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第二十二章二次函数课后培优训练人教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．二次函数y＝mx2+x+m2﹣2m的图象经过原点，则m的值为（　　）
A．0 B．2 C．2或0 D．无法确定
2．对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0，y随x的增大而减小
B．当x＝1时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点（﹣1，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
3．将抛物线y＝2（x+2）2﹣1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣1）2﹣2 B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+1
4．已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在二次函数y＝2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
5．如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）的图象上，且a＜b＜3．则m的取值范围是（　　）
A．3＜m＜4 B．3＜m＜4或m＞6
C．m＞6 D．m＜4或m＞6
6．若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣2，﹣1），该抛物线与y轴的交点位于x轴上方，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0 B．c＜0
C．b2﹣4ac＝0 D．4a﹣2b+c＝﹣1
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：①c＜0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④当x＞﹣1时，y＞0．其中所有正确结论的序号是（　　）
①② B．①③
C．②③ D．②④
8．在平面直角坐标系xOy中，点M（m﹣4，p），N（m，p），Q（6，q）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，且抛物线的对称轴为直线x＝t．若p＜q＜c，则t的取值范围为（　　）
A．3＜t＜4 B．3＜t＜4或t＞8
C．t＜3或4＜t＜8 D．t＞8
9．如图，这是一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象，则二次函数y＝ax2+bx﹣a的图象大致为（　　）
A． B． C．D．
10．如图，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（　　）
A． B．
C． D．1
填空题
11．抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是 　 　 ．
12．二次函数的顶点为P，则点P到直线y＝10的距离的最小值为　 ．
13．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　 　 ．
14．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a是常数，且a≠0）．
（1）若点（1，﹣2）在该函数的图象上，则a的值为 　 　 ；
（2）当a＝﹣1时，若﹣3≤x≤2，则函数值y的取值范围是 　 ．
三、解答题
15．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点M（1，4）和N（2，3）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求此二次函数的对称轴和顶点坐标．
（3）求此二次函数与x轴和y轴的交点坐标．
16．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求△PAB的面积．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．
（1）分别计算点A，B，C的坐标．
（2）在第一象限的抛物线上求点P，使得S△PBC最大．
18．如图，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PH⊥x轴，与线段BC交于点M，垂足为点H，若PM＝MH时，求△PBC的面积．
19．已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2．
（1）求b的值；
（2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值；
（3）当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
20．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为：y＝﹣30x+600．
（1）按照上述市场调查的销售规律，写出销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式；
（2）为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元；
（3）若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润．
21．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围．
22．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
参考答案
一、选择题
1．二次函数y＝mx2+x+m2﹣2m的图象经过原点，则m的值为（　　）
A．0 B．2 C．2或0 D．无法确定
【解答】解：由条件可得m2﹣2m＝0，
解得m＝0或m＝2，
∵m≠0，
∴m＝2，
故选：B．
2．对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0，y随x的增大而减小
B．当x＝1时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点（﹣1，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
【解答】解：把二次函数化为顶点式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3，根据顶点式即可对各选项进行判断如下：
∴顶点坐标为（1，﹣3），开口向下，对称轴为x＝1，当x＞1时y随x的增大而减小，故A选项错误；
当x＝1时，y有最大值﹣3，与x轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确，
故选：B．
3．将抛物线y＝2（x+2）2﹣1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣1）2﹣2 B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+1
【解答】解：将抛物线y＝2（x+2）2﹣1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为y＝2（x+2﹣1）2﹣1﹣2，即y＝2（x+1）2﹣3，
故选：C．
4．已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在二次函数y＝2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【解答】解：由条件可知C（3，y3）关于y轴的对称点为（﹣3，y3），
