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4.3.2 等比数列的前n项和公式
一、学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
二、重难点
重点：等比数列的前n项和公式.
难点：等比数列的前n项和公式及应用.
三、自主预习
1.等比数列的前n项和公式： 或 .当时,
2.推导公式的方法是___________
四、应用举例
例1 已知数列是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求n.
解：（1）因为，，所以.
（2）由，，可得，即.
又由，得，所以.
（3）把，，代入，得.
整理，得.解得.
例2 已知等比数列的首项为-1，前n项和为.若，求公比q.
解：若，则，所以.
当时，由，得.
整理，得，即.所以.
例3 已知等比数列的公比，前n项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：当时，，，，
所以，，成等比数列，公比为1.
当时，，
，
.
所以.
因为为常数，所以，，成等比数列，公比为.
例4 如图，正方形ABCD的边长为5 cm.取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
解：设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，则.
由于第个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，
所以.
因此是以25为首项，为公比的等比数列.
设的前n项和为.
（1）.
所以前10个正方形的面积之和为.
（2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和，
而，
随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50.
所以所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
例5 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，，
.
当时，.所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
例6 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，….
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中k，r为常数；
（3）求的值（精确到1）.
解：（1）由题意，得，并且.①
（2）将化成.②
比较①②的系数，可得.解方程组得.
所以（1）中的递推公式可以化为.
（3）由（2）可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则.
所以.
课堂练习
（一）课本练习
1.已知数列是等比数列.
（1）若，，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，求与.
2.已知，且.对于，证明：.
3.设等比数列的前n项和为，已知，.求和.
4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64.求这个等比数列的首项和公比.
5.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？
6.一个乒乓球从高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍.
（1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到）？
（2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到？
7.某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到.每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？
8.已知数列的前n项和为，若，求.
（二）课本习题
1.已知数列是等比数列.
（1）若，，求q与；
（2）若，，求.
2.求和：
（1）；
（2）.
3.已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列.求证：，，成等差数列.
4.求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：
1，11，111，1111，11111，….
5.若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和.
6.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要几轮传染？需要多少天？(初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……)
7.已知数列为等比数列，，公比.若是数列的前n项积，求的最大值.
六、课后练习
1.已知正项等比数列中，，其前n项和为，且，则( )
A.31 B.32 C.63 D.64
2.设正项等比数列的前n项和为.若，则数列的公比是( )
A.2 B.或2 C. D.或
3.已知数列满足，，则数列的前n项和( )
A. B. C. D.
4.某公司为庆祝公司成立九周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“九年耕枟，硕果累累”8个字.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米高度至少要经过( )
A.3分钟 B.4分钟 C.5分钟 D.6分钟
5.已知数列满足且，则数列的前5项和为( )
A. B. C.91 D.151
6.在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，设数列的前n项和为，则( )
A. B. C. D.
7.（多选）设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则( )
A. B.
C.为常数 D.为等比数列
8.（多选）设为数列的前n项和，已知，，，则( )
A.是等比数列 B.
C. D.
9.已知等比数列的前n项和为，若，，则__________.
10.给出定义：使数列的前k项和为正整数的称为“好数”.已知数列满足，则在内的所有“好数”的和为__________.
11.已知数列满足且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
12.设数列的前n项和为，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）数列满足，且.
（i）求数列的通项公式；
（ii）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
答案及解析
自主预习
1.
2.错位相减法
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）189
（2）
（3），或，
解析：（1）因为，，，
可得.
（2）因为，，且，
所以.
（3）设等比数列的公比为q，因为，，
当时，可得，此时，满足题意；
当时，可得，解得，.
2.答案：证明见解析
解析：证明：记，
因为，且，所以两边同乘以，得：
，
所以，
所以.
所以，即证.
3.答案：当，时，，；
当，时，，
解析：设的公比为q，由题设得，
解得或，
当，时，，；
当，时，，.
