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不等式中参数问题的类型与解法
【大纲解读】
理解参数的定义，掌握参数分类讨论的法则与基本方法；
能够运用参数分类讨论的法则与基本方法，解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、参数的基本概念：
1、参数的定义：数学问题中取值不能确定的字母，称为参数。
2、理解参数定义时应该注意的问题：理解参数定义时应该抓住参数的两个特征：①参数是数学问题中的一个字母；②这个字母的取值不确定。
二、参数分类讨论的法则与基本方法：
1、参数分类讨论的法则：参数分类讨论的法则是不重复不遗漏。①若问题中涉及到一元二次方程（或一元二次函数，或一元二次不等式）的二次项系数，则应按参数是否等于零进行分类；②若问题中涉及到一元二次方程（或一元二次函数，或一元二次不等式）的两个根（或两个零点）含参数，则应按两根（或两个零点）的大小进行分类；③若一元二次函数图像的对称轴含有参数，则应按对称轴在问题给定区间的左边，之间，右边进行分类；④若一元二次函数给定的区间含参数，则应按给定区间在一元二次函数图像对称轴的左边，之间，右边进行分类；⑤若问题中含有（参数为实数）的条件，则应按参数大于零，等于零，小于零进2、参数分类讨论的基本方法：①根据问题给定的条件，分辨清楚问题参数所属的类型；②按照该类参数问题分类讨论的法则对参数进行正确的分类；③在②的基础上对参数各种取值情况下实施问题的解答；④综合得出问题解答的结果。
三、不等式中参数问题的类型与解答方法：
1、不等式中参数问题的类型：纵观各类试卷，集合中的参数问题，归结起来主要包括：①求解含有参数的不等式问题；②已知含有参数不等式的解集，求参数的值（或取值范围）的问题；③不等式恒成立（任意性）的问题；④不等式能成立（存在性）的问题；⑤不等式恰成立的问题；⑥含有绝对值（或分式）不等式中的参数问题等几种类型。
2、解答不等式中参数问题的基本方法：①根据问题给定的条件，分辨清楚问题参数所属的类型；②按照该类参数问题分类讨论的法则对参数进行正确的分类；③在②的基础上对参数各种取值情况下实施问题的解答；④综合得出问题解答的结果。
【探导考点】
考点1求解含有参数不等式的问题:热点①，求含有参数的一元一次不等式的解集；热点②，求含有参数的一元二次不等式的解集；
考点2已知含有参数不等式的解集，求参数的值（或取值范围）：热点①，已知含有参数一元一次不等式的解集，求参数的值（或取值范围）；热点②，已知含有参数一元二次不等式的解集，求参数的值（或取值范围）；
考点3不等式恒成立（任意性）的问题：热点①，对任意的xD，不等式f(x)>0（或≥0）恒成立，求参数的值（或取值范围）；热点②，对任意的xD，不等式f(x)<0（或≤0）恒成立，求参数的值（或取值范围）；
考点4不等式能成立（存在性）的问题：热点①，存在xD，使不等式f(x)>0（或≥0）成立，求参数的值（或取值范围）；热点②，存在xD，使不等式f(x)<0（或≤0）成立，求参数的值（或取值范围）；
考点5不等式恰成立的问题：热点①，含有参数的不等式f(x)>0（或≥0）的解集恰为D，求参数的值（或取值范围）；热点②，含有参数的不等式f(x)<0（或≤0）的解集恰为D，求参数的值（或取值范围）；
考点6含有绝对值（或分式）不等式中的参数问题：热点①，含有绝对值不等式中的参数问题；热点②，含有分式不等式中的参数问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
解关于x的不等式ax+2<0.。
解关于x的不等式ax+b>0.。
3、解关于x的不等式-（a+1）x+a＜0。
4、解关于x的不等式a-2≥2x-ax(aR)。
『思考问题1』
（1）【典例1】是求含有参数不等式解集的问题，解答这类问题需要理解不等式和参数的定义，掌握参数分类讨论的法则与基本方法和求解不等式的基本方法；
（2）求解含有参数的一元一次不等式的基本方法是：①根据参数分类讨论的法则与基本方法对参数进行正确的分类；②在①的基础上，由参数的不同取值分别求解不等式；③ 综合得出该一元一次不等式的解集；
（3）求解含参数一元二次不等式的基本方法是：①若二次项系数为常数，考虑分解因式对参数进行分类讨论（比较两根的大小）；当二次三项式不易分解时，可依据判别式符号对参数进行分类讨论（确定一元二次方程解的情况）；②若二次项系数含有参数，则需要考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是一元二次式还是一元一次式；当二次项系数不为零时，仍需对参数可能情况分别求解；③对方程的根进行讨论，确定两根的大小得出解集。
〔练习1〕解答下列问题：
1、解关于x的不等式ax-3>0.。
2、解关于x的不等式ax+b<0.。
3、求不等式12-ax＞（aR）的解集。
4、已知f(x)=-3+a（6-a）x+6。
（1）解关于a的不等式f(1)＞0；
（2）若不等式f(x)＞b的解集为（-1,3），求实数a、b的值。
【典例2】解答下列问题：
1、关于x的不等式ax-b＞0的解集为（1，+），则关于x的不等式的解集为（ ）
A （-，0）（1，+） B （-1，2） C （1，2） D （-，-1）（2，+）
2、不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜},则a，c的值为（ ）
A a=6，c=1 B a=-6，c=-1 C a=1，c=1 D a=-1，c=-6
3、关于x的不等式-（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）（成都市2017—2018高一下期期末质量检测）
A （4，5） B （-3，-2）（4，5） C （4，5］ D ［-3，-2）（4，5］
4、如果｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝其中b＞0，求实数a，b的取值范围；
5、已知关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），试求关于x的不等式b+ax+1＞0的解集；
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知含有参数不等式的解集，求参数的值（或取值服务）的问题，解答这类问题需要理解不等式和参数的定义，掌握参数分类讨论的法则与基本方法和求解不等式的基本方法，注意一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式之间的关系；
（2）已知含有参数的一元一次不等式的解集，求参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据不等式的解集确定参数的可能取值；②在①的基础上，由参数的不同取值分别求解不等式，比较所得解集与已知解集是否一致；③ 综合得出参数的值（或取值范围）；
（3）已知含参数一元二次不等式的解集，求参数值（或取值范围）的基本方法是：①若二次项系数为常数，考虑分解因式对参数进行分类讨论（比较两根的大小）；当二次三项式不易分解时，可依据判别式符号对参数进行分类讨论（确定一元二次方程解的情况），从而求出参数值（或取值范围）；②若二次项系数含有参数，则需要考虑二次项系数是否为零，确定不等式是一元二次式还是一元一次式；当二次项系数不为零时，仍需对参数可能情况分别求解；③对方程的根进行讨论，确定两根的大小求出参数值（或取值范围）。
〔练习2〕解答下列问题：
1、不等式组（x-2）（x-5）≤0，与不等式（x-2）（x-5）≤0同解，则实数a的取值范围是（ ） x（x-a）≥0
A （-，2］ B （-，2） C （-，5］ D （5，+）
2、已知一元二次不等式a+bx+1＞0的解集为｛x|-1＜x＜｝，则ab的值为（ ）
A -6 B -5 C 6 D 5
3、设aR，函数f(x)=a-2x-2a，若不等式f(x)＞0的解集为A，集合B=｛x|1＜x＜3｝,
且A∩B=，求实数a的取值范围。
【典例3】解答下列问题：
1、若不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x R恒成立，则实数a的取值集合为（ ）
A {a|a≤2} B {a|-2＜a＜2} C {a|-2＜a≤2} D {a|a≤-2}
2、若一元二次不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A （-3，0］ B ［-3，0） C ［-3，0］ D （-3， 0）
3、若不等式2x-1＞m(-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为 。
