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3.3.2 抛物线的简单几何性质
一学习目标
1.理解抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.
2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题.
二、重难点
重点：抛物线的几何性质.
难点：抛物线性质的应用.
三、自主预习
抛物线的简单几何性质
标准方程
图形
焦点
准线
顶点
开口方向 右 左 上 下
对称轴
x的取值范围
y的取值范围 R
离心率
应用举例
例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程.
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，
所以可设它的标准方程为.
因为点M在抛物线上，所以，解得.
因此，所求抛物线的标准方程是.
例2 斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
解：由题意可知，，，焦点F的坐标为，准线方程为.
如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为，.
由抛物线的定义，可知，，
于是.
因为直线l的斜率为1，且过焦点，
所以直线l的方程为.①
将①代入方程，得，化简得.
所以，.
所以线段AB的长是8.
例3 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
解：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系.
设抛物线的方程为，①
点A的坐标为，则直线OA的方程为，②
抛物线的准线方程是.③
联立②③，可得点D的纵坐标为.
因为焦点F的坐标是，
当时，直线AF的方程为.④
联立①④，消去x得，即，
可得点B的纵坐标为，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.
当时，易知结论成立.
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.
例4 如图，已知定点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点，于点E，OE与MD相交于点，求点的轨迹方程.
解：设点，，其中，则点的坐标为.
由题意，直线OB的方程为，①
因为点在OB上，将点的坐标代入①，得，②
所以点的横坐标满足②.
直线OE的方程为，③
因为点在OE上，所以点的坐标满足③.
将②代入③，消去得，即点的轨迹方程.
课堂练习
（一）课本练习
1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）关于x轴对称，并且经过点；
（2）关于y轴对称，准线经过点；
（3）准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线.
2.在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系：
（1）； （2）； （3）； （4）.
3.过点作斜率为1的直线l，交抛物线于A，B两点，求.
4.垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且，求直线AB的方程.
5.求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点F关于准线的对称点为；
（2）关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12；
（3）关于x轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形.
6.点在抛物线上，F为焦点，直线MF与准线相交于点N，求.
7.设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为，求抛物线的方程和点M的坐标.
8.两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？
9.已知圆心在y轴上移动的圆经过点，且与x轴、y轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程.
（二）课本习题
1.抛物线上一点M与焦点F的距离，求点M的坐标.
2.如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求.
3.如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：.
4.从抛物线上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
5.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长.
6.已知A，B两点的坐标分别是，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程.
7.已知抛物线的方程为，直线l绕点旋转，讨论直线l与抛物线的公共点个数，并回答下列问题：
（1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？
（2）与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
8.设抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M(不同于抛物线的顶点)反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴.
六、课后练习
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上的点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
2.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且，则( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.已知某抛物线的焦点为F，抛物线上一点A在F的正上方，过点A的直线l与抛物线交于另一点B，满足，则钝角( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合，斜率为的直线l经过点F，且与C交于点A，B.若，则( )
A.1 B. C. D.
5.已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点，若四边形的面积为，则准线l的方程为( )
A. B. C. D.
6.一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点.若这个三角形的面积为，则__________.
7.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线所得弦长为，则抛物线方程为__________.
8.已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点，则抛物线C的方程为________.
9.已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为3，且点P到焦点F的距离为5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点作直线交抛物线C于点A，B，求面积的最小值（其中O为坐标原点）.
答案及解析
三、自主预习
x轴 y轴 R
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）由题可设抛物线的标准方程为.
抛物线过点，
，，
则抛物线的标准方程为.
（2）抛物线关于y轴对称，且准线过点，
抛物线的焦点在y轴正半轴上，
设抛物线的标准方程为，
由题知，抛物线的准线方程为，
所以，得，
抛物线的标准方程为.
（3）抛物线的准线在y轴右侧，
可设抛物线的方程为，
抛物线顶点到准线的距离是4，
所以，得，
抛物线的标准方程为.
（4）抛物线的焦点F在y轴负半轴，
可设抛物线的方程为，
抛物线经过横坐标为16的点P，
，，
又FP平行于准线，，
，
抛物线的标准方程为.
2.答案：见解析
解析：抛物线如图，x的系数的绝对值越大，抛物线的开口越大.
3.答案：
解析：直线与抛物线方程联立，得，
，设，，
得，，
所以.
4.答案：
解析：设，，，
所以，，所以，
所以3，即直线AB的方程为.
5.答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）由题意可设抛物线的标准方程为：，焦点，准线.
因为焦点F关于准线的对称点为，
所以，解得：，
所以所求抛物线的标准方程为：.
（2）由题意可设抛物线的标准方程为：，
因为直线与抛物线相交所得线段的长为12，
所以点在抛物线上，代入得：，解得：，
所以所求抛物线的标准方程为：.
（3）由题意可设抛物线的标准方程为：或，
当焦点在x轴正半轴上时，
因为为等边三角形，且，
则，即，
所以抛物线的标准方程为：.
同理可求，当焦点在x轴负半轴上时，抛物线的标准方程为：.
6.答案：15
解析：因点在抛物线上，则，即，而焦点，
直线，即，而抛物线的准线为，
所以.
7.答案：抛物线的方程为，点M的坐标为
解析：抛物线的准线方程为，设点M的纵坐标为，
由已知结合抛物线定义得，又点M到y轴的距离为，
于是得点，而点M在抛物线上，
从而有，整理得，而，解得，
所以抛物线的方程为，点M的坐标为.
