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4.4* 数学归纳法
学习目标
1．了解归纳法的意义，形成观察、归纳、发现的能力，能区分不完全归纳法与完全归纳法；学会由特殊到一般的思维方式；
2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；
二、重难点
重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析；
难点：数学归纳法中递推思想的理解。
三、自主预习
1.数学归纳法原理：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当 时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当 时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”.
完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有 都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系：记是一个关于正整数n的命题，用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1）为 ；（2）若，为真，则 也为真.
结论： 为真.
应用举例
例1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立。
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立。
（2）假设当n=k时等式成立，就是ak=a1+(k－1) d。
那么ak+1=ak+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
由（1）和（2）可以判定，等式对任何n∈N*都成立。
例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2。
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2。
∴n=k+1时也成立。
由（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立。
五、课堂练习
（一）课本练习
1.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，.
证明：假设当时，等式成立，即.
则当时，左边右边.
所以当时，等式也成立.
由此得出，对任何，等式都成立.
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是.
证明：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当时，等式成立，即.
则当时，，
，
上面两式相加并除以2，可得，
即当时，等式也成立.
由①②可知，等差数列的前n项和公式是.
2.用数学归纳法证明：首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是.
3.用数学归纳法证明：.
4.若数列，，，…，，…的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明.
5.观察下列两个数列，：
数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；
数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，….
猜想从第几项起小于，并证明你的结论.
6.猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
（二）课本习题
1.用数学归纳法证明下列等式：.要验证当时等式成立，其左边的式子应为( ).
A. B. C. D.
2.已知数列，满足，.计算，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
3.已知数列，，，…，，…的前n项和为.计算，，，，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明.
4.用数学归纳法证明：.
5.已知数列，的通项公式分别为，，其中.试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论.
6.已知数列满足，.试用数学归纳法证明，并比较与的大小关系.
7.证明：能够被6整除.
8.一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式
其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了.请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明.
9.已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则.
请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
六、课后练习
1.用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证不等式( )
A. B. C. D.
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成( )
A.假设当时成立，再推出当时成立
B.假设当时成立，再推出当时成立
C.假设当时成立，再推出当时成立
D.假设当时成立，再推出当时成立
3.设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是( )
A.若成立，则成立
B.若成立，则当时，均有成立
C.若成立，则成立
D.若成立，则当时，均有成立
4.若命题在时成立，则有时命题成立，现知在时命题成立，则有( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立
C.命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立
D.以上说法都不正确
5.用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于__________.
6.用数学归纳法证明：能被133整除.
7.设等差数列的前n项和为，已知，且.
（1）求和.
（2）是否存在等差数列，对任意的都有成立？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.
答案及解析
三、自主预习
1. 正整数n
2.真
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）错误在于没有证明第（1）步
（2）错误在于证明时，没有应用时的假设
解析：（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立；
（2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程，
2.答案：证明见解析
解析：由题意，等比数列的首项为，公比为q，
①当时，，显然满足；
②假设时，成立，
则当时，成立，
由①②可知，对于任意，都有成立.
证明：前n项和公式，
③当时，成立；
④假设时，成立，
则当时，成立，
由③④可知，对于任意，都有成立.
3.答案：证明见解析
解析：证明：①当时，左边，右边，左边=右边，等式成立.
②假设当（，）时，等式成立，
即，
那么当时，
，
当时，等式也成立.
由数学归纳法基本原理知等式成立.
4.答案：猜想，证明见解析
解析：，，；
由，，，猜想，下面用数学归纳法加以证明：
检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立.
①时，，成立；
②假设时，有成立，则当时，
，
所以，
时，猜想也成立，
故由①，②可知，猜想对都成立.
5.答案：猜想从第5项起，证明见解析
解析：根据题意可得：数列的通项公式为，
数列的通项公式为，
由，，，，，，，
猜想从第5项起，
即证当时，，
（1）当时，，，显然，猜想成立；
（2）假设当，（，）时，猜想成立，即，
当时，
，
即，
即当时，猜想成立，
由（1）（2）可知，当，时，都有，即.
