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4.2.1 等差数列的概念
一、学习目标
1.等差数列的概念、通项公式及其应用；
2.等差数列与一次函数的关系；
3.等差数列项与项之间的关系.
二、重难点
重点：用实例归纳等差数列定义及通项公式，用累加法进行证明.
难点 ：等差规律的符号化表达，等差数列通项公式的推导.
三、自主预习
1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示.
2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
叫做a与b的等差中项. 根据等差数列定义知道， .
3.等差数列的通项公式：设一个等差数列的首项为，公差为d，则通项公式为 .
四、应用举例
例1 已知等差数列的通项公式为，求等差数列的首项和公差.
分析1：有了通项公式，只要将代入，就能求得；由通项公式写出的表达式，由可求得公差.
解1：把代入通项公式，得.
当时，.
于是.
所以，数列的首项为3，公差为－2.
分析2：由于已知数列为等差数列，所以每一项与它前一项的差都等于公差，已求出首项，只需再求出，即为公差.
解2：把代入通项公式，得.
于是.
分析3：由于等差数列通项公式是关于的一次函数，即.一次项系数记为公差，可以直接从通项公式看出公差的值.
解3：因为，所以公差.
例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？
分析：只要知道首项和公差，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差可以由任意一项和它前一项的差求得.求得通项公式以后，它是一个关于的方程，判断－289是否是数列中的项，只需要看－289是否能使得该方程有正整数解即可．
解：由已知条件，得.
把，代入，得
.
所以.
令，得.
所以－289是该数列中的第100项.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.判断下列数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差.
（1）95，82，69，56，43，30；
（2）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；
（3）1，，3，，5，；
（4）1，，，，，，.
2.求下列各组数的等差中项：
（1）647和895；
（2）和.
3.已知是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
d
8
2
4.已知在等差数列中，，.求.
5.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
6.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？
7.画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.
8.在等差数列中，，，且，求.
9.已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足.
（1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.
（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式.
10.已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d.
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（2）依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）依次取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
（二）课本习题
1.已知为等差数列，，.求.
2.1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份.
3.已知等差数列的公差为d，求证.你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？
4.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列.
（1）写出数列的一个递推公式；
（2）根据(1)中的递推公式，写出数列的一个通项公式.
六、课后练习
1.下列数列中，不是等差数列的是( )
A.1，4，7，10 B.，，，
C.，，， D.10，8，6，4，2
2.“”是“数列为等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前三项分别为，，，则该数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
5.在数列中，若，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则( )
A.17 B.37 C.107 D.128
7.已知等差数列是递增数列，若，，则( )
A.2024 B.2023 C.4048 D.4046
8.若不全相等的非零实数a，b，c成等差数列且公差为d，那么，，( )
A.可能是等差数列 B.一定不是等差数列
C.一定是等差数列，且公差为 D.一定是等差数列，且公差为d
9.等差数列中，，公差为，，，则公差d的值为( )
A.1 B.0 C. D.
10.写出一个同时具有下列性质①②的等差数列的通项公式：__________.
①（，）；
②是递增数列.
11.已知数列满足，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
12.已知正项数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式的正整数n的最小值.
答案及解析
三、自主预习
1.差 常数 d
2.A
3.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）是等差数列，公差为
（2）不是等差数列
（3）不是等差数列
（4）是等差数列，公差为
解析：（1）由，
即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为；
（2）通过观察可知，，，…
该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；
（3）通过观察可知，，，…
该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；
（4）由，
即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为.
2.答案：（1）771
（2）
解析：（1）设647和895的等差中项为a，则，
故647和895的等差中项为771；
（2）设和的等差中项为b，则，
故和的等差中项为.
3.答案：见解析
解析：对第一行：由题意得，，，，
利用等差数列性质知，解得：；
又，解得：，
对第二行：由题意得，，，，，，
故可填写表格如下：
d
8
15 2
4.答案：6
解析：设等差数列的公差为d，则在等差数列中，
，，
，
.
5.答案：10.5，14，17.5
解析：在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，
，解得，
，
，
，
插入的这3个数为10.5，14，17.5.
6.答案：，第10排的座位数33个
解析：由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项，，
则，
.
综上可知，，第10排的座位数个.
7.答案：
解析：由题知，数列是一个等差数列，
其首项为18，公差为，则，可得图象如下：
因此，通过图象上所有点的直线的斜率为.
8.答案：
解析：设等差数列的公差为d，
则，
所以.
9.答案：（1）数列是等差数列，证明见解析
（2）
解析：（1）数列是等差数列，
证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，，
所以，，
又因为，
故
，
而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列，
而，，
所以.
10.答案：（1）这个新数列是等差数列，首项为，公差为d
（2）这个新数列是等差数列，首项为，公差为2d
（2）这个新数列是等差数列，猜想见解析
解析：（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，
其余各项组成一个新的数列为：，，，…，
这个新数列是等差数列，首项为，公差为d.
（2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，
组成一个新的数列为：，，，…，，…，
这个新数列是等差数列，首项为，公差为2d.
（3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，
组成一个新的数列为：，，，…，，…，
这个新数列是等差数列，首项为，公差为.
猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.
（二）课本习题
1.答案：1
解析：由题意，知，，
，，
，.
2.答案：列表略，本世纪回归的年份为2062年
解析：根据历史记载，哈雷彗星在1607年以后的回归时间依次为1682年，1759年，1835年，1910年，1986年.列表略.预测它在本世纪回归的年份为2062年.
3.答案：见解析
解析：等差数列的通项公式.
数列的图像是直线上的一系列孤立的点，且直线的斜率为d，
又直线的斜率公式，.
4.（1）答案：
解析：由题意，知数列：1，3，6，…，.
（2）答案：
解析：，，，，，
…，
，
以上个式子相加，，.又也符合上式，.
六、课后练习
1.答案：C
解析：
A 是 （常数），所以是等差数列.
B 是 （常数），所以是等差数列.
C 不是 ，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
D 是 （常数），所以是等差数列.
2.答案：B
解析：如果数列是等差数列，
根据等差中项的定义可得，
反之成立，
不一定得到数列是等差数列.
故选B.
3.答案：A
解析：设等差数列的公差为d，依题意得解得所以.
4.答案：C
解析：设该等差数列的公差为d.因为等差数列的前三项分别为，，，所以，解得，所以，，所以.故选C.
5.答案：A
解析：因为，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.故选A.
6.答案：C
解析：因为能被3除余2且被7除余2，所以既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且，所以，即，所以.故选C.
7.答案：C
解析：设等差数列的公差为.
方法一：因为，，所以所以所以.
方法二：由，得，即，所以，所以.
8.答案：B
解析：若，，是等差数列，则，因为a，b，c成等差数列，所以，则，整理化简得，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，所以，，一定不是等差数列.故选B.
9.答案：A
解析：，，又，，即，解得，由于，所以，故选A.
10.答案：2n（答案不唯一）
解析：设数列的公差为d，则由性质①可得，整理得，所以，再根据②可知，显然满足题意.取，则（【另解】注意到，不妨令，满足题意）.（注：满足题意的答案均可.）
11.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）将两边取倒数，
得，即，
即，故数列是等差数列.
（2）由（1）知数列是等差数列，且公差为2，首项，
所以，
即数列的通项公式为.
12.答案：（1）
（2）5
解析：（1）由已知得，，
所以数列是等差数列，设其公差为d.
由，得.
所以，即，所以.
（2）由，得，所以原不等式可化为，
不等式的两边同时平方可得，即，
所以，整理得，解得或.
因为，所以n的最小值为5.

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