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，且x＜0时，函数值随自变量的增大而减小，
∴y2＜y3＜y1；
故选：D．
5．如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）的图象上，且a＜b＜3．则m的取值范围是（　　）
A．3＜m＜4 B．3＜m＜4或m＞6
C．m＞6 D．m＜4或m＞6
【解答】解：∵A（m﹣2，a），C（m，a）关于对称轴对称，
∴，
∴m﹣1＝t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
∵抛物线与y轴交点为（0，3），抛物线对称轴为直线x＝t，
∴此交点关于对称轴的对称点为（2m﹣2，3），
a＜3，b＜3且t＞0，
4＜2m﹣2，
解得m＞3，
当A，B都在对称轴左边时，
∵a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
∴m＞6，
当A，B分别在对称轴两侧时，
∵a＜b，
∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得m＜4，
∴3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
故选：B．
6．若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣2，﹣1），该抛物线与y轴的交点位于x轴上方，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0 B．c＜0
C．b2﹣4ac＝0 D．4a﹣2b+c＝﹣1
【解答】解：由题意，∵抛物线与y轴的交点位于x轴上方，
∴c＞0，故B错误．
又抛物线的顶点为（﹣2，﹣1），
∴可设抛物线为y＝a（x+2）2﹣1．
∴y＝ax2+4ax+4a﹣1．
∴b＝4a，c＝4a﹣1．
∵c＞0，
∴4a﹣1＞0，即a0，故A错误．
∵顶点为（﹣2，﹣1），
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝﹣1，故D正确．
∵b＝4a，c＝4a﹣1，
∴b2﹣4ac＝16a2﹣4a（4a﹣1）＝4a＞0，故C错误．
故选：D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：①c＜0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④当x＞﹣1时，y＞0．其中所有正确结论的序号是（　　）
①② B．①③
C．②③ D．②④
【解答】解：观察图象知c＞0，故①错误；
观察图象知对称轴为直线x，从而b＝2a，故②正确；
观察图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故③正确；
当x＞﹣1时，还有部分图象位于x轴上方，故④错误．
故正确的有：②③．
故选：C．
8．在平面直角坐标系xOy中，点M（m﹣4，p），N（m，p），Q（6，q）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，且抛物线的对称轴为直线x＝t．若p＜q＜c，则t的取值范围为（　　）
A．3＜t＜4 B．3＜t＜4或t＞8
C．t＜3或4＜t＜8 D．t＞8
【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线x＝t．
∴，
由条件可知距离对称轴越远的点的纵坐标越大，
∵（0，c）到x＝t的距离为|t|，M（m﹣4，p），N（m，p）到x＝t的距离为2，
∴2＜|6﹣t|＜|t|，
解得：3＜t＜4或t＞8，
故选：B．
9．如图，这是一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象，则二次函数y＝ax2+bx﹣a的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由条件可知抛物线y＝ax2+bx﹣a的开口向上，
对称轴为直线，在y轴的右侧，
故A，D选项不符合题意；
∵﹣a＜0，
∴与y轴的交点坐标（0，﹣a）在y轴的负半轴，
故B选项不符合题意，C选项符合题意；
故选：C．
10．如图，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
由条件可知AD＝3，，C（3，k）．
∵当x＝0时，y＝9a+k，
∴A（0，9a+k），
∴，
∴．
故选：A．
填空题
11．抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是 　（3，1）　 ．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（3，1）．
故答案为：（3，1）．
12．二次函数的顶点为P，则点P到直线y＝10的距离的最小值为　　 ．
【解答】解：∵次函数，
∴该函数顶点的纵坐标为：，
∴点P到直线y＝10的距离为：10（a﹣1）2，
∴当a＝1时，点P到直线y＝10的距离取得最小值，
故答案为：．
13．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　（﹣1，5）　 ．
【解答】解：原式可化为y＝2x2﹣3x+k（x+1），
∵二次函数的图象必过定点，即该定点坐标与k的值无关，
∴x+1＝0，解得x＝﹣1，
此时y的值为y＝2+3＝5，图象必过定点（﹣1，5）．
故答案为：（﹣1，5）．
14．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a是常数，且a≠0）．
（1）若点（1，﹣2）在该函数的图象上，则a的值为 　2　 ；
（2）当a＝﹣1时，若﹣3≤x≤2，则函数值y的取值范围是 　﹣12≤y≤4　 ．
【解答】解：（1）∵点（1，﹣2）在二次函数 y＝ax2﹣（3a+1）x+3 的图象，
∴﹣2＝a﹣（3a+1）+3，
解得a＝2．
故答案为：2．
（2）当 a＝﹣1 时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝1时，y有最大值4．
又当x＝﹣3时，y＝﹣12，当 x＝2时，y＝3，
∴当﹣3≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣12≤y≤4．
故答案为：﹣12≤y≤4．
三、解答题
15．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点M（1，4）和N（2，3）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求此二次函数的对称轴和顶点坐标．
（3）求此二次函数与x轴和y轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点M（1，4）和N（2，3），
∴，解得，
∴此二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴此二次函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）；
（3）当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，由0＝﹣x2+2x+3得x1＝﹣1，x2＝3，
∴此二次函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
16．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求△PAB的面积．
【解答】解：（1）把点A的坐标（﹣1，0）代入抛物线中得：2+c＝0
∴c
∴抛物线的解析式为：yx2+2x；
（2）∵P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，
∴yP2×34，
∴P（3，4），
