资源简介

4.2.2 等差数列的前n项和公式
一、学习目标
1.理解等差数列前项和公式的推导方法。
2.会用等差数列前项和公式解决一些问题。
二、重难点
重点：等差数列前项和公式的推导方法
难点：等差数列前项和公式应用
三、自主预习
1.等差数列的前n项和公式： 或 .
2.等差数列的前n项和公式推导的方法是__________。
3.公式不一定是关于的二次函数.当等差数列的公差____且首项____时,公式是关于的一次函数;只有当公差______时,公式才是关于的二次函数.
四、应用举例
例1 已知数列是等差数列.
(1)若,求;
(2)若,求;
(3)若,求.
分析:对于(1),可以直接利用公式求和;在(2)中,可以先利用和的值求出,再利用公式求和;(3)已知公式中的和,解方程即可求得.
解:(1)因为,根据公式,可得.
(2)因为,所以.根据公式,可得.
(3)把代入,得.
整理,得.解得,或(舍去).所以.
例2 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗
分析:把已知条件代入等差数列前项和的公式(2)后,可得到两个关于与的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组,就可以求得和.
解:由题意,知,把它们代入公式,得解方程组,得所以,由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
例3 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位
分析:将第1排到第20排的座位数依次排成一列,构成数列.设数列的前项和为.由题意可知,是等差数列,且公差及前20项的和已知,所以可利用等差数列的前项和公式求首项.
解:设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列,其前项和为.根据题意,数列是一个公差为2的等差数列,且.由,可得.
因此,第1排应安排21个座位.
例4 已知等差数列的前项和为,若10,公差,则是否存在最大值 若存在,求的最大值及取得最大值时的值;若不存在,请说明理由.
分析:由和,可以证明是递减数列,且存在正整数,使得当时,递减.这样,就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.另一方面,等差数列的前项和公式可写成,所以当时,可以看成二次函数当时的函数值.如图,当时,关于的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此,可以利用二次函数求相应的的值.
解法1:由,得,
所以是递减数列.
又由,可知:
当时,;
当时,;
当时,.
所以.
也就是说,当或6时,最大.
因为,
所以的最大值为30.
解法2:因为,
所以,当取与最接近的整数即5或6时,最大,最大值为30.
课堂练习
（一）课本练习
1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和.
（1），，； （2），，；
（3），，； （4），，.
2.等差数列，，，…的前多少项的和是？
3.在等差数列中，为其前n项的和，若，，求.
4.在等差数列中，若，求k.
5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.求此数列中间一项的值以及项数.
6.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？
7.已知数列的前n项和.求这个数列的通项公式.
8.已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值.
9.求集合，且中元素的个数，并求这些元素的和.
10.已知数列的通项公式为，前n项和为.求取得最小值时n的值.
（二）课本习题
1.已知一个多边形的周长等于158 cm，所有各边的长成等差数列，最大的边长为44 cm，公差为3 cm.求这个多边形的边数.
2.数列，都是等差数列，且，，.求数列的前100项的和.
3.已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.求这个新数列的各项之和.
4.一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务.第一辆车于14时出发，以后每间隔10 min发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息.
（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
（2）如果每辆车行驶的速度都是60 km/h，这个车队当天一共行驶了多少千米？
六、课后练习
1.记为等差数列的前n项和.若，，则( )
A.72 B.64 C.56 D.48
2.已知等差数列的前n项和为.若，则一定有( )
A. B. C. D.
3.已知在数列中，（且），设为的前n项和.若，则( )
A.8 B.12 C.16 D.36
4.已知等差数列的前n项和为，若，，，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为( )
A.230 B.115 C.110 D.100
6.已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则( )
A.7 B.8 C.9 D.10
7.在等差数列中，，其前n项和为，若，则( )
A.2022 B. C. D.2023
8.（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则( )
A.数列单调递减 B.数列单调递增
C.有最大值 D.有最小值
9.（多选）已知等差数列的公差，且，的前n项和为，若是的最大值，则k的可能值为( )
A.6 B.7 C.12 D.13
10.设数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为__________.
11.已知在数列中，，.
（1）求数列的通项公式及其前n项和；
（2）求数列的前n项和.
12.已知等差数列的前n项和为，，为整数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
答案及解析
自主预习
1.
2.倒序相加法
3.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）500
（2）2550
（3）
（4）604.5
解析：（1）由题意，，，
所以.