4、设函数f(x)=m-mx-1，若对于x［1，3］，f(x) ＜-m+5恒成立，求m的取值范围；
5、对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，求x的取值范围。
6、已知不等式m-2x-m+1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
『思考问题3』
（1）【典例3】是不等式恒成立（任意性）的问题，解答这类问题需要弄清楚谁是主元，谁是参数（一般地知道谁的范围，谁就是主元；求谁的范围，谁就是参数）；
（2）对于不等式恒成立问题，若是恒大于零，表明相应的函数的图像在给定的区间上全部在x轴的上方；若是恒小于零，表明相应的函数的图像在给定的区间上全部在x轴的下方；解答这类问题的基本思路是转化为求一元二次函数的最值问题（或把参数分离，再求函数的最值）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、不等式（m-2）+2（m-2）x-4＜0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是 。
2、已知函数f(x)= ，若任意的x∈［1，+），f(x) ＞0恒成立，则实数a的取值范围是 。
3、函数f(x)= 的定义域是R，则实数a的取值分是 。
4、已知函数f(x)= +mx-1，若对于任意的x［m，m+1］,都有f(x) ＜0成立，则实数m的取值范围是 。
5、已知关于x的不等式-ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 。
6、已知函数f(x)= +ax+b(a，b∈R)的值域为〔0，+∞），若关于x的不等式f(x)＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 。
7、对任意x［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求a的取值范围；
8、对任意a［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围。
【典例4】解答下列问题：
1、关于x的不等式-2ax-8＜0(a＞0)的解集为（，），且-=15，则a=（ ）
A B C D
2、不等式+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 。
3、设aR，函数f(x)=a-2x-2a，若不等式f(x)＞0的解集为A，集合B=｛x|1＜x＜3｝,
且A∩B=，求实数a的取值范围。
『思考问题4』
（1）【典例4】是不等式能成立（存在性）的问题，解答这类问题需要弄清楚不等式能成立是指不等式的解集非空，然后结合问题条件实施解答；
（2）对不等式能成立（存在性）的问题，解答的基本方法是将问题等价转化为不等式有解应该具有的条件，在次基础上对问题实施解答。
〔练习4〕解答下列问题：
1、对任意x［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求a的取值范围；
2、对任意a［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围。
3、已知函数f（x）=|x+1|-|ax-1|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x（0，1）时，不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围。
【典例5】解答下列问题：
1、在关于x的不等式-ax-a＞0（其中e=2.71828----为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围为（ ）
A (，］ B ［，） C (，］ D ［，）
2、已知函数f（x）=-2x+2。
（1）求不等式f（x）＞10的解集；
（2）若不等式f（x）＞2+ax+b的解集是（-2，3），求实数a，b的值
『思考问题5』
（1）【典例5】是不等式恰成立的问题，解答这类问题需要弄清楚不等式恰成立是指不等式的解集就是问题条件中给定的区间，然后结合问题条件实施解答；
（2）对不等式恰能成立的问题，解答的基本方法是将问题等价转化为已知含有次数不等式的解集，求参数的值（或取值范围）的问题，在次基础上对问题实施解答。
〔练习5〕解答下列问题：
1、关于x的不等式-（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A （4，5） B （-3，-2）（4，5） C （4，5］ D ［-3，-2）（4，5］
2、已知函数f(x)= +ax+b(a，b∈R)的值域为〔0，+∞），若关于x的不等式f(x)＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 .
【典例6】解答下列问题：
1、已知适合不等式|-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，求p的值。
2、若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围。
3,、求不等式|ax-1|＜x（a＞0）的解集。
4、求不等式＜0（aR）的解集。
5、已知关于x的不等式＜0的解集是M。
（1）当a=4时求M；
（2）若3M，5M，求实数a的取值范围。
『思考问题6』
（1）【典例6】是含有绝对值（或分式）不等式中的参数问题，解答这类问题需要理解绝对值和分式的定义，掌握求解绝对值不等式和分式不等式的基本方法；
（2）解答绝对值不等式的核心是消除绝对值符号，需要根据绝对值的意义（或分段）来进行；解答分式不等式核心是将分式不等式问题等价转化为整式不等式问题，然后运用求解整式不等式问题的基本方法实施解答。
〔练习6〕解答下列问题：
若不等式|x-1|+|x-2|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围。
2、解关于x的不等式＞1（a1）
【雷区警示】
【典例7】解答下列问题：
若（m+1）-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A m>1 B m<-1 C m<- D m>1 或 m<-
求不等式-（a+）x+>0的解集。
『思考问题7』
【典例7】是解答不等式中参数问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视一元二次不等式中二次项系数的取值，导致解答问题出现错误；②求解含义参数一元二次不等式时，忽视参数分类讨论的原则和基本方法，导致解答问题出现错误；
解答一元二次不等式问题时，为避免忽视一元二次不等式中二次项系数的取值的雷区，需要注意二次项系数的取值对一元二次函数图像的影响，从而正确求出不等式中参数的值（或取值范围）；
解答一元二次不等式问题时，为避免求解含义参数一元二次不等式时，忽视参数分类讨论的原则和基本方法的雷区，需要对相应一元二次方程求出的两根的大小分类讨论，从而正确求出含义参数一元二次不等式的解集。
〔练习7〕解答下列问题：
求不等式a-（a+1)x+1<0的解集；
2、求不等式2+ax+2>0的解集。
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、（多选）关于x的不等式（ax-1）lnx<0的解集可能为（ ）（成都市2024-2025学年度高一上期期末调研考试）
A （，1） B （1，） C （0，1） D （1，+）
2、已知函数f(x)=-+1，对任意，[1，+），若|f（）=f（），恒有=，则实数a的取值范围为 。（成都市2024-2025学年度高一上期期末名校联盟考试）
3、已知函数f(x)=+kx+2，x≤0，若关于x的不等式f(x)≤k的解集为[m，n][a，b]，
|lnx|，x>0，且nA （，） B （，） C （，） D （，）
4、若两个正实数x，y满足4x+y-xy=0，且不等式xy≥-6m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）（成都市2023-2024学年度高一上期期末调研考试）
A [-2，8] B （-2，8] C [-2，6] D （-2，6）
5、定义在R上函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x[0,2）时，f(x)=2-|x-1|，则使得f(x)≤在[m，+）上恒成立的m的最小值是 。（成都市2023-2024学年度高一上期期末调研考试）
16、若函数f(x)= -a，x<2，恰有四个零点，则实数a的取值范围是 。