当y＝0时，x2+2x0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∵A（﹣1，0），
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∴△PAB的面积12．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．
（1）分别计算点A，B，C的坐标．
（2）在第一象限的抛物线上求点P，使得S△PBC最大．
【解答】解：（1）令x＝0得y＝2，故点C坐标为（0，2），
令y＝0得，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
（2）设点P坐标为（t，），
过点P作PM⊥x轴于点M，连接PC，PB，BC，如图1，
则PM，BM＝4﹣t，OM＝t，OB＝4，OC＝2，
令三角形PBC的面积为m，
则m＝S四边形OBPC﹣S△BOC
＝S梯形OMPC+S△PMB﹣S△PBC
4
＝﹣t2+4t，
∵抛物线m＝﹣t2+4t的开口向下且0＜t＜4，
∴当t＝2时，m最大，最大值为4，
即当点P坐标为（2，3）时，S△PBC最大．
18．如图，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PH⊥x轴，与线段BC交于点M，垂足为点H，若PM＝MH时，求△PBC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴是直线，
∴，
∴b＝2，
∴y＝﹣2x2+2x+c．
将B（2，0）代入y＝﹣2x2+2x+c，
得﹣8+4+c＝0，
解得c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4．
（2）将x＝0代入y＝﹣2x2+2x+4，得y＝4，
∴C（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（2，0），C（0，4）代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4．
设点P的坐标为（m，﹣2m2+2m+4），0＜m＜2，
∴点M的坐标为（m，﹣2m+4）．
∵PM＝MH，
∴﹣2m2+2m+4＝2（﹣2m+4），
解得m＝1或2（舍去），
∴点P的坐标为（1，4），
∴CP＝1，
∴△PBC的面积为2．
19．已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2．
（1）求b的值；
（2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值；
（3）当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，
∴2．
∴b＝﹣4．
（2）由题意，∵a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2+bx+c的开口方向向上．
∴当x＝2时，函数取得最小值＝4﹣8+c＝c﹣4；当x＝4时，函数取得最大值＝16﹣16+c＝c．
∵当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，
∴c+c﹣4＝6．
∴c＝5．
（3）由题意，由（1）得抛物线为y＝x2﹣4x+c，
又∵抛物线与x轴有且只有一个交点，
∴①Δ＝16﹣4c＝0，则c＝4；
②当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则，可得0≤c＜3．
∴c的取值范围为0≤c＜3或c＝4．
20．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为：y＝﹣30x+600．
（1）按照上述市场调查的销售规律，写出销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式；
（2）为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元；
（3）若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）由题意可得，w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600，
∴函数解析式为 w＝﹣30x2+780x﹣3600；
（2）由（1）得销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式为y＝﹣30x2+780x﹣3600
当获利为1200元时，﹣30x2+780x﹣3600＝1200，
解得：x1＝16 或x2＝10，
答：为了方便顾客，售价定10元时可获利1200元．
（3）∵w＝﹣30x2+780x﹣3600＝﹣30（x﹣13）2+1470，
∵a＝﹣30＜0，
∴图象开口向下，
∴当x＝﹣13 时，w有最大值，最大值为1470．
即：当售价定为13元时，获得的利润最大，最大利润为1470元．
21．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围．
【解答】解：（1）①由题意，把A（1，2）代入y＝x2+bx+c，
∴1+b+c＝2．
∴b+c＝1．
②由（1）得：b+c＝1，
∴c＝1﹣b．
把（2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b，
∴p＝4+2b+1﹣b＝b+5．
∴pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣b2﹣4b+5＝﹣（b+2）2+9≤9．
∴pc的最大值为9．
（2）∵抛物线为y＝x2+bx+c，
∴抛物线开口向上．
∵对于任何的实数t都有（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立，
∴点B（2，p）必为抛物线的最低点，即点B为抛物线的顶点．
∴对称轴为直线x＝2，当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大．
∵y1≥y2，点C（t，y1）AD（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，
∴，
∴t≤1．
22．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
【解答】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x，
∴，
解得a＝2，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1．
（2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，
∴不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，
当a＜0时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即a﹣1＝﹣3，
解得a＝﹣2；
当0≤a≤3，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝a时，y＝﹣3，
即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，
解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去），
∴a的值为2；
当a＞3时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝3时，y＝﹣3，
即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，
解得a（舍去）．
综上所述，a的值为﹣2或2．
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