资源简介

3.3.1 抛物线及其标准方程
一、学习目标
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合思想.
二、重难点
重点：抛物线的定义、标准方程.
难点：抛物线标准方程的推导.
三、自主预习
1.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条 l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 .
2.抛物线的标准方程：
图形 标准方程 交点坐标 准线方程
应用举例
例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知拋物线的焦点是，求它的标准方程.
解：（1）因为，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是.
（2）因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，所以抛物线的标准方程是
例2 一种卫星接收天线如左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（1）.已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
解：如图（2），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即拋物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上.
设抛物线的标准方程是.
由已知条件得，点的坐标是，
代入方程，得，即.
所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）准线方程是；
（3）焦点到准线的距离是2.
2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）； （3）； （4）.
3.填空.
（1）抛物线上一点M与焦点间的距离是，则点M到准线的距离是___________，点的横坐标是___________；
（2）抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是___________.
（二）课本习题
1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）.
（3）. （4）.
2.填空题.
（1）准线方程为的抛物线的标准方程是________；
（2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是________.
3.如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7 m，高为0.7 m.根据图中的坐标系求这条抛物线的方程.
4.图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水下降1 m后，水面宽多少？(精确到0.1 m)
六、课后练习
1.已知F是抛物线的焦点，P为抛物线C上一点.若，则点P的横坐标为( )
A.12 B.16 C.18 D.19
2.若点P与点之间的距离比点P到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
3.已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若，则( )
A. B. C.2 D.4
4.点P在抛物线上，则点P到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.已知抛物线的焦点为F，，点Q在抛物线C上，且，则( )
A.4 B.5 C.8 D.9
6.（多选）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有( )
A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的渐近线方程为
C. D.点P到抛物线的焦点的距离为4
7.（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有( )
A.抛物线的准线方程为
B.若，则线段AB的中点到x轴的距离为3
C.以线段AF为直径的圆与x轴相切
D.以线段AB为直径的圆与准线相切
8.设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，若，O为坐标原点，则__________.
9.分别根据下列条件，求抛物线的标准方程.
(1)准线方程是；
(2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点；
(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线与抛物线交于点A，.
答案及解析
三、自主预习
1.定直线 准线
2.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）由题意可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，所以，抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，因此，抛物线的标准方程为；
（3）抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，抛物线的标准方程为或.
2.答案：（1）焦点坐标为，准线方程为
（2）焦点坐标为，准线方程为
（3）焦点坐标为，准线方程为
（4）焦点坐标为，准线方程为
解析：（1），
，即，
抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
（2），
，即，
抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
（3），
，
，即，
抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
（4），
，
，即，
抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
3.答案：（1）a；
（2）或
解析：（1）由已知结合抛物线定义得点M到准线的距离是a；
抛物线的准线方程为，
设M的横坐标，于是有，即，
所以点M到准线的距离是a；点M的横坐标是；
（2）抛物线的准线，设所求点坐标为，
由（1）知，此时，即，
所以所求点坐标或.
故答案为：（1）a；；（2）或.
（二）课本习题
1.（1）答案：焦点坐标为，准线方程为.
（2）答案：焦点坐标为，准线方程为.
（3）答案：焦点坐标为，准线方程为.
（4）答案：焦点坐标为，准线方程为.
2.（1）答案：
（2）答案：
3.答案：
解析：设所求抛物线的方程为，
依题意，知点在抛物线上，
代入方程，得，
解得，
所求抛物线的方程为.
4.答案：4.9 m
解析：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设该抛物线的方程为.
拱顶离水面2 m，水面宽4 m，点在抛物线上，
，解得，
拋物线的方程为.
当水面下降1 m时，，代入，得，
即.故这时水面宽为4.9 m.
六、课后
1.答案：C
解析：由抛物线，可得，所以准线方程为.如图所示，设点，其中，过点P作，垂足为A，由抛物线的定义得，所以，解得，即点P的横坐标为18.故选C.
2.答案：D
解析：由题意得，点P与点之间的距离等于点P到直线的距离，所以点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，解得，所以点P的轨迹方程是.故选D.
3.答案：C
解析：如图，，过点M作准线的垂线MK，垂足为K，则，又，所以，则，即直线FA的斜率是，解得.故选C.
4.答案：B
解析：由抛物线定义知，点P到直线的距离等于点P到抛物线焦点的距离，所以点P到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，即为焦点到直线的距离，即为.故选B.
5.答案：B
解析：由题意得，设，因为，所以，则，所以，即，所以，所以，所以，故选B.
6.答案：ACD
解析：双曲线的离心率，故A正确；双曲线的渐近线方程为，故B错误；
由，有相同的焦点，得，解得，故C正确；
抛物线的焦点为，点在上，则，故或，所以点P到的焦点的距离为4，故D正确.故选ACD.
7.答案：BC
解析：对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误；对于B，设点，，由抛物线的定义可得，解得，
所以线段AB的中点到x轴的距离为，故B正确；
对于C，，AF的中点坐标为，所以AF的中点到x轴的距离为，所以以线段AF为直径的圆与x轴相切，故C正确；
对于D，因为点A，B没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，所以以线段AB为直径的圆与准线不一定相切，故D错误.故选BC.
8.答案：14
解析：设，，，
易知，，
则，，.
因为，所以，即.
由抛物线的定义可得，，，所以.
9.答案：(1)
(2)
(3)或
解析：(1)准线方程可化为，所以抛物线的焦点在y轴上，开口向上，设抛物线的标准方程为，则，所以，所以抛物线的标准方程是.
(2)双曲线的标准方程为，左顶点为，
所以抛物线的焦点为，所以抛物线的开口向左，
设抛物线的标准方程为，则，所以，
所以抛物线的标准方程是.
(3)若抛物线的开口向右，设抛物线的标准方程为，
当时，，则，即，
解得或，
所以抛物线的标准方程为或.
若抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为，
当时，，则，解得或，
所以抛物线的标准方程为或.
综上可知，抛物线的标准方程为或.

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