（x-a）（x-2a），x≥2，（成都市2023-2024学年度高一上期期末名校联盟考试）
『思考问题8』
（1）【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试，名校联盟考试）试卷中关于不等式中的参数问题，归结起来主要包括：①求解含有参数的不等式问题；②已知含有参数不等式的解集，求参数的值（或取值范围）的问题；③不等式恒成立（任意性）的问题；④不等式能成立（存在性）的问题；⑤不等式恰成立的问题；⑥含有绝对值（或分式）不等式中的参数问题等几种类型。
（2）解答问题的基本方法是：①判断问题属于哪一种类型；②根据该种类型问题的解题思路和解答方法对问题实施解答；③得出问题解答的结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、已知一元二次方程+mx+1=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，则实数m的取值范围是（ ）（成都市2022-2023学年度高一上期期末调研考试）
A （-，-2][2，+） B （-，-2）（2，+） C （-，-2] D（-，-2）
2、（多选）已知函数 f(x)=x，x（0，1），若函数g(x)= f(x)-m恰有两个零点，则 -+4x-3，x[1，+），实数m不可能是（ ） （成都市2022-2023学年度高一上期期末调研考试）
A -2 B -1 C 0 D 1
3、已知命题“xR，+2ax-3a>0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2022-2023学年度高一上期期末名校联盟考试）
A [-3，0] B （-3，0） C [-12，0] D （-12，0）
4、设a>1，函数f(x)=（-2-2），则使f(x)>0的x的取值范围是（ ）（成都市2022-2023学年度高一上期期末名校联盟考试）
A （-，0） B （0，+） C （-，3） D （3，+）,
不等式中参数问题的类型与解法
【大纲解读】
理解参数的定义，掌握参数分类讨论的法则与基本方法；
能够运用参数分类讨论的法则与基本方法，解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、参数的基本概念：
1、参数的定义：数学问题中取值不能确定的字母，称为参数。
2、理解参数定义时应该注意的问题：理解参数定义时应该抓住参数的两个特征：①参数是数学问题中的一个字母；②这个字母的取值不确定。
二、参数分类讨论的法则与基本方法：
1、参数分类讨论的法则：参数分类讨论的法则是不重复不遗漏。①若问题中涉及到一元二次方程（或一元二次函数，或一元二次不等式）的二次项系数，则应按参数是否等于零进行分类；②若问题中涉及到一元二次方程（或一元二次函数，或一元二次不等式）的两个根（或两个零点）含参数，则应按两根（或两个零点）的大小进行分类；③若一元二次函数图像的对称轴含有参数，则应按对称轴在问题给定区间的左边，之间，右边进行分类；④若一元二次函数给定的区间含参数，则应按给定区间在一元二次函数图像对称轴的左边，之间，右边进行分类；⑤若问题中含有（参数为实数）的条件，则应按参数大于零，等于零，小于零进2、参数分类讨论的基本方法：①根据问题给定的条件，分辨清楚问题参数所属的类型；②按照该类参数问题分类讨论的法则对参数进行正确的分类；③在②的基础上对参数各种取值情况下实施问题的解答；④综合得出问题解答的结果。
三、不等式中参数问题的类型与解答方法：
1、不等式中参数问题的类型：纵观各类试卷，集合中的参数问题，归结起来主要包括：①求解含有参数的不等式问题；②已知含有参数不等式的解集，求参数的值（或取值范围）的问题；③不等式恒成立（任意性）的问题；④不等式能成立（存在性）的问题；⑤不等式恰成立的问题；⑥含有绝对值（或分式）不等式中的参数问题等几种类型。
2、解答不等式中参数问题的基本方法：①根据问题给定的条件，分辨清楚问题参数所属的类型；②按照该类参数问题分类讨论的法则对参数进行正确的分类；③在②的基础上对参数各种取值情况下实施问题的解答；④综合得出问题解答的结果。
【探导考点】
考点1求解含有参数不等式的问题:热点①，求含有参数的一元一次不等式的解集；热点②，求含有参数的一元二次不等式的解集；
考点2已知含有参数不等式的解集，求参数的值（或取值范围）：热点①，已知含有参数一元一次不等式的解集，求参数的值（或取值范围）；热点②，已知含有参数一元二次不等式的解集，求参数的值（或取值范围）；
考点3不等式恒成立（任意性）的问题：热点①，对任意的xD，不等式f(x)>0（或≥0）恒成立，求参数的值（或取值范围）；热点②，对任意的xD，不等式f(x)<0（或≤0）恒成立，求参数的值（或取值范围）；
考点4不等式能成立（存在性）的问题：热点①，存在xD，使不等式f(x)>0（或≥0）成立，求参数的值（或取值范围）；热点②，存在xD，使不等式f(x)<0（或≤0）成立，求参数的值（或取值范围）；
考点5不等式恰成立的问题：热点①，含有参数的不等式f(x)>0（或≥0）的解集恰为D，求参数的值（或取值范围）；热点②，含有参数的不等式f(x)<0（或≤0）的解集恰为D，求参数的值（或取值范围）；
考点6含有绝对值（或分式）不等式中的参数问题：热点①，含有绝对值不等式中的参数问题；热点②，含有分式不等式中的参数问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、解关于x的不等式ax+2<0.。
【解析】
【知识点】①一元一次不等式的定义与性质；②求解一元一次不等式的基本方法；③参数分类讨论的法则和基本方法。
【解题思路】根据一元一次不等式的性质，运用求解一元一次不等式的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法，结合问题条件就可求出不等式ax+2<0.的解集。
【详细解答】当a>0时，不等式ax+2<0的解集为{x|x＜-},当a=0时，不等式ax+2<0的解集为，当a<0时，不等式ax+2<0的解集为{x|x>-},综上所述，当a＞0时，不等式ax+2＜0的解集为：{x| x＜-}，当a=0时，不等式ax+2＜0的解集为，当a＜0时，不等式ax+2＜0的解集为：{x| x>-}。
解关于x的不等式ax+b>0.。
【解析】
【知识点】①一元一次不等式的定义与性质；②求解一元一次不等式的基本方法；③参数分类讨论的法则和基本方法。
【解题思路】根据一元一次不等式的性质，运用求解一元一次不等式的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法，结合问题条件就可求出不等式ax+2<0.的解集。
【详细解答】当a>0时，不等式ax+b>0的解集为{x|x>-},当a=0，b>0时，不等式ax+b>0的解集为R,当a=0，b≤0时，不等式ax+b>0的解集为，当a<0时，不等式ax+b>0的解集为{x|x<-},综上所述，当a＞0时，不等式ax+2＜0的解集为：{x| x>-}，当a=0，b>0时，不等式ax+b>0的解集为R,当a=0，b≤0时，不等式ax+b>0的解集为，当a＜0时，不等式ax+2＜0的解集为：{x| x<-}。
解关于x的不等式-（a+1）x+a＜0。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，参数分类讨论的原则与基本方法，结合问题条件就可求出一元二次不等式-（a+1）x+a＜0的解集。
【详细解答】-（a+1）x+a＜0，（x-a）（x-1）＜0， x-a＞0，或 x-a＜0，①当
x-1＜0， x-1＞0， a＞1时，或1＜x＜a；②当a=1时，；③当a＜1时，或a＜x＜1，综上所述，当a＞1时，不等式-（a+1）x+a＜0的解集为：{x| 1＜x＜a}，当a=1时，不等式-（a+1）x+a＜0的解集为，当a＜1时，不等式-（a+1）x+a＜0的解集为：{x| a＜x＜1}。
4、解关于x的不等式a-2≥2x-ax(aR)。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，参数分类讨论的原则与基本方法，结合问题条件就可求出一元二次不等式不等式a-2≥2x-ax(aR)的解集。
【详细解答】不等式a-2≥2x-ax(aR)，不等式a+（a-2）x-2≥0(aR)，不等式（ax-2）(x+1)≥0(aR)，当a>0时，不等式a-2≥2x-ax(aR)的解集为{x| x≤-1或x≥}，当a=0时，不等式a-2≥2x-ax(aR)的解集为{x| x≤-1}，当-2不等式a-2≥2x-ax(aR)的解集为{x| ≤x≤-1}，当a＜-2时，不等式a-2≥2x-ax(aR)的解集为{x|-1≤x≤}，综上所述，当a>0时，不等式a-2≥2x-ax(aR)的解集为{x| x≤-1或x≥}，当a=0时，不等式a-2≥2x-ax(aR)的解集为{x| x≤-1}，当-2『思考问题1』
