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河北省保定市定州中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题
注意事项：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数z对应的点为，则的虚部是（　　）
A. B.
C. D.
3. 顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（　　）
A. B. C. 1 D. 2
5. 小李是一名健身运动爱好者，如图所示的统计图记录了他过去一个月（30天）每天花在健身运动上的时间（单位：分钟），记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（　　）
A. NB. PC. MD. M6. 已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
8. 已知两平行平面α与β之间的距离为3，过平面α与β之间的一点O作两条直线与m，其中，m与α所成角为．以为轴将m旋转一周，并用α，β截取得到两个同顶点O的圆锥，设这两个圆锥的体积分别为、，则的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 若双曲线C的两条渐近线的方程为，则（ ）
A. C的离心率为
B. C的焦点在x轴上
C. 若C上的点到两渐近线距离之和的最小值为4，则C的实轴长为
D. 若双曲线绕原点沿逆时针方向旋转后恰好得到C，则C的方程为
11. 已知定义在R上的函数满足：，，且，则（ ）
A.
B. 可能是偶函数
C. 的图象不可能关于点对称
D. 若，，则在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若向量，，且，则___________．
13. 已知点是圆上的两个动点，为原点，点共线，点为的中点，则点的轨迹长度为___________．
14. 已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求;
（2）设函数，求的值域和单调区间．
16. 如图，在四面体ABCD中，与都是等边三角形，
（1）求证：；
（2）若E为AD的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 已知椭圆E的左、右焦点分别为且椭圆E的离心率为
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线过点，且与椭圆E交于点A，B，求证：是定值.
18. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围.
19. 2024年10月16日，为纪念我国第一颗原子弹爆炸60周年，某中学高三年级举行“两弹一星”知识挑战赛，全年级共1000名学生，其中高三（1）班有名学生.挑战赛分为初赛和决赛，都是以班级为单位，初赛每名学生都参加，每名学生只有1次答题机会，全班答对人数超过进入决赛；决赛按照班级学号从小到大依次答题，若答对，则下一个人答题，直到有人答错或班级所有人答完，此班结束比赛.
（1）学校根据初赛中学生答题情况绘制了如下列联表，完成表中数据，并根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生答对题目与选科类型有关联？
选科类型 答对 答错 总计
物理类学生 350
历史类学生 50 300
总计 1000
（2）已知高三（1）班在初赛中每个学生答对的概率均为，各人是否答对相互独立，若初赛中高三（1）班恰有人答对的概率记为，求证：当取得最大值时，；
（3）若高三（1）班进入决赛，且决赛中每个学生答错的概率均为，各人是否答对相互独立，记决赛中高三（1）班答题的人数为，求证：.
附：，其中.
0.01 0.005 0.001
6.635 7879 10.828
参考答案
1-8
【答案】B
【答案】D
【答案】C
【答案】A
【答案】D
【答案】C
【答案】C
【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【小问1】
由题意，所以；
【小问2】
由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
16.【小问1】
取AC的中点O，连接，
因为与都是等边三角形，O为AC的中点，所以，，
又，平面，所以平面，
又平面，故．
【小问2】
因为与都是等边三角形，为的中点，所以，
又，所以，即．
又，所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，得，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，即平面一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
17.【小问1】
由，得，即，
又椭圆的离心率为，所以，即，所以，
所以椭圆的方程为．
【小问2】
设点，
当直线的斜率不存在时，，所以
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由消去，得．
所以．
，同理，
所以．
综上所述，（定值）.
18.【小问1】
，
由题意得，即解得，
故此时
∴，
令，
则
当时，，当时,，
故在单调递减，在单调递增，
所以，即在恒成立，
∴在单调递增，递增区间为，无减区间.
【小问2】
依题意有，则，
由（1）知当时的最小值为0，
故恒成立，
①当时，，
则
因此成立.
②当时,,
令,则.
当时,则即在上单调递减,
所以,所以在上单调递减，
故当时，，不符题意.
综上：的取值范围是.
19.【小问1】
列联表如下：
选科类型 答对 答错 总计
物理类学生 350 350 700
历史类学生 250 50 300
总计 600 400 1000
零假设为：学生是否答对题目与选科类型无关联，
由表中的数据，得.
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以能够认为学生是否答对题目与选科类型有关联.
【小问2】
证明：高三（1）班恰有人答对的概率为，
则
因为，令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当取得最大值时，.
【小问3】
证明：由题意可得的可能取值有，
则，且，
所以①，
②，
①-②，得，
所以
，
因为，所以.
所以.

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