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第二十二章二次函数课后培优提升训练人教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．二次函数y＝x2﹣2x﹣1图象的顶点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
3．函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
4．已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
5．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点M（m﹣1，n）、N（﹣m﹣3，n）、P（1，p）．若p＞0，则该抛物线的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点，有下列结论：①abc＞0；②4ac﹣4a2＜0；③4a﹣2b+c＞0；④m（am﹣b）≥a﹣b；其中正确的结论为（　　）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
8．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则4a+2b+c的最大值等于（　　）
A．﹣5 B．2 C． D．5
二、填空题
9．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 　 　．
10．已知二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）．
11．抛物线y＝3x2与直线y＝x+m的一个交点是（1，b），另一个交点为 　 ．
12．把二次函数y＝x2+bx+3由一般式化成顶点式为y＝（x+2）2+k，则k的值为　 　．
13．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 　 　．
14．如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是（﹣1，﹣3）、（1，3），点C在抛物线yx2+bx的图象上，则b的值为 　 ．
三、解答题
15．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．
16．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
17．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围．
18．已知二次函数（a为常数，a≠0）．
（1）当x＝2时，求该二次函数的值；
（2）若二次函数与直线y＝﹣x+1有唯一交点，设，求T的值．
19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（2，0）和点C（﹣1，0）．D为第一象限的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ADB面积的最大值；
（3）若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD是菱形，直接写出D的坐标．
20．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，2）和（1，5）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）该二次函数图象上有两点A（m，p），B（m+t，p），其中点A在点B左边．
①用含m的代数式表示t．
②当m≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2t，求t的值．
参考答案
一、选择题
1．二次函数y＝x2﹣2x﹣1图象的顶点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴顶点坐标为（1，﹣2），
∴顶点在第四象限．
故选：D．
2．将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1．
将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝（x+1）2﹣3，
故选：A．
3．函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
【解答】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该经过第一、三、四象限，
当ax2+bx＝0时，即x1＝0，，
当ax+b＝0时，即，
则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为，
A．一次函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
B．一次函数图象经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意．
C．一次函数图象经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意．
D．一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
【解答】解：因为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，﹣1）．
因为1﹣（﹣1）＝3﹣1，
所以x＝﹣1和x＝3时的函数值相等．
因为﹣1≤x≤t﹣1，当x＝﹣1时，函数取得最大值，
所以t﹣1≤3，
又因为当x＝1时，函数取得最小值，
所以t﹣1≥1，
所以1≤t﹣1≤3，
解得2≤t≤4．
故选：C．
5．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①令h＝0，则30t﹣5t2＝0，
解得t1＝0，t2＝6，
∴小球从抛出到落地需要6s，
故①正确；
②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的高度可以是30m，
故②正确；
③t＝2时，h＝30×2﹣5×4＝40（m），
t＝5时，h＝30×5﹣5×25＝25（m），
∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，
故③错误．
故选：C．
6．抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点M（m﹣1，n）、N（﹣m﹣3，n）、P（1，p）．若p＞0，则该抛物线的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点M（m﹣1，n）、N（﹣m﹣3，n），