（1）【典例1】是求含有参数不等式解集的问题，解答这类问题需要理解不等式和参数的定义，掌握参数分类讨论的法则与基本方法和求解不等式的基本方法；
（2）求解含有参数的一元一次不等式的基本方法是：①根据参数分类讨论的法则与基本方法对参数进行正确的分类；②在①的基础上，由参数的不同取值分别求解不等式；③ 综合得出该一元一次不等式的解集；
（3）求解含参数一元二次不等式的基本方法是：①若二次项系数为常数，考虑分解因式对参数进行分类讨论（比较两根的大小）；当二次三项式不易分解时，可依据判别式符号对参数进行分类讨论（确定一元二次方程解的情况）；②若二次项系数含有参数，则需要考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是一元二次式还是一元一次式；当二次项系数不为零时，仍需对参数可能情况分别求解；③对方程的根进行讨论，确定两根的大小得出解集。
〔练习1〕解答下列问题：
1、解关于x的不等式ax-3>0.。（答案：当a＞0时，不等式ax-3>0的解集为：{x| x>}，当a=0不等式ax-3>0的解集为，当a＜0时，不等式ax-3>0的解集为：{x| x<}。）
2、解关于x的不等式ax+b<0.。（答案：当a＞0时，不等式ax+b＜0的解集为：{x| x<-}，当a=0，b≥0时，不等式ax+b<0的解集为,当a=0，b<0时，不等式ax+b>0的解集为R，当a＜0时，不等式ax+2＜0的解集为：{x| x>-}。
3、求不等式12-ax＞（aR）的解集。（答案：当a＞0时，不等式12-ax＞（aR）的解集为：{x| x<-或x>}，当a=0时，不等式12-ax＞（aR）的解集为{x| x<0或x>0}，当a＜0时，不等式12-ax＞（aR）的解集为：{x| x<或x>-}。）
4、已知f(x)=-3+a（6-a）x+6。
（1）解关于a的不等式f(1)＞0；
（2）若不等式f(x)＞b的解集为（-1,3），求实数a、b的值。（答案：（1）不等式f(1)＞0的解集为{a| 3-2【典例2】解答下列问题：
1、关于x的不等式ax-b＞0的解集为（1，+），则关于x的不等式>0的解集为（ ）
A （-，0）（1，+） B （-1，2） C （1，2） D （-，-1）（2，+）
【解析】
【知识点】①一元一次不等式的定义与性质；②求解一元一次不等式的基本方法；③参数分类讨论的法则和基本方法。
【解题思路】根据一元一次不等式的性质，运用求解一元一次不等式的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法，结合问题条件得到a与b间的关系，从而求出不等式>0的解集就可得出选项。
【详细解答】关于x的不等式ax-b＞0的解集为（1，+），a＞0，且=1，a=b＞0，不等式＞0，＞0（a＞0），不等式＞0（a＞0）的解集为：（-，-1）（2，+），不等式＞0的解集为：（-，-1）（2，+），D正确，选D。
2、不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜},则a，c的值为（ ）
A a=6，c=1 B a=-6，c=-1 C a=1，c=1 D a=-1，c=-6
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法；③一元二次方程根与系数的关系定理及运用。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法和一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件得到关于a，c的方程组，求解方程组求出a，c的值就可得出选项。
【详细解答】不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜},a＜0①, a+c+=0②，
a+c+=0③，联立①②③解得：a=-6，c=-1，B正确，选B。
3、关于x的不等式-（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A （4，5） B （-3，-2）（4，5） C （4，5］ D ［-3，-2）（4，5］
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法；③参数分类讨论的法则和基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法，结合问题条件求出a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】不等式-（a+1）x+a＜0，不等式（x-a)(x-1)<0,当a>1时，不等式-（a+1）x+a＜0的解集为{x|1＜x＜a},关于x的不等式-（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，4如果｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝其中b＞0，求实数a，b的取值范围。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法；③子集的定义与性质；④参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，参数分类讨论的原则与基本方法求出一元二次不等式2a+(2-ab)x-b＞0的解集，运用子集的性质得到关于a，b的不等式组，求解不等式组就可得出实数a，b的取值范围。
【详细解答】①当a=0时，2a+(2-ab)x-b＞0，2x-b)＞0，x＞，一元二次不等式2a+(2-ab)x-b＞0的解集为：（，+），显然｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝不成立；②当a＜0时，2a+(2-ab)x-b＞0，（ax+1）(2x-b) ＞0，一元二次不等式2a+(2-ab)x-b＞0的解集为：（-，）或（，-），显然｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝不成立；③当a＞0时，2a+(2-ab)x-b＞0，（ax+1）(2x-b) ＞0，一元二次不等式2a+(2-ab)x-b＞0的解集为：（-，-）（，+），｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝，-2-，且3，a，0＜b6， 综上所述，如果｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝，则实数a，b的取值范围是：a，0＜b6。
已知关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），试求关于x的不等式b+ax+1＞0的解集。
解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法；③一元二次方程根与系数的关系定理及运用。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法和一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件求出a，b的值，从而就可求出关于x的不等式b+ax+1＞0的解集。
【详细解答】关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），1+a+b=0①，4+2a+b=0②，联立①②解得：a=-3，b=2，不等式b+ax+1＞0不等式2-3x+1＞0，不等式（2x--1)(x-1)>0,解得：x<，或x>1，若关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），则关于x的不等式b+ax+1＞0的解集为{x|x＜，或x>1}。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知含有参数不等式的解集，求参数的值（或取值服务）的问题，解答这类问题需要理解不等式和参数的定义，掌握参数分类讨论的法则与基本方法和求解不等式的基本方法，注意一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式之间的关系；
（2）已知含有参数的一元一次不等式的解集，求参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据不等式的解集确定参数的可能取值；②在①的基础上，由参数的不同取值分别求解不等式，比较所得解集与已知解集是否一致；③ 综合得出参数的值（或取值范围）；