6.答案：，证明见解析
解析：由可得，
得，
，
.
推测.
下面用数学归纳法证明：
①当时，左边，
右边，结论成立.
②假设时等式成立，
有，
则当时，
，
故当时，结论也成立.
由①②可知，对任何*都有.
（二）课本习题
1.答案：C
解析：当时，，左边的式子应为.
答案：C.
2.答案：见解析
解析：由，.
，，同理，，.
对于以上归纳，猜想.
证明：(1)当时，猜想成立.
(2)假设时，猜想成立，即，
则当时，，所以当时猜想成立.
由(1)(2)可知，猜想对任意都成立.
3.答案：见解析
解析：；；
；.
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为.于是可以猜想.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当时，左边，右边，猜想成立.
(2)假设当时猜想成立，即，
那么，
，
所以，当时猜想也成立，
根据(1)(2)，可知猜想对任何都成立.
4.答案：见解析
解析：证明：(1)当时，左边，右边，左边=右边，等式成立．
(2)假设等式成立，即，则当时，
，
当时等式成立.
由(1)(2)可知，等式对任意都成立.
5.答案：见解析
解析：当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当吋，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，.
猜想，当或时，.
下面证明时，.
证明：(1)当时，不等式成立.
(2)假设(且)时不等式成立，即，
则当时，.
，，，
，，，
，时，不等式成立.
由(1)(2)可知，不等式对任意，都成立.
6.答案：见解析
解析：先证.
证明：(1)当时，，不等式成立.
(2)假设当时，，则当时，若，则，这与矛盾，当时，.
由(1)(2)可知，不等式对任意都成立.
由上述证明知，，，.
又，，.
7.答案：见解析
解析：证明：(1)当时，，能够被6整除，命题成立.
(2)假设命题成立，即能够被6整除.
那么当时，，
由假设知能够被6整除，而为偶数，也能够被6整除，也能够被6整除，故能够被6整除，当时，命题成立.
由(1)(2)可知，命题对任意都成立.
8.答案：见解析
解析：设 ，则恒等式为.
当时，左边，右边，
；
当时，左边，右边，
；
当时，左边，
右边，，
联立，得得
猜想.
证明：(1)当时，左边，右边，等式成立.
(2)假设当时，等式成立，即.
那么当时，
，
当时，等式成立.
由(1)(2)可知，等式对任意的都成立.
9.答案：见解析
解析：将该命题推广到一般形式：
设，，…，为非负实数，，，…，为正实数，
当，则.
证明：(1)当时，，左边，右边，，不等式成立.
(2)假设当时，不等式成立，即当时，
成立.
那么当时，时，
，(*)
，时，
(*)式.(★)
又，
(★)式.
当时，等式成立.
由(1)(2)可知，命题对任意都成立.
六、课后练习
1.答案：B
解析：由题意得，当时，不等式为，故选B.
2.答案：B
解析：第二步假设当时成立，再推出当时成立.
3.答案：D
解析：根据题意，若成立，则（，）成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.故选D.
4.答案：C
解析：由已知可得时命题成立，则有时命题成立，在时命题成立的前提下，可推得时命题也成立，以此类推，可知命题对大于或等于的正整数都成立，但命题对小于的正整数成立与否不能确定.故选C.
5.答案：6
解析：由题意，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，所以用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于6.
6.答案：证明见解析
解析：证明：①当时，能被133整除，
所以当时结论成立.
②假设当时，能被133整除，
那么当时，
.
由假设可知能被133整除，即能被133整除，
所以当时结论也成立.
综上，能被133整除.
7.答案：（1），
（2）存在
解析：（1）设数列的公差为d，
则解得
所以，所以.
（2）设，
由，可得，
由，可得，
由，可得，
故猜想存在等差数列满足条件，其中.
现用数学归纳法证明如下：
①当时，由上面过程可知，等式成立.
②假设当时，等式成立，
即，
则当时，
，
即当时，等式成立.
由①②可知对任意的都有成立，其中.

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