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简单的三角恒等变换
一、知识梳理
1.半角公式
(1)sin =±.
(2)cos =±.
(3)tan =±.
符号由的终边所在象限决定.
2.常用的三角公式
(1)1-cos α=　　　　,1+cos α=　　　　.(升幂公式)
(2)1±sin α=　　　　　　.(升幂公式)
(3)sin α=,cos α=　　　　,tan α=　　　　.(万能公式)
(4)半角正切公式的有理化
tan==.
3.三角恒等变换的基本技巧
(1)变换函数名称:使用诱导公式.
(2)升幂、降幂:使用倍角(半角)公式.
(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan .
(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.
二、核心原则
（1） 公式体系
半角公式 ：
升幂公式 ：
万能公式 ：
（2） 解题思想
函数名统一 ：通过弦切互化（如切化弦）简化表达式。
角的统一 ：利用半角、倍角或和差公式转化角度。
整体代换 ：设中间变量简化计算。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：三角函数式的化简
策略 ：（1）利用半角公式或升幂公式降次。
（2）结合万能公式统一函数名。
【例1】若 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
题型2：三角函数式的求值
策略 ：（1）根据已知条件选择半角、倍角或和差公式。
（2）注意象限对符号的影响。
【例2】已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型3：三角恒等式的证明
策略 ：（1）从复杂侧出发，逐步化简至另一侧。
（2）常用技巧：通分、因式分解、公式逆用。
【例3】已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，，求的值.
四、典例欣赏
【例4】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比t=≈0.618,现给出三倍角公式cos 3α=4cos3α-3cos α和二倍角公式sin 2α=2sin αcos α,则下列t与sin 18°的关系式中正确的为 ( )
A.t=sin 18° B.t=2sin 18°
C.t=sin 18° D.t=4sin 18°简单的三角恒等变换
一、知识梳理
1.半角公式
(1)sin =±.
(2)cos =±.
(3)tan =±.
符号由的终边所在象限决定.
2.常用的三角公式
(1)1-cos α=　　　　,1+cos α=　　　　.(升幂公式)
(2)1±sin α=　　　　　　.(升幂公式)
(3)sin α=,cos α=　　　　,tan α=　　　　.(万能公式)
(4)半角正切公式的有理化
tan==.
3.三角恒等变换的基本技巧
(1)变换函数名称:使用诱导公式.
(2)升幂、降幂:使用倍角(半角)公式.
(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan .
(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.
二、核心原则
（1） 公式体系
半角公式 ：
升幂公式 ：
万能公式 ：
（2） 解题思想
函数名统一 ：通过弦切互化（如切化弦）简化表达式。
角的统一 ：利用半角、倍角或和差公式转化角度。
整体代换 ：设中间变量简化计算。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：三角函数式的化简
策略 ：（1）利用半角公式或升幂公式降次。
（2）结合万能公式统一函数名。
【例1】若 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【详解 】因为 ，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ．故选：D.
题型2：三角函数式的求值
策略 ：（1）根据已知条件选择半角、倍角或和差公式。
（2）注意象限对符号的影响。
【例2】已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解 】因为，
又因为，，
所以，
所以
因为，所以，
所以，
所以当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
因为，所以，
因为，所以.故选：C.
题型3：三角恒等式的证明
策略 ：（1）从复杂侧出发，逐步化简至另一侧。
（2）常用技巧：通分、因式分解、公式逆用。
【例3】已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，，求的值.
【详解】（1），
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）由，得，，
即，则，，
所以
.
四、典例欣赏
【例4】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比t=≈0.618,现给出三倍角公式cos 3α=4cos3α-3cos α和二倍角公式sin 2α=2sin αcos α,则下列t与sin 18°的关系式中正确的为 ( B )
A.t=sin 18° B.t=2sin 18°
C.t=sin 18° D.t=4sin 18°
【详解】(1)由sin β+sin γ=sin α得sin γ=sin α-sin β,两边平方得sin2γ=sin2α+sin2β-2sin αsin β①,
由cos α+cos γ=cos β得cos γ=cos β-cos α,两边平方得cos2γ=cos2α+cos2β-2cos αcos β②,
①+②得1=2-2cos(α-β),即cos(α-β)=,
因为α,β,γ∈,所以α-β∈,
由sin γ=sin α-sin β可得sin α>sin β,即α-β>0,
所以α-β∈, 又cos(α-β)=,所以α-β=,
所以sin(β-α)=-,故A错误,B正确;
由sin β+sin γ=sin α,两边平方得sin2α=sin2β+sin2γ+2sin βsin γ③,
由cos α+cos γ=cos β得cos α=cos β-cos γ,两边平方得cos2α=cos2β+cos2γ-2cos βcos γ④,
③+④得1=2-2cos(β+γ),即cos(β+γ)=,
因为α,β,γ∈,所以β+γ∈(0,π),故β+γ=,
由α-β=,β+γ=,可得α-γ=2β,故C正确,D错误.
故选BC.
(2)因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=(*),
所以cos(α+β)=±=±,
所以tan(α+β)==±(2+),故B错误;
因为tan α-tan β=0,即=,所以sin αcos β=sin βcos α,代入(*)中,
得sin αcos β=,解得sin αcos β=,故A正确;
sin βcos α=sin αcos β=,
则sin 2αsin 2β=4sin αcos αsin βcos β=4(sin αcos β)(cos αsin β)=4××=,故C正确;
因为cos(α+β)=±,
且cos2(α-β)-cos2(α+β)=(cos αcos β+sin αsin β)2-(cos αcos β-sin αsin β)2=4cos αcos βsin αsin β=sin 2αsin 2β=,
所以cos2(α-β)=cos2(α+β)+=+=,
所以cos(α-β)=±,故D正确.故选ACD.
(3)因为cos 54°=sin 36°,所以cos(3×18°)=sin(2×18°),令β=18°,
则cos 3β=sin 2β,cos 3β=4cos3β-3cos β,sin 2β=2sin βcos β,
即4cos3β-3cos β=2sin βcos β,
因为cos β≠0,所以4cos2β-3=2sin β,
即4(1-sin2β)-3=2sin β,整理得4sin2β+2sin β-1=0,
解得sin β=,
因为sin 18°>0,所以sin 18°=,故t==2sin 18°.
故选B.

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