（3）已知含参数一元二次不等式的解集，求参数值（或取值范围）的基本方法是：①若二次项系数为常数，考虑分解因式对参数进行分类讨论（比较两根的大小）；当二次三项式不易分解时，可依据判别式符号对参数进行分类讨论（确定一元二次方程解的情况），从而求出参数值（或取值范围）；②若二次项系数含有参数，则需要考虑二次项系数是否为零，确定不等式是一元二次式还是一元一次式；当二次项系数不为零时，仍需对参数可能情况分别求解；③对方程的根进行讨论，确定两根的大小求出参数值（或取值范围）。
〔练习2〕解答下列问题：
1、不等式组（x-2）（x-5）≤0，与不等式（x-2）（x-5）≤0同解，则实数a的取值范围是（ ） x（x-a）≥0（答案：A）
A （-，2］ B （-，2） C （-，5］ D （5，+）
2、已知一元二次不等式a+bx+1＞0的解集为｛x|-1＜x＜｝，则ab的值为（ ）
A -6 B -5 C 6 D 5 （答案：C）
3、设aR，函数f(x)=a-2x-2a，若不等式f(x)＞0的解集为A，集合B=｛x|1＜x＜3｝,
且A∩B=，求实数a的取值范围。（答案：若不等式f(x)＞0的解集为A，集合B=｛x|1＜x＜3｝,且A∩B，则实数a的取值范围是（-，-2）（，+）。）
【典例3】解答下列问题：
1、若不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x R恒成立，则实数a的取值集合为（ ）
A {a|a≤2} B {a|-2＜a＜2} C {a|-2＜a≤2} D {a|a≤-2}
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式组，求解不等式求出实数a的取值集合就可得出选项。
【详细解答】不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x R恒成立， a-2＜0①，且
=4+16（a-2）=4（a-2）（a+2）＜0②，联立①②解得：-2＜a＜2，若不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x R恒成立，则实数a的取值集合为：{a|-2＜a＜2}，B
正确，选B。
2、若一元二次不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A （-3，0］ B ［-3，0） C ［-3，0］ D （-3， 0）
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于参数k的不等式组，求解不等式组求出实数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】一元二次不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立， 2k＜0①，且
=+3k=k（k+3）＜0②，联立①②解得：-3＜k＜0，若一元二次不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（-3， 0），D正确，选D。
若不等式2x-1＞m(-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为 。
【解析】
【知识点】①一元一次函数的定义与性质；②一元二次不等式的定义与性质，③求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元一次函数的性质，结合问题条件得到关于x的一元二次不等式组，运用一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法求解不等式组就可求出x的 取值范围。
【详细解答】不等式2x-1＞m(-1)， (-1)m-（2x-1）＜0，设f(m)= (-1)m-（2x-1）， f(m)对满足-2≤m≤2的所有m都成立， f(-2)=-2-2x+3＜0①，且f(2)=2-2x-1＜0②，联立①②解得：＜x＜，若不等式2x-1＞m(-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为（，）。
设函数f(x)=m-mx-1，若对于x［1，3］，f(x) ＜-m+5恒成立，求m的取值范围；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】 f(x)=m-mx-1，f(x) ＜-m+5，（-x+1）m＜6， x［1，3］，
1≤-x+1≤7，（-x+1）m＜6， m＜，当x［1，3］时，≤≤6， m＜，即若对于x［1，3］，f(x) ＜-m+5恒成立，则m的取值范围（-，）。
5、对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，求x的取值范围。
【解析】
【知识点】①一元一次函数的定义与性质；②一元二次不等式的定义与性质；③求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元一次函数的性质，结合问题条件得到关于x的一元二次不等式组，运用一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法求解不等式组就可求出x的 取值范围。
【详细解答】对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，
对任意m［-1，1］，(x-2)m+-4x+4＞0恒成立，设f(m)= (x-2)m+-4x+4， f(m) ＞0对对任意m［-1，1］恒成立， f(-1)=-5x+6＞0①，且f(1)=-3x+2＞0②，联立①②解得：x＜1或x＞3，若对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，则x的取值范围是（-，1）（3，+）。
6、已知不等式m-2x-m+1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③求解一元二次不等式的基本方法； ④参数分类讨论的法则与基本方法；⑤求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数和一元二次不等式的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，参数分类讨论的法则与基本方法和求解探索性问题的基本方法，结合问题条件就可得出结论，并求出m的 取值范围。
【详细解答】设存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立，当m=0时，不等式m-2x-m+1＜0，不等式-2x+1＜0，解得：x>，与题意不符；当m0时，不等式m-2x-m+1＜0对所有实数x恒成立，m<0①，=4-4m（-m+1）=4（-m+1）<0②,联立①②解得：m，综上所述，不存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立。
『思考问题3』
（1）【典例3】是不等式恒成立（任意性）的问题，解答这类问题需要弄清楚谁是主元，谁是参数（一般地知道谁的范围，谁就是主元；求谁的范围，谁就是参数）；
（2）对于不等式恒成立问题，若是恒大于零，表明相应的函数的图像在给定的区间上全部在x轴的上方；若是恒小于零，表明相应的函数的图像在给定的区间上全部在x轴的下方；解答这类问题的基本思路是转化为求一元二次函数的最值问题（或把参数分离，再求函数的最值）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、不等式（m-2）+2（m-2）x-4＜0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是 。（答案：若不等式（m-2）+2（m-2）x-4＜0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是（-2，2]。）
2、已知函数f(x)= ，若任意的x［1，+），f(x) ＞0恒成立，则实数a的取值范围是 。（答案：若任意的x［1，+），f(x) ＞0恒成立，则实数a的取值范围是（1，+）。）
3、函数f(x)= 的定义域是R，则实数a的取值范围是 。（答案：若函数f(x)= 的定义域是R，则实数a的取值范围是,[0，）。）
4、已知函数f(x)= +mx-1，若对于任意的x［m，m+1］,都有f(x) ＜0成立，则实数m的取值范围是 。（答案：若对于任意的x［m，m+1］,都有f(x) ＜0成立，则实数m的取值范围是[-，-]。）
