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4.1 数列的概念
一、学习目标
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类.
2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质.
3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.
4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式.
二、重难点
重点：数列的概念和表示方法、数列的通项公式及递推公式的应用、由数列的前n项和求通项公式.
难点：数列通项公式的理解及应用、数列递推公式的认识及应用、由数列的前n项和求通项公式.
三、自主预习
1.数列的相关概念及分类：一般地，把按照确定的顺序排列的 称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 . 第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 表示，其中第1项也叫做 . 数列的一般形式是，，…，，…，简记为 .
2.数列的单调性：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 ；从第2项起，每一项都 它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做 .
3.数列的通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的 可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
4.数列的递推公式：如果一个数列的 两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 .
5.数列的前n项和：数列从第1项起到第项止的 ，称为数列的前n项和，记作，即 .
6.数列的前项和公式：如果数列的 与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
显然，而，于是有 .
应用举例
例l 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
（1）；
（2）.
解：（1）当通项公式中的时，
数列的前5项依次为，图象如图所示.
（2）当通项公式中的时，
数列的前5项依次为，图象如图所示.
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）；
（2）.
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为.
（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为.
例3 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
解：令，
解得（舍去），或.
所以120是数列的项，是第10项.
例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.
解：在图（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是.
例5 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项.
解：由题意可知，
， ，
， ，
.
例6 已知数列的前项和公式为，求的通项公式.
解：因为，
，
并且当时，依然成立.
所以的通项公式是.
课堂练习
（一）课本练习
1.写出下列数列的前10项，并作出它们的图象：
（1）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；
（2）当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列；
（3）数列的通项公式为
2.根据数列的通项公式填表：
n 1 2 … 5 … … … n
… … 153 … 273 …
3.除数函数（divisor function）的函数值等于n的正因数的个数，例如，，.写出数列，，…，，…的前10项.
4.根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，，…；
（2）1，，，，，….
5.根据下面的图形及相应的点数.写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
（1）；
（2）；
（3）.
6.根据下列条件，写出数列的前5项：
（1），；
（2），.
7.已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.
8.已知数列的前n项和公式为，求的通项公式.
（二）课本习题
1.观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（1）( )，-4，9，( )，25，( )，49； （2）1，，( )，，，( )，；
（3）1，，( )，2，，( )，； （4），，( )，，，( ).
2.已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项.
3.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.
4.假设某银行的活期存款年利率为0.35%，某人存入10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用表示第n年到期时的存款余额，求，，及.
六、课后练习
1.下列有关数列的说法正确的是( )
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列，0，1与数列1，0，是同一个数列
C.数列1，3，5，7可表示为
D.数列中的每一项都与它的序号有关
2.数列1，，，，，…的一个通项公式是( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.（多选）下列结论中正确的是( )
A.数列可以看成一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B.数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C.数列的项数是无限的
D.数列的通项公式是唯一的
5.（多选）数列满足，则( )
A.数列的最大项为 B.数列的最大项为
C.数列的最小项为 D.数列的最小项为
6.（多选）在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
7.下列星星图案中星星的个数构成数列，则数列的一个通项公式是___________.
8.已知数列的前n项和为，则的通项公式为___________.
9.根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并作出它们的图象.
（1）； （2）.
10.记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且.
（1）求和的值，并猜想的通项公式；
（2）证明第（1）问猜想的通项公式；
答案及解析
三、自主预习
1.一列数 项 首项
2.递增数列 小于 常数列
3.对应关系
4.相邻 递推公式
5.各项之和
6.前项和
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）根据题意，可知数列的前10项为：1，，，，，，，，，.图象如下：
（2）根据题意，可知数列的前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如下：
（3）根据题意，可知数列的前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.图象如下：
2.答案：见解析
解析：当时，；
当时，；
当时，；
当时，，解得；
当时，，解得；
所以列表如下：
n 1 2 … 5 … 12 … 22 … n
21 33 … 69 … 153 … 273 …
3.答案：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4
解析：由题意可得，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以前10项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.
故答案为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.
4.答案：（1）
（2）
解析：（1），，，，，…，
所以；
（2）由题意，，，，，…，
所以.
5.答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）设第n项的点数为，
，，，，
该数列的第5项为，
数列的一个通项公式为，第5项的图形如下图所示：
（2）设第n项的点数为，
，，，，
该数列的第5项为，
数列的一个通项公式为，第5项的图形如下图所示：
（3）设第n项的点数为，
，，，，
该数列的第5项为，
数列的一个通项公式为，第5项的图形如下图所示：
6.答案：（1）1，3，7，15，31
（2）3，3，3，3，3
解析：（1）因为，，
所以，
，
，
，
故数列的前5项分别为1，3，7，15，31.
（2）因为，，
所以，
，
，
，
故数列的前5项分别为3，3，3，3，3.
7.答案：，，，，通项公式
解析：，，，
.
猜想.
8.答案：
解析：当时，；
当时，，满足，
故的通项公式为.
（二）习题
1.（1）答案：1、、、通项公式：
解析：(1)，-4，9，()，25，()，49..
（2）答案：、、通项公式：
解析：1，，，，，，..
（3）答案：、、通项公式：
解析：1，，，2，，，..
（4）答案：、、通项公式：
解析：，，，，，..
2、（1）答案：1，2，3，5，8；
（2）答案：2，，，，.
3.答案：见解析
解析：三角形数所构成的数列的第5项和第6项分别为15，21；
正方形数所构成的数列的第5项和第6项分别为25，36；
五边形数所构成的数列的第5项和第6项分别为35，51.
4.答案：见解析
解析：，，，.
六、课后练习
1.答案：D
解析：A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，的各项都是3；B是错误的，数列，0，1与数列1，0，中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，是一个集合；易知D是正确的.
2.答案：B
解析：由于数列中各项的分母1，3，5，7，…是奇数列，分子1，2，3，4，…是自然数列，故通项公式为.故选B.
3.答案：B
解析：由，得，所以，，，…，，，所以，所以，又，所以，因为满足上式，所以.
4.答案：AB
解析：数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集，A，B正确；由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不正确；数列的通项公式可以不唯一，例如，数列1，，1，，…的通项公式可以是，也可以是不正确.
5.答案：BD
解析：令，，由反比例函数的性质得在上单调递减，在上单调递减，所以当时，是递减数列，当时，是递减数列.又当时，，当时，，所以数列的最大项为，最小项为.
6.答案：BD
解析：由得，当时，，，…，，，将各式相加得，则.当时，，满足上式，所以，当时，.故选BD.
7.答案：
解析：由题图可知，，，，，，…，，，则，当时，也成立..
8.答案：
解析：由已知得当时，，又当时，，所以的通项公式为
9.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）数列的前5项如下表：
n 1 2 3 4 5
0 1
图象如图所示.
（2）数列的前5项如表：
n 1 2 3 4 5
0 1 0
图象如图所示.
10.答案：（1），；猜想：
（2）证明见解析
解析：（1）由题意对任意正整数n，有，
令时，，即，可得；
令时，，即，可得.
由，，猜想：.
（2）由（1）可知；
当时，由得，则，
即，即，
故时，，
且也适合上式，所以.

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