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14.2 三角形全等的判定
课时1 用“SAS”判定三角形全等
第十四章 全等三角形
1.探索三角形全等的条件.
2.理解并掌握全等三角形“边角边(SAS)”的判定方法和应用.
3.了解利用边边角(SSA)不一定能证明三角形全等.
1.什么是全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．
2.全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
3.已知 △ABC≌△DEF，你能得到哪些边与角相等？
?
AB = DE，AC = DF，BC = EF．
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F．
B
C
A
E
F
D
根据全等三角形的定义，如果△ABC与△DEF 满足三条边分别相等，三个角分别相等，即AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A =∠D， ∠B =∠E， ∠C =∠F，就能判定△ABC≌△DEF
?
A
B
C
D
E
F
思考：能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？
我们知道了全等三角形的对应边相等，对应角相等.反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？
知识点1 探索三角形全等的条件
①先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC 与△A'B'C' 满足一边、一角相等；
只有一个相等条件不能保证两个三角形全等.
我们按照条件由少到多的顺序进行研究：
不一定全等
3 cm
4 cm
不一定全等
3 cm
4 cm
(1) 有两个角分别相等的两个三角形；
(2) 有两条边分别相等的两个三角形；
60°
30°
30°
60°
②使画出的图形满足下列条件：
有分别相等的两个条件不能保证三角形全等.
不一定全等
30°
6cm
(3) 有一个角和一条边分别相等的两个三角形.
6cm
30°
不一定全等
不一定全等
(1) 有两个角分别相等的两个三角形；
(2) 有两条边分别相等的两个三角形；
②使画出的图形满足下列条件：
③如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
①两边一角；
②两角一边；
③三边；
④三角；
如图，直观上，如果∠A，AB，AC 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果∠A' =∠A，A'B' = AB，A'C' = AC，那么△A'B'C'≌△ABC.
这个判断正确吗？
?
C
A
B
C'
A'
B'
知识点2 用“SAS”判定三角形全等
如图，由∠A' =∠ A 可知：
① 使点 A 与点 A' 重合并使射线 A'B' 与射线 AB 重合，射线 A'C' 与射线 AC 重合.
② 由 A'B' = AB， A'C' = AC，点 B'，C' 分别与点 B，C 重合.
C
A
B
C'
A'
B'
(A')
(B')
(C')
C
A
B
△A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合.
△A'B'C' 与△ABC 能够完全重合.
△A'B'C'≌△ABC
?
(A')
(B')
(C')
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（可以简写成“边角边”或“SAS”）
在△ABC 与 △ A′B′C′ 中，
∴△ABC ≌△A′B′C′（SAS）
?
AB = A′B′
∠A =∠A′
AC = A′C′
几何语言：
A
B
C
A'
B'
C'
由上面的探究可得以下基本事实：
例1 如图，AC=AD，AB平分∠CAD，求证∠C =∠D.
分析：因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
①先找隐含条件：
②再找现有条件：
③最后找准备条件：
公共边AB
AC = AD
∠CAB =∠DAB
AB 平分∠CAD
由题意可知，△ABC与△ABD 具备“边角边”的条件.
证明：∵ AB平分∠CAD
在△ABC 和△ABD 中，
△ABC ≌△ABD(SAS).
?
AC = AD，
∠CAB=∠DAB AB = AB，
∴ ∠CAB = ∠DAB
∴ ∠C = ∠D
AB既是△ABC的边又是△ABD 的边，我们称它为这两个三角形的公共边.
思考：如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
如图，△ABC 和△ABD 满足两边和其中一边的对角分别相等，即 AB=AB ，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC 与△ABD 不全等.
B
A
C
D
下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　)
?
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
C
点拨：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．只有两边及夹角对应相等时，才能判定三角形全等．
内容
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（也可以简写成 “SAS”)
应用
为证明三角形全等提供新的证明方法
注意
1.已知两边，必须找“夹角”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
边角边
1.如图，a，b，c 分别是△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是(　　)　
B
2.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中能判定△ABC≌△AED 的是(　　)
A．BC＝AE B．∠BAD＝∠EAC
C．∠B＝∠E D．∠C＝∠D
?
B
3. 如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和点 B. 连接 AC 并延长到点 D，使 CD = CA，连接 BC 并延长到点 E，使 CE = CB，连接DE，那么量出 DE 的长就是 A，B 的距离. 为什么？
AC = DC，
∠ACB =∠DCE，
BC = EC ，
证明：在△ABC 和△DEC 中，
∴ △ABC≌△DEC（SAS）
∴ AB = DE （全等三角形的对应边相等）
?
4.如图，已知CA=CB , AD=BD, ∠A=∠B，∠AMD=∠BND,M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.
证明:
已知M，N分别是CA，CB的中点，
∴ AM=BN
在△AMD与△BND中
AM=BN (已知）
∠A=∠B （已知）
AD=BD （已知）
∴△AMD≌△BND（SAS）
?
∴DM=DN.

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