5、已知关于x的不等式-ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 。（答案：若关于x的不等式-ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（0，8）。）
【典例4】解答下列问题：
1、关于x的不等式-2ax-8＜0(a＞0)的解集为（，），且-=15，则a=（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次方程和一元二次不等式的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件求出a的值就可得出选项。
【详细解答】关于x的不等式-2ax-8＜0(a＞0)的解集为（，），且-=15， f()=-2a-8=0①，且f(+15)=+（30-2a）-8-30a+225=0②，联立①②解得：a=，或a=-，a＞0，a=，A正确，选A。
不等式+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】不等式+ax+4＜0的解集不是空集，=-16＞0，a＜-4或a＞4，若不等式+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（-，-4）（4，+）。
3、设aR，函数f(x)=a-2x-2a，若不等式f(x)＞0的解集为A，集合B=｛x|1＜x＜3｝,
且A∩B，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③交集定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次方程，一元二次不等式和交集的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】不等式f(x)＞0的解集为A，集合B=｛x|1＜x＜3｝,且A∩B，f(1)f(3)
=-（a+2）（7a-6）<0，解得：a<-2，或a>，若不等式f(x)＞0的解集为A，集合B=｛x|1＜x＜3｝,且A∩B，则实数a的取值范围是（-，-2）（，+）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是不等式能成立（存在性）的问题，解答这类问题需要弄清楚不等式能成立是指不等式的解集非空，然后结合问题条件实施解答；
（2）对不等式能成立（存在性）的问题，解答的基本方法是将问题等价转化为不等式有解应该具有的条件，在次基础上对问题实施解答。
〔练习4〕解答下列问题：
1、对任意x［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求a的取值范围。（答案：若对任意x［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，则实数a的取值范围是［6，+）。）
2、对任意a［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围。（答案：若对任意a［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，则x的取值范围是（-，1）（3，+）。）
3、已知函数f（x）=|x+1|-|ax-1|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x（0，1）时，不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围。（答案：（1）当a=1时，不等式f（x）＞1的解集为（，+）；（2）若x（0，1）时，不等式f（x）＞x成立，则实数a的取值范围是（2，+）。）
【典例5】解答下列问题：
1、在关于x的不等式-ax-a＞0（其中e=2.71828----为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围为（ ）
A (，］ B ［，） C (，］ D ［，）
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次方程和一元二次不等式的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设g(x)=ax+a，不等式-ax-a＞0，不等式>ax+a，关于x的不等式-ax-a＞0（其中e=2.71828----为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个正整数，g(2)=2a+a=3a<4①，g(3)=3a+a=4a≥9②，联立①②解得：≤a<，若关于x的不等式-ax-a＞0（其中e=2.71828----为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围为［，），D正确，选D。
2、已知函数f（x）=-2x+2。
（1）求不等式f（x）＞10的解集；
（2）若不等式f（x）＞2+ax+b的解集是（-2，3），求实数a，b的值。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据一元二次不等式的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件就可求出不等式f（x）＞10的解集；（2）根据一元二次不等式和一元二次方程的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件就可求出实数a，b的值。
【详细解答】（1）函数f（x）=-2x+2，不等式不等式f（x）＞10，不等式-2x-8>0，不等式（x+2）（x-4）>0，解得：x<-2，或x>4，不等式f（x）＞10的解集为｛x|x<-2或x>4｝；（2）不等式f（x）＞2+ax+b，不等式+ax+b-2<0的解集是（-2，3），4-2a+b-2=0①，9+3a+b-2=0②，联立①②解得：a=-1,b=-4，若不等式f（x）＞2+ax+b的解集是（-2，3），则,实数a=-1，b=-4。
『思考问题5』
（1）【典例5】是不等式恰成立的问题，解答这类问题需要弄清楚不等式恰成立是指不等式的解集就是问题条件中给定的区间，然后结合问题条件实施解答；
（2）对不等式恰能成立的问题，解答的基本方法是将问题等价转化为已知含有次数不等式的解集，求参数的值（或取值范围）的问题，在次基础上对问题实施解答。
〔练习5〕解答下列问题：
1、关于x的不等式-（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）（答案：D)
A （4，5） B （-3，-2）（4，5） C （4，5］ D (-3，-2][4，5）
2、已知函数f(x)= +ax+b(a，b∈R)的值域为〔0，+∞），若关于x的不等式f(x)＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 .（答案：若关于x的不等式f(x)＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9。）
【典例6】解答下列问题：
已知适合不等式|-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，求p的值。
【解析】
【知识点】①绝对值不等式的定义与性质，②求解绝对值不等式的基本方法。
【解题思路】根据绝对值不等式的性质，结合问题条件得到不等式|-4x+p|+|x-3|≤5，
|-4x+p|+3-x≤5，分别对-4x+p＜0或-4x+p≥0去掉绝对值符号转化为关于x的一元二次不等式，运用求解一元二次不等式的基本方法求出不等式的解集就可得出p的值。
【详细解答】适合不等式|-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，不等式|-4x+p|+|x-3|≤5，|-4x+p|+3-x≤5，①当-4x+p＜0时，|-4x+p|+3-x≤5，-3x+2+p≥0，显然+3x+2+p≥0的解集不可能为x的最大值是3；②当-4x+p≥0时，|-4x+p|+3-x≤5，-5x+p-2≤0，设不等式-5x+p-2≤0，（x-c）（x-3）≤0，
(c＜3），3+c=5，3c=p-2，c=2，p=8，综上所述，若适合不等式|-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，则p的值为8。
若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①绝对值不等式定义与性质，②零点分段法求解绝对值不等式的基本方法。
