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3.2函数与方程、不等式之间的关系
学习目标
1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．
2．会求函数的零点．
3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．
二、重难点
重点：理解函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集
难点：利用零点法求不等式的解集
三、知识梳理
1.零点的定义
一般地，如果函数y＝f(x)在实数 α 处的函数值等于________，即________，则称α为函数y＝f(x)的零点．
2.方程的根与函数零点的关系
注：函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
3.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ________ ________ R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 ________ ________ ________
4.函数零点的判定
函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且________(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
注：定理要求具备两条：
①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)f(b)＜0.
5.二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间________，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
6.二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
四、应用举例
例1：求函数f（x）＝x3－7x＋6的零点．
解：令f（x）＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴（x3－x）－（6x－6）＝0，
∴x（x－1）（x＋1）－6（x－1）＝（x－1）·（x2＋x－6）＝（x－1）（x－2）（x＋3）＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f（x）＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3．
例2：利用函数求下列不等式的解集：
（1）x2－5x－6＞0；（2）（2－x）（x＋3）＜0；
（3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）．
解：（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．
结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，
原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）．
（2）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0．
方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．
结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图像知，
原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）．
（3）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，
即9x2－12x＋4＞0．
解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝．
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，
原不等式的解集为∪．
五、课堂训练
1.求下列函数的零点：
（1）；
（2）.
2.如图所示是函数的图象，分别写出，，的解集.
3.利用函数求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
4.判断下列命题的真假：
（1）若函数的图象是连续不断的，且在区间上有，则函数在区间中至少有一个零点；
（2）若函数的图象是连续不断的，且在区间上有，则函数在区间中一定没有零点.
5.判断一次函数是否一定存在零点，并说明理由.
6.已知，且的解集是，求实数a，b的值.
7.当m是什么实数时，函数没有零点？
8.写出一个同时满足下列两个条件的函数：
（1）；
（2）无零点.
9.定义域为R的奇函数可能没有零点吗？为什么？
10.已知函数是偶函数，其图象与x轴有四个交点，试求方程的所有实根的和.
六、课后练习
1.已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 11.45
则函数在区间上的零点至少有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.函数的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若函数有一个零点是1，则函数的零点是( )
A.0，2 B.，3 C.，0，4 D.，0，1
4.已知函数则的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.若函数在定义域，且上是偶函数，且在上单调递减，，则函数的零点有( )
A.一个 B.两个 C.至少两个 D.无法判断
6.若不等式的解集为，则函数的零点为( )
A.和 B.和 C.2和 D.和3
7.（多选）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数m的值可以是( )
A. B. C. D.1
8.用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是______________.
9.若是函数的一个零点，则的另一个零点为__________.
10.已知函数有两个不同的零点.
(1)若其中一个零点在区间上，求实数k的取值范围；
(2)若函数的两个不同的零点是，，求的最小值.
答案及解析
三、知识梳理
1.零 f(α)＝0
2.交点的横坐标 零点
3.{x|xx2} {x|x14.f(a)f(b)＜0
5.一分为二
五、课堂训练
1.答案：（1）
（2）1，，
解析：（1）；
若，解可得，
即函数的零点为；
（2），
若，解可得或；
即函数的零点为1或.
2.答案：见解析
解析：由题图可知，的解集为，
的解集为，
的解集为.
3.答案：（1）
（2）R
（3）R
解析：（1）原不等式化为，
解得或，
解集为；
（2）原不等式化为，恒成立，解集为R；
（3）原不等式化为，恒成立，解集为R.
4.答案：（1）真命题
（2）假命题
解析：（1）根据零点存在定理，可判断为真命题；
（2）假命题，如图，，但函数在中有零点.
5.答案：一定存在，理由见解析
解析：一定.，在R上是单调函数，
故的图象与x轴必相交.
6.答案：
解析：由题意知，和是的两根.
7.答案：
解析：当时，有一个零点0；
当时，若函数没有零点，
则，，
解得或.
综上，当时，没有零点.
8.答案：（答案不唯一）
解析：设，
（1），
（2）因为方程无解，所以无零点，
所以满足条件.
9.答案：不可能，理由见解析
解析：不可能.因为定义域为R的奇函数必有，
所以定义域为R的奇函数不可能没有零点.
10.答案：0
解析：偶函数的图象关于y轴对称，
的所有实根的和为0.
六、课后练习
1.答案：B
解析：因为函数的图象是连续不断的，且，，所以由零点存在定理得内至少存在1个零点.因为，，所以由零点存在定理得内至少存在1个零点.因为，，所以由零点存在定理得内至少存在1个零点.综上，函数在区间上的零点至少有3个.故选B.
2.答案：C
解析：由题意令有，解得或2，
所以的零点为1和2，所以有2个零点.
故选：C.
3.答案：D
解析：由题意可得，可得;
可得，
令，因此，
解得或或;
因此函数的零点是，0，1.
故选：D.
4.答案：C
解析：令，当时，，解得或；当时，，解得.所以的零点个数为3.故选C.
5.答案：B
解析：在上单调递减，，所以在上有且仅有一个零点2.又是偶函数，所以在上有且仅有一个零点.因此函数有两个零点.
6.答案：D
解析：因为的解集为，所以方程的两根分别为和2，且，
则解得
故函数，即，即，则其图象与x轴的交点的坐标为和，所以零点为和3.故选D.
7.答案：BC
解析：令，则，函数在时单调递增，所以当时，，B，C满足.故选BC.
8.答案：
解析：由函数的零点时，第一次经过计算得，，
即，可得零点，
根据二分法，第二次计算.
故答案为：.
9.答案：1
解析：方法一：由题意得，解得，所以.令，得或，所以的另一个零点为1.
方法二：设另一个零点为，则和是关于x的方程的两根，则，.
10.答案：(1)
(2)4
解析：(1)因为函数有两个不同的零点，所以，即，所以.
令，得，，所以.故实数k的取值范围是.
(2)由一元二次方程根与系数的关系可得，，所以，由(1)得，故当时，有最小值4，即的最小值为4.

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