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第17讲　复数的概念与四则运算
1.B　复数i的实部和虚部分别是0,1.故选B.
2.C　3.C
4.A　|1-i|==.故选A.
5.B　根据复数运算可知z1-z2=-3+i,在复平面内对应的点的坐标为(-3,1),位于第二象限.故选B.
6.A　因为2(x-1)+xi为纯虚数,
所以解得x=1.故选A.
7.C　z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i.故选C.
8.C　因为zi=2-3i,
所以z====-3-2i.故选C.
9.C　S=π·32-π·12=8π.故选C.
10.D　因为z=2+i,则=2-i,-i=2-2i,
所以 z(-i)=(2+i)(2-2i)=4-2i2-2i=6-2i.故选D.
11.A　z===,
因为复数z=的实部与虚部相等,
所以2a+1=a-2,解得a=-3,
故实数a的值为-3.故选A.
12.D　设z=m+ni(m,n∈R,且n≠0),
代入方程得m2-n2-4m+a+(2mn-4n)i=0,
所以解得
因为|z|==,所以n2=1,a=5.故选D.
13.AD　对于A,由虚数的运算性质,可得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,故A正确;
对于B,虚数不能比较大小,故B不正确;
对于C,当z=i时,|z|2=1,z2=-1,此时|z|2≠z2,故C不正确;
对于D,根据复数的概念,可得复数-2-i的虚部为-1,故D正确.故选AD.
14.ABD　设z1=x+yi(x,y∈R),z2=a+bi(a,b∈R),
则=x-yi,
对于A,z1+=2x∈R,故A正确;
对于B,|z1|=,||=,
所以 ||=|z1|,故B正确;
对于C,当z1=3+4i,z2=5时,|z1|=|z2|=5,
但是z1≠±z2,故C错误;
对于D,z2=(a+bi)(x-yi)=(ax+by)+(bx-ay)i,
|z2|==,
z2z1=(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(bx+ay)i,
|z2z1|==,所以|z2|=|z2z1|,故D正确.
故选ABD.
15.ACD　A选项,由复数z对应的点为(-1,2),得z=-1+2i,所以z+=-1+2i-1-2i=-2,
故A正确;
B选项,z2=(-1+2i)2=1-4i+4i2=-3-4i,故B错误;
C选项,z=(-1+2i)(-1-2i)=5,故C正确;
D选项,==-+i,故D正确.故选ACD.
16.解析:因为复数z=-1+2i,所以z的实部为-1,共轭复数为=-1-2i.
答案:-1　-1-2i
17.解析:由题意可知,将2+i代入方程x2-4x+c=0可得(2+i)2-4×(2+i)+c=0,
即4+4i-3-8-4i+c=0,
又因为c∈R,可得c=7.
答案:7
18.解析:因为(x2+2x+2m)+(-x-1)i=0,所以解得m=.
答案:
19.解析:Z的轨迹是以(0,3)为圆心,1为半径的圆,|z-2|表示圆上的点到(2,0)的距离,范围为[-1,+1].
答案:[-1,+1]
20.解:(1)由题意得z1+z2=a2+2a-3+(a2+a-6)i,因为z1+z2是纯虚数,所以解得a=1.
(2)因为z1+z2>0,所以解得a=2.
故|z1|=|4-4i|=4.
21.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),
所以z+2i=a+(b+2)i∈R,所以b=-2,
所以==∈R,
所以=0,解得a=4,
所以z=4-2i,所以=4+2i.
(2)因为m为实数,(z+mi)2=(12+4m-m2)+8(m-2)i,
所以解得-2所以m的取值范围是(-2,2).
22.解:(1)对于方程z2+z+1=0,Δ=1-4<0,所以方程z2+z+1=0有两个不等的虚根,因为复数z1,z2是方程z2+z+1=0的解,由根与系数的关系可得z1z2=1,z1+z2=-1,因此,+==-1.
(2)由z2+z+1=(z+)2+=0可得z=-±i,因为复平面内表示z1的点在第三象限,则z1=--i,所以z1·(a+i)=-(+i)(a+i)=(-)-(+a)i为纯虚数,且a∈R,所以解得a=.(共26张PPT)
第17讲　复数的概念与四则运算
1.复数的概念
(1)定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类
项目 满足条件(a,b∈R)
复数的
分类 a+bi为实数 b=0
a+bi为虚数 b≠0
a+bi为纯虚数 a=0,且b≠0
2.复数的几何意义
3.复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
(1)z1±z2=a±c+(b±d)i;
(2)z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;
复数加、减法的几何意义
注意
4.复数相等与共轭复数
复数相等:a+bi=c+di a=c,且b=d(a,b,c,d∈R).
共轭复数:a+bi与c+di共轭 a=c,且b=-d(a,b,c,d∈R).