【解题思路】根据绝对值不等式的性质，结合问题条件确定绝对值的零点，运用零点分段法求解绝对值不等式的基本方法求出绝对值不等式含参数a的解集，利用解集不是空集的条件得到关于参数a不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】①当x＜3时，|x-4|+|x-3|＜a，7-2x＜a，x＞，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集不是空集，＜3，a＞1；②当3≤x＜4时，|x-4|+|x-3|＜a，1＜a，a＞1；③当x≥4时，|x-4|+|x-3|＜a，2x-7＜a， x＜，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集不是空集，＞4，a＞1，综上所述，若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（1，+）。
3、求不等式|ax-1|＜x（a＞0）的解集。
【解析】
【知识点】①绝对值不等式定义与性质，②求解绝对值不等式的基本方法。
【解题思路】根据绝对值不等式的性质，运用求解绝对值不等式的基本方法,结合问题条件就可求出不等式|ax-1|＜x（a＞0）的解集。
【详细解答】当x＜0时，不等式|ax-1|＜x恒成立，不等式|ax-1|＜x（a＞0）的解集为{x|x<0}；当x≥0时，不等式|ax-1|＜x，不等式-x0，且（a-1）x-1<0，若0}，若a=1，解得：不等式|ax-1|＜x的解集为{x|x>}，若a>1，解得：不等式|ax-1|＜x的解集为{x|}；当a=1时，不等式|ax-1|＜x的解集为{x|x>}；
当a>1时，不等式|ax-1|＜x的解集为{x|4、求不等式＜0（aR）的解集。
【解析】
【知识点】①分式不等式的定义与性质，②求解分式不等式的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据分式不等式的性质和求解分式不等式的基本方法，运用参数分类讨论的原则与基本方法就可求出不等式＜0（aR）的解集。
【详细解答】＜0， (x-a) (x-) ＜0，①当a＜即a＜0或a＞1时，a＜x＜；②当a=即a=0或a=1时，x=；③当a＞即0＜a＜1时，＜x＜a，综上所述，当a＜0或a＞1时，不等式＜0的解集为：{x| a＜x＜ }；②当a=0或a=1时，不等式＜0的解集为：；当0＜a＜1时，不等式＜0的解集为：{x| ＜x＜a }。
5、已知关于x的不等式＜0的解集是M。
（1）当a=4时求M；
（2）若3M，5M，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①分式不等式的定义与性质，②求解分式不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据分式不等式的性质和求解分式不等式的基本方法，结合问题条件求出不等式＜0（aR）的解集就可得出M；（2）根据问题条件得到关于a的不等式组，运用分式不等式的性质和求解分式不等式的基本方法求出不等式组的解集就可得出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=4时，＜0，＜0， (x+2) (x-2) (4x-5)＜0， x＜-2或＜x＜2，当a=4时，＜0的解集为：{x| x＜-2或＜x＜2}，即：
M={x| x＜-2或＜x＜2}；（2）3M，5M，＜0①，且＜0②，联立①②解得：a＜1或a＞25，若3M，5M，则实数a的取值范围为（-，1）（25，+）。
『思考问题6』
（1）【典例6】是含有绝对值（或分式）不等式中的参数问题，解答这类问题需要理解绝对值和分式的定义，掌握求解绝对值不等式和分式不等式的基本方法；
（2）解答绝对值不等式的核心是消除绝对值符号，需要根据绝对值的意义（或分段）来进行；解答分式不等式核心是将分式不等式问题等价转化为整式不等式问题，然后运用求解整式不等式问题的基本方法实施解答。
〔练习6〕解答下列问题：
1、若不等式|x-1|+|x-2|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围。（答案：若不等式|x-1|+|x-2|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（1，+）。）
2、解关于x的不等式＞1（a1）（答案：当a＞1时，不等式＞1（a1）的解集为（，2）（2，+）；当a<1时，（-，）。）
【雷区警示】
【典例7】解答下列问题：
1、若（m+1）-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A m>1 B m<-1 C m<- D m>1 或 m<-
【解析】
【考点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③一元二次方程定义与性质；④一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式之间的关系及运用。
【解题思路】根据一元二次不等式，一元二次函数和一元二次方程的性质，运用一元二次函
数，一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，结合问题条件得到关于m的不等式组，求解不等式组求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】当m+1=0，即m=-1时，（m+1）-(m-1)x+3(m-1)<0，2x-6<0，x<3与题意不符；当m+10，即m-1时，（m+1）-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立，m+1<0①，=-12（m+1）（m-1）②，联立①②解得： m<- ，综上所述，若（m+1）-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是 m<- ，C正确，选C。
2、求不等式-（a+）x+>0的解集。
【解析】
【考点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③一元二次方程定义与性质；④一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式之间的关系及运用；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式，一元二次函数和一元二次方程的性质，运用一元二次函
数，一元二次方程和一元二次不等式之间的关系与参数分类讨论的原则和基本方法，结合问题条件就可求出不等式的解集。
【详细解答】-（a+）x+>0，（x-a）（x-）>0，当a<，即a<0或a>1时，
不等式-（a+）x+>0的解集为x；当a=，即a=0或a=1时，不等式-（a+）x+>0的解集为x<,0或x<1或,x>0或x>1；当a>，即0-（a+）x+>0的解集为x<或x>a，综上所述，当a<0或a>1时，不等式-（a+）x+>0的解集为x；当a=0时，不等式-（a+）x+>0的解集为x<0或x>0；当a=1时，不等式-（a+）x+>0的解集为x<1或x>1；当00的解集为x<或x>a。
『思考问题7』
【典例7】是解答不等式中参数问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视一元二次不等式中二次项系数的取值，导致解答问题出现错误；②求解含义参数一元二次不等式时，忽视参数分类讨论的原则和基本方法，导致解答问题出现错误；
解答一元二次不等式问题时，为避免忽视一元二次不等式中二次项系数的取值的雷区，需要注意二次项系数的取值对一元二次函数图像的影响，从而正确求出不等式中参数的值（或取值范围）；
解答一元二次不等式问题时，为避免求解含义参数一元二次不等式时，忽视参数分类讨论的原则和基本方法的雷区，需要对相应一元二次方程求出的两根的大小分类讨论，从而正确求出含义参数一元二次不等式的解集。
〔练习7〕解答下列问题：
1、求不等式a-（a+1)x+1<0的解集。（答案：当a=0时，不等式a-（a+1)x+1<0的解集为x>1；当a<0时，不等式a-（a+1)x+1<0的解集为x<或x>1；当01时，不等式a-（a+1)x+1<0的解集为2、求不等式2+ax+2>0的解集。（答案：当-40的解集为R；当a=-4时，不等式2+ax+2>0的解集为x<1或x>1；当a=4时，不等式2+ax+2>0的解集为x<-1或x>-1；当a<-4或a>4时，不等式2+ax+2>0的解集为x<（-a-）或x>（-a+）。）
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、（多选）关于x的不等式（ax-1）lnx<0的解集可能为（ ）（成都市2024-2025学年度高一上期期末调研考试）