4.答案：见解析
解析：设这三个数分别为x，y，z，则满足
由题意可得，，
联立方程组，可得，，或，，，
当这三个数为，，，可得这个等比数列的首项为2，公比为2；
当这三个数为，，，可得这个等比数列的首项为8，公比为.
5.答案：
解析：依题意设数列的首项为，公比为，
则，，
所以，即，所以，
解得，即，所求.
6.答案：（1）
（2）第8次
解析：（1）由题可知，每次落地的高度形成以1为首项，0.61为公比的等比数列，
则当它第6次着地时，经过的总路程为
，
所以当它第6次着地时，经过的总路程是；
（2）由题意得，
整理得，所以，
则至少在第8次着地后，它经过的总路程能达到.
7.答案：424万元
解析：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金，则：
第一年剩余资金为：，
第二年剩余资金为：，
……
以此类推，第五年剩余资金为：，
由题意知，，
即，解得：，
故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金.
8.答案：
解析：当时：，
当时：①，
②，
：.
所以数列为以为首项，2为公比等比数列.
所以.
（二）课本习题
1、（1）答案：，
解析：由，解得.
.
（2）答案：
解析：由题意知或
当，时，；
当，，.
2、（1）答案：
解析：
.
（2）答案：
解析：设，①
则.②
①-②，得.
当时，；
当时，.即.
3.答案：见解析
解析：证明：当时，，，不成等差数列，不合题意舍去.
当时，，，成等差数列，，
，
，，两边同乘，，
，，，成等差数列.
4.答案：见解析
解析：(方法一)，
.
(方法二).以下同方法一.
5.答案：，
解析：令，，，
，为等比数列，首项，公比为2，
，，
.
6.答案：见解析
解析：由于一轮传染中，1人平 传染人，那么由1个初始感染者经过一轮传染后有人被传染，经过两轮传染后有人被传染，经过三轮传染后有人被传染，……经过n轮传染后有人被传染.
由，，得，
，.
又，故当，即大约需5轮传染可使感染者增加到1000人.
需要(天).
7.答案：
解析：，
，
当或11时最大，最大值为.
六、课后练习
1.答案：C
解析：设正项等比数列的公比为，由题意可得，即，解得或（舍去），则.故选C.
2.答案：A
解析：设等比数列的公比为q.因为，所以，所以，所以.又因为，所以，解得或（舍），故选A.
3.答案：C
解析：因为，
所以，则，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，故选C.
4.答案：B
解析：设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意可得（，），.所以前n分钟热气球上升的总高度，因为，所以数列为单调递增数列，又，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米高度，故选B.
5.答案：B
解析：数列满足，且，数列是首项为，公比为3的等比数列，，数列的前5项和为
.故选B.
6.答案：C
解析：设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，即，解得或（舍去），所以，从而.故，，两式相减，得，所以，所以.
7.答案：ACD
解析：设公比为q，，
则，解得，
故，
则，.
对A，，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，为常数，故C正确；
对D，，，
故为等比数列，故D正确；
故选：ACD
8.答案：BD
解析：令，得，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以D正确.，所以B正确.由，，可得，所以不是等比数列，所以A错误.，所以C错误.
9.答案：3
解析：由数列为等比数列，设其公比为q，又，则，解得，所以，则，所以，，所以，，所以.
10.答案：2026
解析：设数列的前n项和为，则，所以.因为，所以一定成立.要使为正整数，需为正整数，令，，则，因为，所以，因为为增函数，且，，…，，，所以，，所以内的所有“好数”的和为.
11.答案：（1）
（2）
解析：（1）当n为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，
，所以，n为奇数；
当n为偶数时，由，知数列是公比为2的等比数列，
，所以，n为偶数，
所以
（2）记，
，
，
两式相减，得
，
所以.
12.答案：（1）证明见解析
（2）（i）
（ii）
解析：（1）证明：因为，
所以当时，，解得.
当时，，则，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）（i）因为数列满足，且，
所以，则时，
.
当时，也符合上式，所以.
（ii）因为不等式对恒成立，则，
令，
则，所以，
所以实数的取值范围为.

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