∴该抛物线的对称轴为直线x2，
∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点P（1，p），p＞0，过点（0，﹣2），
∴该抛物线的顶点在第三象限，
故选：C．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点，有下列结论：①abc＞0；②4ac﹣4a2＜0；③4a﹣2b+c＞0；④m（am﹣b）≥a﹣b；其中正确的结论为（　　）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
【解答】解：由图象可得，
a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
对称轴为直线x1，可得b＝2a，
∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即（2a）2﹣4ac＞0，
∴4a2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣4a2＜0，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣2和x＝0对应的函数值相等，
∴4a﹣2b+c＝c＜0，故③错误，不符合题意；
由图象可知，当x＝﹣1时，该函数取得最小值，
∴am2﹣bm+c≥a﹣b+c，
∴am2﹣bm≥a﹣b，
即m（am﹣b）≥a﹣b，故④正确，符合题意；
故选：C．
8．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则4a+2b+c的最大值等于（　　）
A．﹣5 B．2 C． D．5
【解答】解：∵A（0，1），B（2，1），C（4，1）的纵坐标相同，
∴抛物线不会同时经过A、B、C三点，
∴抛物线经过可能经过A（0，1）、D（3，2）、C（4，1）或者B（2，1）、D（3，2）、C（4，1）或者A（0，1）、B（2，1）、D（3，2），
如图，经过A、D、C三点的抛物线，当x＝2时，y的值最大，
把A（0，1），C（4，1），D（3，2）代入y＝ax2+bx+c得
，
解得，
∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为，
当x＝2时，，
故4a+2b+c的最大值等于，
故选：C．
二、填空题
9．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 　c＞　．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，
∴Δ＝1﹣4c＜0．
∴c＞．
故答案为：c＞．
10．已知二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1　＜　y2（填“＞”或“＜”）．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为：y＝（x﹣1+2）2，即y＝（x+1）2；
∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，且﹣1＜2＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
11．抛物线y＝3x2与直线y＝x+m的一个交点是（1，b），另一个交点为 　　．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2与直线y＝x+m的一个交点是（1，b），
∴b＝3×12＝3，b＝1+m，
解得m＝2，
∴直线y＝x+2，
由得：或，
∴抛物线y＝3x2与直线y＝x+m的另一个交点为，
故答案为：．
12．把二次函数y＝x2+bx+3由一般式化成顶点式为y＝（x+2）2+k，则k的值为　﹣1　．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+3由一般式化成顶点式为y＝（x+2）2+k，
而，
∴，
解得：b＝4，
∴，
故答案为：﹣1．
13．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 　（4，1）　．
【解答】解：作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD+BC的值最小，AD+BC＝A″B，
在中，令x＝0，则y＝6，
∴点A（0，6），
令y＝0，则，
解得x＝2或x＝6，
∴点B（2，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝4，
∴A′（8，6），
∴A″（8，3），
设直线A″B的解析式为y＝kx+b，
代入A″、B的坐标得，
解得，
∴直线A″B的解析式为y＝x﹣1，
当x＝4时，y＝1，
∴C（4，1）．
故答案为：（4，1）．
14．如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是（﹣1，﹣3）、（1，3），点C在抛物线yx2+bx的图象上，则b的值为 　　 ．
【解答】解：作MN⊥x轴，BM⊥MN于M，DN⊥MN于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝90°，BC＝DC，
∴∠BCM+∠DCN＝90°＝∠BCM+∠CBM，
∴∠DCN＝∠CBM，
∵∠BMC＝∠CND＝90°，
∴△CBM≌△DCN（AAS），
∴CN＝BM，DN＝CM，
设C（a，b），
∵点B、D的坐标分别是（﹣1，﹣3）、（1，3），
则a+1＝3﹣b且a﹣1＝b+3，
解得：a＝3，b＝﹣1，
∴C（3，﹣1），
∵点C在抛物线yx2+bx的图象上，
∴﹣19+3b，
∴b，
故答案为：．
三、解答题
15．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1，
∴，
∴b＝4；
（2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，
∴，
∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴，
t），
∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
（i）∵h＝3t，
∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
∴t（t+2x1）＝t+2x1，
∵x1≥0，t＞0，
∴t+2x1＞0，
∴t＝1，
∴h＝3；
（ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
∴h＝﹣3t2+8t﹣2，
，
∵﹣3＜0，
∴当，即时，h取最大值．
16．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【解答】解：（1）y＝（200﹣x）（60+4×）
＝﹣0.4x2+20x+12000．
＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250
＝﹣0.4（x﹣25）2+12250．
∵200﹣x≥180，
∴x≤20．
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）．
答：y与x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元；
（2）12160＝﹣0.4（x﹣25）2+12250
0.4（x﹣25）2＝12250﹣12160
0.4（x﹣25）2＝90
（x﹣25）2＝225．
解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10．
∴售出轮椅的辆数为：60+4×＝64（辆）．
答：这天售出了64辆轮椅．
17．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围．
【解答】解：（1）①由题意，把A（1，2）代入y＝x2+bx+c，
∴1+b+c＝2．
∴b+c＝1．
②由（1）得：b+c＝1，
∴c＝1﹣b．
把（2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b，
∴p＝4+2b+1﹣b＝b+5．
∴pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣b2﹣4b+5＝﹣（b+2）2+9≤9．
∴pc的最大值为9．
（2）∵抛物线为y＝x2+bx+c，
∴抛物线开口向上．
∵对于任何的实数t都有（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立，
∴点B（2，p）必为抛物线的最低点，即点B为抛物线的顶点．
∴对称轴为直线x＝2，当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大．
∵y1≥y2，点C（t，y1）AD（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，
∴，
∴t≤1．
18．已知二次函数（a为常数，a≠0）．
（1）当x＝2时，求该二次函数的值；
（2）若二次函数与直线y＝﹣x+1有唯一交点，设，求T的值．
【解答】解：（1）把x＝2代入yax2﹣ax+2，
得：ya×22﹣2a+2＝2，
∴当x＝2时，该二次函数的值为2；
（2）联立得：ax2﹣ax+2＝﹣x+1，
整理得：ax2+（﹣a+1）x+1＝0，
∵二次函数yax2﹣ax+2与直线y＝﹣x+1有唯一交点，
∴Δ＝（﹣a+1）2﹣4a×1＝0，即a2﹣4a+1＝0，
∴a2＝4a﹣1，
∴a3＝a（4a﹣1）＝4a2﹣a＝4（4a﹣1）﹣a＝15a﹣4，
a4＝（4a﹣1）2＝16a2﹣8a+1＝16（4a﹣1）﹣8a+1＝56a﹣15，
a7＝a4 a3＝（56a﹣15）（15a﹣4）＝840a2﹣449a+60＝840（4a﹣1）﹣449a+60＝2911a﹣780，
∴T
．
19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（2，0）和点C（﹣1，0）．D为第一象限的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ADB面积的最大值；
（3）若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD是菱形，直接写出D的坐标．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（2，0）和点C（﹣1，0）．将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣2x2+2x+4；
（2）D为第一象限的抛物线上一点，如图1，过点D作DM⊥x轴于点M，交AB于点N，
抛物线y＝﹣2x2+2x+4，
当x＝0时，得：y＝4，
∴A（0，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，
设点D（m，﹣2m2+2m+4）（0＜m＜2），则点N（m，﹣2m+4），
∴DN＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，
∴S△ABDDN OB2×（﹣2m2+4m）＝﹣2（m﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴当m＝1时，△ADB面积的最大值为2；
（3）点D的坐标为（，）．理由如下：
设D（t，﹣2t2+2t+4），G（t，﹣2t+4），
∴DG＝（﹣2t2+2t+4）﹣（﹣2t+4）＝﹣2t2+4t，
∵四边形AFGD是菱形，如图2，
∴AD＝DG，
∴t2+（﹣2t2+2t+4﹣4）2＝（﹣2t2+4t）2，
解得：t1＝0，t2，
∴点D的坐标为（，）．
20．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，2）和（1，5）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）该二次函数图象上有两点A（m，p），B（m+t，p），其中点A在点B左边．
①用含m的代数式表示t．
②当m≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2t，求t的值．
【解答】解：（1）把（0，2）和（1，5）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式的解析式为y＝﹣x2+4x+2；
（2）①由（1）可知，二次函数图象的对称轴为直线x2
∵两点A（m，p），B（m+t，p）关于对称轴直线x＝2对称，
∴2，
∴t＝4﹣2m；
②∵y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线开口向下，顶点（2，6），
∵当m≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2t，
∴当m＜0时，当x＝m时，取得最小值为﹣m2+4m+2，当x＝2时，取得最大值为6，
∴6﹣（﹣m2+4m+2）＝2t，
由①可得：t＝4﹣2m，
∴6﹣（﹣m2+4m+2）＝2（4﹣2m），
解得m＝﹣2或m＝2（不符合题意，舍去），
∴m＝﹣2，此时t＝4﹣2m＝8；
当0≤m≤2时，当x＝4时，取得最小值为y＝2，当x＝2时，取得最大值为6，
∴6﹣2＝4＝2t，
∴t＝2；
当2＜m＜4时，当x＝m时，取得最大值为﹣m2+4m+2，当x＝4时，取得最小值为2，
∴﹣m2+4m+2﹣2＝2t，
即﹣m2+4m+2﹣2＝2（4﹣2m），
解得m＝4+2（不符合题意，舍去）或m＝4﹣2（不符合题意，舍去），
综上所述，t＝2或8．
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