A （，1） B （1，） C （0，1） D （1，+）
【解析】
【考点】①对数函数定义与性质；②不等式定义与性质；③参数分类讨论的法则和基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据对数函数和不等式的性质，运用参数分类讨论的法则与基本方法和求解不等式的基本方法，结合问题条件求出不等式（ax-1）lnx<0的解集就可得出选项。
【详细解答】当a>0时，不等式（ax-1）lnx<0，ax-1>0，且lnx<0，或ax-1<0，且lnx>0，若<1，即a>1时，解之得：1，即01；
当a<0时，不等式（ax-1）lnx<0，ax-1>0，且lnx<0，或ax-1<0，且lnx>0，解之得：x>1，综上所述，关于x的不等式（ax-1）lnx<0的解集可能为（，1）， （1，），（1，+），A ，B，D正确，选A ，B，D。
2、已知函数f(x)=-+1，对任意，[1，+），若|f（）=f（），恒有=，则实数a的取值范围为 。（成都市2024-2025学年度高一上期期末名校联盟考试）
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③复合函数定义与性质；④数学换元法及运用；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据指数，复合函数和一元二次函数的性质，运用数学换元法和参数分类讨论的原则与基本方法，结合问题条件就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】当设t=，x[2，+），t[1，+），函数f(x)=-+1，函数f(t)=-t+1，函数t=在区间[1，+）上单调递增，函数f(t)在区间（-，）上单调递减，在区间[，+）上单调递增，对任意，[1，+），若|f（）=f（），恒有=，函数f(x)在区间（-，）上单调递减，在区间[，+）上单调递增，≤2，解之得：a≤2，对任意，[1，+），若|f（）=f（），恒有=，则实数a的取值范围为（-，2]
3、已知函数f(x)=+kx+2，x≤0，若关于x的不等式f(x)≤k的解集为[m，n][a，b]，
|lnx|，x>0，且nA （，） B （，） C （，） D （，）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④不等式解集定义与性质；⑤求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，对数函数，一元二次函数和不等式解集的性质，运用求解不等
式的基本方法，结合问题条件求出实数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=+kx+2=+，当k>0时，函数f(x)的图像如图所示，由图可知，若=2-k，ab=1，mn+ab-k=2-k+1<，解之得：0，即04、若两个正实数x，y满足4x+y-xy=0，且不等式xy≥-6m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）（成都市2023-2024学年度高一上期期末调研考试）
A [-2，8] B （-2，8] C [-2，6] D （-2，6）
【解析】
【考点】①基本不等式及运用；②数学换元法及运用；③不等式恒成立定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据基本不等式和不等式恒成立的性质，运用数学换元法，结合问题条件求出xy的最小值，从而得到关于m的一元二次不等式，利用求解一元二次不等式的基本方法求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设t=，t（1，+），两个正实数x，y满足4x+y-xy=0，4-xy≤0，4t-≤0,4t≥4，xy=≥16，不等式xy≥-6m恒成立，-6m≤16，-2≤m≤8，若两个正实数x，y满足4x+y-xy=0，且不等式xy≥-6m恒成立，则实数m的取值范围是 [-2，8] ，A正确，选A。
定义在R上函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x[0,2）时，f(x)=2-|x-1|，则使得f(x)≤在[m，+）上恒成立的m的最小值是 。（成都市2023-2024学年度高一上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①函数值域定义与性质；②绝对值定义与性质；③求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据函数值域和绝对值的性质，运用求函数值域的基本方法，结合问题条件得到关于m的不等式，求解不等式求出m的取值范围就可求出m的最小值。
【详细解答】如图，当x[0,2）时，f(x)=2 y
-|x-1|，当x[0,2）时，函数f(x)的值域为[1， 2
2]，当x[2,4）时，x-2[0,2），定义在R上
函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x[2,4）时， 1
函数f(x)的值域为[，1]，当x[4,6）时，x
-4[0,2），定义在R上函数f(x)满足f(x+2)= 0 1 2 3 4 x
f(x)，当x[2,4）时，函数f(x)的值域为[，]，当x[2n,2n+2）（nN）时，x-2n[0,2），定义在R上函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x[2n,2n+2）时，函数f(x)的值域为[，]，≤，解之得：n≥4，当x≥8时，f(x)≤在[8，+）上恒成立，f(x)≤在[m，+）上恒成立，≤2，[m，+）[8，+），若f(x)≤在[m，+）上恒成立，则m的取值范围为[8，+），m的最小值是8。
6、若函数f(x)= -a，x<2，恰有四个零点，则实数a的取值范围是 。
（x-a）（x-2a），x≥2，（成都市2023-2024学年度高一上期期末名校联盟考试）
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③函数零点定义与性质；④确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数，指数函数和函数零点的性质，运用确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)恰有四个零点，函数f(x)= （x-a）（x-2a）在区间[2，+）上有两个零点，函数f(x)=-a在区间（-，2）上有两个零点，a≥2①，1『思考问题8』
（1）【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试，名校联盟考试）试卷中关于不等式中的参数问题，归结起来主要包括：①求解含有参数的不等式问题；②已知含有参数不等式的解集，求参数的值（或取值范围）的问题；③不等式恒成立（任意性）的问题；④不等式能成立（存在性）的问题；⑤不等式恰成立的问题；⑥含有绝对值（或分式）不等式中的参数问题等几种类型。
（2）解答问题的基本方法是：①判断问题属于哪一种类型；②根据该种类型问题的解题思路和解答方法对问题实施解答；③得出问题解答的结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、已知一元二次方程+mx+1=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，则实数m的取值范围是（ ）（成都市2022-2023学年度高一上期期末调研考试）（答案：D）
A （-，-2][2，+） B （-，-2）（2，+） C （-，-2] D（-，-2）
2、（多选）已知函数 f(x)=x，x（0，1），若函数g(x)= f(x)-m恰有两个零点，则
-+4x-3，x[1，+），实数m不可能是（ ） （成都市202
2-2023学年度高一上期期末调研考试）（答案：A，B，D）
A -2 B -1 C 0 D 1
3、已知命题“xR，+2ax-3a>0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2022-2023学年度高一上期期末名校联盟考试）（答案：B）
A [-3，0] B （-3，0） C [-12，0] D （-12，0）
4、设a>1，函数f(x)=（-2-2），则使f(x)>0的x的取值范围是（ ）（成都市2022-2023学年度高一上期期末名校联盟考试）（答案：D）
A （-，0） B （0，+） C （-，3） D （3，+）,

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