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三角函数的图象与性质
一、知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),　　　　,(π,0),　　　　,(2π,0).
(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),　　　　,(π,-1),　　　　,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义 域 R R
值域 　　　 　　　 　　　
周期 2π 2π π
奇偶 性 　　　 　　　 奇函数
在上单调递增;在　　　 　　　　上单调递减 在[2kπ,2kπ+π]上单调递减;在　　　 　　　上单调递增 在上单调递增
零点 kπ +kπ kπ
对称 轴 x=kπ+ 　　　 无
对称 中心 　　
二、核心原则
1、 图象特征
（1） 基本图象 ：掌握正弦、余弦、正切函数的图象特征（周期性、对称性、渐近线）。
（2） 变换规律 ：理解振幅（A）、周期（T=2π/ω）、相位（φ）对图象的影响（平移、伸缩）。
2、 性质体系
（1） 定义域与值域 ：
（2） 周期性 ：
（3） 对称性 ：
正弦曲线关于原点对称（奇函数），余弦曲线关于y轴对称（偶函数）。
（5） 单调性 ：
3、 解题思想
（1） 整体代换 ：将ωx+φ视为整体分析性质（如单调区间、对称轴）。
（2） 数形结合 ：通过图象辅助求解零点、最值等问题。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：图象识别与变换
策略 ：根据函数式确定振幅、周期、相位，对比图象特征。
【例1】函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
题型2：定义域与值域问题
策略 ：（1） 定义域 ：正切函数注意分母不为零；复合函数需满足内层函数定义域。
（2） 值域 ：
【例2】设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（ ）
A．2 B． C． D．.
题型3：周期性、对称性与奇偶性
策略 ：（1） 周期 ：（2） 对称性 ：（3） 奇偶性 ：
【例3】若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型4：单调性与参数范围
策略 ：（1） 单调区间 ：解不等式求递增/递减区间（注意ω的符号）。
（2） 参数范围 ：根据单调性列不等式（如f'(x)≥0恒成立）。
结合图象分析边界条件（如区间端点值）。
【例4】已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
题型5：零点与综合应用
策略 ：（1） 零点问题 ：转化为方程sin(ωx+φ)=k，结合图象求交点个数。
（2） 综合题 ：多性质联动（如对称性+周期性简化计算）。
实际应用题（如建模后求最值）。
【例5】设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
四、典例欣赏
【例5】已知ω>0,函数f(x)=sin在区间上单调递减,则实数ω的取值范围是 ( )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.(0,2]三角函数的图象与性质
一、知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),　　　　,(π,0),　　　　,(2π,0).
(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),　　　　,(π,-1),　　　　,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义 域 R R
值域 　　　 　　　 　　　
周期 2π 2π π
奇偶 性 　　　 　　　 奇函数
在上单调递增;在　　　 　　　　上单调递减 在[2kπ,2kπ+π]上单调递减;在　　　 　　　上单调递增 在上单调递增
零点 kπ +kπ kπ
对称 轴 x=kπ+ 　　　 无
对称 中心 　　
二、核心原则
1、 图象特征
（1） 基本图象 ：掌握正弦、余弦、正切函数的图象特征（周期性、对称性、渐近线）。
（2） 变换规律 ：理解振幅（A）、周期（T=2π/ω）、相位（φ）对图象的影响（平移、伸缩）。
2、 性质体系
（1） 定义域与值域 ：
（2） 周期性 ：
（3） 对称性 ：
正弦曲线关于原点对称（奇函数），余弦曲线关于y轴对称（偶函数）。
（5） 单调性 ：
3、 解题思想
（1） 整体代换 ：将ωx+φ视为整体分析性质（如单调区间、对称轴）。
（2） 数形结合 ：通过图象辅助求解零点、最值等问题。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：图象识别与变换
策略 ：根据函数式确定振幅、周期、相位，对比图象特征。
【例1】函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项，
但满足 ，
因此的图象关于直线对称，可排除AB，
又，排除D，故选：C.
题型2：定义域与值域问题
策略 ：（1） 定义域 ：正切函数注意分母不为零；复合函数需满足内层函数定义域。
（2） 值域 ：
【例2】设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（ ）
A．2 B． C． D．.
【详解】若，则，由正弦函数的性质可知，
当时，函数取得最小值，即，
当时，函数取得最大值，即，
所以.故选：B.
题型3：周期性、对称性与奇偶性
策略 ：（1） 周期 ：（2） 对称性 ：（3） 奇偶性 ：
【例3】若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足
，即的对称中心是，
即，
又，则时最小，最小值是，即.故选：B.
题型4：单调性与参数范围
策略 ：（1） 单调区间 ：解不等式求递增/递减区间（注意ω的符号）。
（2） 参数范围 ：根据单调性列不等式（如f'(x)≥0恒成立）。
结合图象分析边界条件（如区间端点值）。
【例4】已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【详解】将代入，得，
所以，得．
因为函数在上为增函数，此时
，所以，解得，
所以当时，，故选：A.
题型5：零点与综合应用
策略 ：（1） 零点问题 ：转化为方程sin(ωx+φ)=k，结合图象求交点个数。
（2） 综合题 ：多性质联动（如对称性+周期性简化计算）。
实际应用题（如建模后求最值）。
【例5】设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
四、典例欣赏
【例5】已知ω>0,函数f(x)=sin在区间上单调递减,则实数ω的取值范围是 ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.C. D.(0,2]
【详解】由题可知,当x∈时,ωx-∈,ω>0,
令t=ωx-,因为函数f(x)=sin在区间上单调递减,
所以π-≤×,且函数y=sin t在上单调递减,ω>0,
则0<ω≤2,且由正弦函数的性质得k∈Z,
解得k∈Z,即4k+≤ω≤2k+,k∈Z,
又0<ω≤2,所以≤ω≤.
故选B.

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