考点一　复数的有关概念
[例1] (1)b≠0是复数a+bi(a,b∈R)为虚数的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析:(1)b≠0时,a+bi(a,b∈R)是虚数,若a+bi(a,b∈R)是虚数,则b≠0,所以b≠0是复数a+bi(a,b∈R)为虚数的充要条件.故选C.
(2)复数z=i在复平面内对应的点的坐标为(　　)
A.(0,1) B.(1,0)
C.(0,-1) D.(-1,0)
√
解析:(2)复数z=i在复平面内对应的点的坐标为(0,1).故选A.
√
(4)(2022·浙江7月学考)复数2-i(i为虚数单位)的实部是(　　)
A.1 B.-1
C.2 D.-2
√
解析:(4)根据复数的实部与虚部的概念,得复数2-i的实部是2.故选C.
(5)(多选题)下列关于复数的说法,正确的是(　　)
A.1-i的虚部为1
B.|1-i|=2
C.(1-i)2是纯虚数
D.1-i在复平面内对应的点位于第四象限
√
√
(6)已知(x+y-3)+(x-4)i=0(x,y∈R),则x和y 的值分别为　　　.
4,-1
(7)已知a为实数,若复数z=(a2-3a-4)+(a-4)i为纯虚数,则a=　　.
-1
总结提醒
(1)复数的分类、复数相等及复数对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
考点二　复数的运算
[例2] (1)(2024·浙江7月学考)(1+i)(1-i)等于(　　)
A.-i B.i
C.0 D.2
√
√
(3)已知2i-3是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,其中p,q∈R,则p+q=　　　　.
19
总结提醒
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.
(2)记住以下结论,可提高运算速度
考点三　复数的几何意义
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
√
(2)(2023·浙江7月学考)复数z=i(2+i)在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
解析:(2)z=i(2+i)=-1+2i,故对应的点为(-1,2),位于第二象限.故选B.
(3)已知|z+1-2i|=1,则|z|的最大值为　　　　.
总结提醒
因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的起点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可.第17讲　复数的概念与四则运算
一、单选题
1.复数i的实部和虚部分别是(　　)
A.0,0 B.0,1 C.1,1 D.1,0
2.复数z=1-2i的虚部为(　　)
A.1 B.2 C.-2 D.-2i
3.设z=-5+2i,则等于(　　)
A.5-2i B.5+2i
C.-5-2i D.-5+2i
4.复数|1-i|等于(　　)
A. B. C. D.
5.设复数z1=-2+3i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应的点所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.若复数2(x-1)+xi为纯虚数,则实数x的值为(　　)
A.1 B.0
C.-1 D.-1或1
7.若z=i+2i2+3i3,则z等于(　　)
A.-2+2i B.2-2i
C.-2-2i D.2+2i
8.若复数z满足zi=2-3i,则复数z对应点所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.设z∈C,则满足1≤|z|≤3的复数在复平面上的对应点构成图形的面积为(　　)
A.π B.4π C.8π D.9π
10.已知z=2+i,则z(-i)等于(　　)
A.2-i B.1+2i
C.-6+2i D.6-2i
11.若复数z=的实部与虚部相等,则实数a的值为(　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
12.已知虚数z是关于x的方程x2-4x+a=0(a∈R)的一个根,且|z|=,则a等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.5
二、多选题
13.已知i为虚数单位,则下列结论中正确的是(　　)
A.i+i2+i3+i4=0
B.3+i>1+i
C.若复数z为纯虚数,则|z|2=z2
D.复数-2-i的虚部为-1
14.已知复数z1,z2,为z1的共轭复数,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.z1+为实数
B.||=|z1|
C.若|z1|=|z2|,则z1=±z2
D.|z2|=|z2z1|
15.在复平面内,复数z对应的点为(-1,2),则(　　)
A.z+=-2 B.z2=5
C.z=5 D.=-+i
三、填空题
16.复数z=-1+2i,则z的实部为　　　　,=　　　　　　.
17.关于x的方程x2-4x+c=0(c∈R)在复数范围内有一根为2+i,则c=　　　　.
18.i为虚数单位,若关于x的方程x2+(2-i)x+2m-i=0有实根,则实数m=　　　　.
19.已知复数z满足|z+3i|=1,则|z-2|的取值范围为　　　　　　　　　　　.
四、解答题
20.已知复数z1=a2+(a-6)i,z2=2a-3+a2i,a∈R.
(1)若z1+z2是纯虚数,求a;
(2)若z1+z2>0,求|z1|.
21.已知复数z使得z+2i∈R,∈R,其中i是虚数单位.
(1)求复数z的共轭复数;
(2)若复数(z+mi)2在复平面上对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.
22.已知复数z1,z2是方程z2+z+1=0的解.
(1)求+的值;
(2)若复平面内表示z1的点在第三象限,z1·(a+i)为纯虚数,其中a∈R,求a的值.
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