，则
两式相减可得，所以，
化简得.
因为线段BD的中点为，所以，，
所以，解得，双曲线的渐近线方程为，直线的斜率大于渐近线的斜率，
故过点的直线与双曲线有两个交点，
所以直线l的方程为，即.

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