（2）由题意，，，
所以.
（3）由题意，，，，
，
所以.
（4）由题意，，，
由，得，解得，
所以.
2.答案：10
解析：等差数列，，，…的首项为，公差，
设前n项的和为，
则有，
解得：.
即等差数列，，，…的前10项的和是.
3.答案：72
解析：设等差数列的公差为d，
则，解得，，
则.
4.答案：16
解析：因为，所以，
即，因此，
所以，由题意知，
所以，所以.
5.答案：中间一项是29，项数为19
解析：设等差数列的项数为，
设所有的奇数项和为S，则，
设所有的偶数项和为T，则，
，解得，
项数，中间项为，
由，，
所以此数列中间一项是29，项数为19.
6.答案：第二种方式获奖者收益更多
解析：从12月20号到第二年的1月1号共13天，
每天领取奖金数是以100为首项，以10为公差的等差数列，
即，，，
所以共获奖金元，
由于，故第二种方式获奖者收益更多.
7.答案：
解析：当时，，
当时，，
当时，，
所以.
8.答案：当时，存在最小值
解析：由已知可知等差数列的首项，公差，
则数列的通项公式为，
令，即，又，且，
即数列的前9项都是负数，第10项为正数，
故当时，存在最小值.
9.答案：900
解析：集合，且，即共30个奇数，
构成以1为首项，公差为2的等差数列，
利用等差数列求和公式得，
故集合M中有30个元素，这些元素的和为900.
10.答案：
解析：当，，
解得：，
当和时，，
所以取得最小值时，.
（二）课本习题
1.答案：4
解析：(方法一)设这个多边形最小边的长为，
边数为n，则，，.
根据等差数列前n项和公式与通项公式，得
解得或(不合题意，舍去)，故这个多边形的边数是4.
(方法二)设这个多边形最大边的长为，边数为n，
则，，.
由，
解得或(不合题意，舍去).故这个多边形的边数是4.
2.答案：6000
解析：由题意，知数列为等差数列，首项，，.
3.答案：1472
解析：等差数列2，6，10，…，190的通项公式，
等差数列2，8，14，…，200的通项公式.
令，得，.
时，；时，；时，；….
设由两数列的公共项组成的数列为，
则，，
.
令，得，n最大为16，即共有16项，
4.（1）答案：行驶了1小时40分
解析：首先求出最后一辆车出发的时间是下午16时20分，所以到下午18时，最后一辆车行驶了1小时40分.
（2）答案：2550 km
解析：先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后的车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分.各辆车的行驶时间成等差数列，代入前n项和公式，这个车队所有车的行驶时间为.
因为车速为60 km/h，所以行驶总路程为2550 km.
六、课后练习
1.答案：B
解析：设等差数列的公差为d，则，解得，所以，所以.故选B.
2.答案：D
解析：由得，故，异号或同时为0.若，异号，则A，B选项均错误；
由等差数列的前n项和公式得，，由于不一定为0，所以不一定为0，故C选项错误，D选项正确.故选D.
3.答案：B
解析：在数列中，（且），（且），数列是公差的等差数列.
为的前n项和，，，解得，.
4.答案：C
解析：设等差数列的公差为d.，是等差数列.
，，是数列中连续的三项，，解得，故选C.
5.答案：B
解析：①，
②，
因为，所以两式相加得，所以，所以的前20项的和，故.
6.答案：B
解析：，由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得.故选B.
7.答案：C
解析：因为数列为等差数列，故是等差数列，设其公差为.又，即，又，所以，所以，即.
8.答案：AC
解析：因为，且，所以是关于n的递减数列，即数列单调递减，故A正确，B错误；
，又，，故一定有最大值，没有最小值，故C正确，D错误.故选AC.
9.答案：AB
解析：因为，所以，即，又，所以，，对称轴方程为，所以k的可能值为6或7.
10.答案：
解析：方法一：当时，，当时，，又，符合上式，所以.
方法二：由可知数列为等差数列，且，，设其公差为d，则（或由，得即），所以.
11.答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，即，
所以数列是等差数列，
所以，
所以.
（2）令可得，又由题意知，
所以当时，；
当时，.
综上可得，
12.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，为整数，知等差数列的公差d为整数，
又，所以，，
故解得，因此，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，
所以
.
故数列的前n项和.

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