8.答案：
解析：直线和斜率互为相反数，且都过原点，则两直线关于x轴对称，
又抛物线关于x轴对称，焦点坐标为，
则A，B两点关于x轴对称，
由可得，即，则，
要使直线AB经过抛物线的焦点，则，解得，
所以当时，直线AB经过抛物线的焦点.
9.答案：
解析：因圆心在y轴上移动，且该圆过点和，
则线段AC是圆的直径，圆心，
而点在圆上，则，即，化简整理得，
所以点的轨迹方程.
（二）课本习题
1.答案：或
解析：设是拋物线上满足条件的点，
由题意知，焦点为，准线方程为.
因为，由抛物线定义知，，
解得.
将代入，得.
因此，点M的坐标为或.
2.答案：4
解析：由抛物线的方程可知，焦点F的坐标为.
因为，所以线段所在直线的斜率，
因此，直线的方程为，与抛物线的方程联立，
得消去y，得，解得，
所以.
由题图知不合题意，舍去，所以点M的坐标为.
因此.
3.答案：见解析
解析：证明：(方法一)将代入中，得，
即，解得，
则，
所以，
所以.
(方法二)同方法一得方程.
设，由一元二次方程根与系数的关系，
可知.因为，
所以，
所以，
所以.
4.答案：见解析
解析：如答图，设是抛物线上的任一点，轴，垂足为N，则，设线段MN的中点为，则
即
因为在抛物线上，所以，即.
即垂线段的中点的轨迹方程为，其轨迹是焦点坐标为，顶点在坐标原点的抛物线.
5.答案：
解析：如答图，由对称性可设等边的另两个顶点为.
依题意，.
于是有即，
解得或.
显然不合题意，由，得，
即.
所以等边三角形的边长为.
6.答案：
解析：设，则，，，即.
点M的轨迹方程为.
7.（1）答案：见解析
解析：如图所示.
只有一个公共点时如图②，图④所示.
（2）答案：见解析
解析：过的直线斜率不存在时，即，
联立此方程组无解，说明直线和抛物线无公共点.
当过的直线斜率为0时，.
联立解得说明直线和抛物线只有一个公共点.
设过点的直线方程为，
则有，代入抛物线方程得，
即.当时，方程有两个不等实根，方程组有2组解，直线与抛物线有2个公共点；当时，方程有相等两实根，方程组有1组解，直线与抛物线相切，有一个公共点；当时，方程无实根，方程组无解，直线与抛物线无公共点.
8.答案：见解析
解析：证明：如答图，设抛物线上任意一点M，不妨设M在第一象限，横坐标设为，则纵坐标为.设抛物线在M处的切线为，过M且垂直于的直线为.
由题意知的斜率存在且不为0，设为k，则的方程为.
联立
消去x得，
由得.故的斜率.
的方程为.
设关于的对称点为，
根据对称原理有
由①得，代入②式得.
又.
说明F关于的对称点N的纵坐标与M点的纵坐标相同，则平行于对称轴.
六、课后练习
1.答案：C
解析：抛物线的准线方程为.
由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于到准线的距离，即，解得，故抛物线的方程为，则焦点坐标为，即焦点到y轴的距离为2.故选C.
2.答案：C
解析：由题可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为.由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为.
联立方程消去y得.
设，，则.
，，
，.故选C.
3.答案：D
解析：由题知，抛物线的焦点为，准线方程为，
因为点A在F的正上方，所以点A的坐标为，
因为为钝角，则点B在x轴下方，
所以，解得，
即B点坐标为（舍去）或.
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
故钝角.
故选：D.
4.答案：D
解析：由椭圆方程可知，则，
由题意可设直线l的方程为，，，
由消去x，得，即，又，所以，所以，，所以，，则.故选D.
5.答案：D
解析：解法一：由题意知，准线l的方程为，设，，则，，由，
得，即①.由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为，代入抛物线方程并整理，
得，所以②.联立①②，消去得，解得或（舍去），所以，因为，所以，
所以，所以准线l的方程为，故选D.
解法二：设，，，则，，因为，所以，
即，解得，则，
因为四边形是直角梯形，其中，，
高为，
所以四边形的面积为，
所以，所以准线l的方程为，故选D.
6.答案：
解析：设正三角形的边长为x，则，解得.结合抛物线及正三角形的对称性可得抛物线上两个顶点的纵坐标分别为，正三角形的高为.当时，将代入得；当时，将代入得.故.
7.答案：或
解析：设所求抛物线方程为，已知直线方程变形为，设抛物线截直线所得的弦长为，联立方程得消去y得，整理得，，得或.由一元二次方程根与系数的关系得，，所以，解得或，所以所求抛物线方程为或.
8.答案：
解析：由所经过的点所在象限及对称性，结合抛物线的对称性可知，
点和点不可能同时在抛物线C上，
点和点不可能同时在抛物线C上，
点和点不可能同时在抛物线C上，
点和点也不可能同时在抛物线C上，
，两点分别位于第二、四象限，这样的抛物线不存在，
所以抛物线C只能过点，点，根据两点位置可设
，代入，得，即，
所以，此抛物线过点，满足题意.
综上，抛物线C的方程为.
9.答案：（1）
（2）8
解析：（1）由题意知，准线方程为.
由抛物线定义可知点P到焦点F的距离即为点P到准线的距离，
所以，解得，
所以抛物线方程为.
（2）由（1）知，抛物线，直线AB过点，
可设直线AB的方程为，，，不妨设，
联立消x得，
所以，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8.

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