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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
15.1　图形的轴对称
15.1.1　轴对称及其性质
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 15.1.1　轴对称及其性质 授课人
学 习 目 标 1.理解并掌握轴对称、轴对称图形的概念,能够判断一个图形是不是轴对称图形,能找出轴对称图形的对称轴. 2.锻炼从现实世界中抽象出几何图形的能力,观察轴对称图形的特征,发展形象思维能力. 3.通过观察、思考、动手操作,提高学生观察、辨析图形的能力,发展学生的空间思维能力. 4.通过自主学习,让学生体验获取数学知识的感受,体会轴对称在现实生活中的广泛存在和轴对称丰富的文化价值,感受数学中的美.
学习 重点 轴对称图形的识别及轴对称图形与轴对称的联系.
学习 难点 能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 在七年级我们学移,请同学们回忆平移的性质.在上一章我们学习了全等图形,特别是全等三角形的性质及判定方法,请回忆这些知识并利用它们解决下面的问题: 如图15-1-9,已知∠B=∠C,AD平分∠BAC,则直接证明△ABD≌△ACD的依据是 (　　) 图15-1-9 A.ASA　　　　B.SAS　　　　C.AAS　　　　D.SSS 请思考:沿AD折叠,△ABD和△ACD能否重合 你能用全等的知识解释吗 　　温故知新.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 我们生活在充满图形的世界中,许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起.无论是随风起舞的风筝、凌空翱翔的飞机,还是中外各式风格的典型建筑;无论是艺术家的创造,还是日常生活中的图案设计,甚至是照镜子,都和对称密不可分. 观察下列几幅图片,回答问题: 图15-1-10 (1)这些图形有什么共同特征 (2)请你举出几个生活中具有对称特征的物体,并与同伴进行交流. 教师展示图片,学生欣赏图片,同时引出本节课的课题,并板书课题. 　　通过展示图片,让学生初步感受轴对称图形,体会轴对称图形与现实生活的紧密联系,激发学生的学习欲望,提高他们的学习积极性.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 轴对称图形 1.图15-1-11是3种美丽的窗花,它们都是通过把一张纸对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花,你能发现它们有什么共同的特点吗 图15-1-11 学生分小组讨论、交流. 归纳概念:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫作轴对称图形,这条直线就是它的对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点.这时,也说这个图形关于这条直线对称. 2.你能再举出一些轴对称图形的例子吗 【探究2】 两个图形成轴对称 1.下面的每对图形有什么共同特点 图15-1-12 学生在观察、交流的基础上描述,得出结论. 归纳概念: 把图15-1-12中的每一对图形沿着虚线折叠,左边的图形能与右边的图形重合. 像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,也称这两个图形关于这条直线对称.同样地,这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点. 2.轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系 教师在学生描述的基础上归纳轴对称图形及轴对称的概念,并板书概念. 　　1.通过窗花设计让学生感知轴对称图形的特点,感受生活中数学之美,进而让学生明白生活中处处是数学.注意引导学生用数学的眼光去观察世界. 2.让学生通过图形直观观察两个图形成轴对称和轴对称图形的区别和联系,引导学生自己总结归纳,从而掌握其概念和特点.
活动 二: 探究 与 应用 轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称轴对称轴对称图形区 别意义不同两个图形之间的位置关系具有特殊形状的图形对象不同两个图形一个图形对称轴的 位置不同在两个图形之间经过图形的某条直线联系(1)把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形; (2)把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称
【探究3】 线段的垂直平分线 如图15-1-13,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,点A',B',C'分别是点A,B,C的对称点,线段AA',BB',CC'与直线MN有什么关系 其他对称点呢 图15-1-13 学生活动:学生自行分析操作过程,从操作过程中发现数量关系.图15-1-13中,点A与A'是对称点,设AA'交对称轴MN于点P,将△ABC或△A'B'C'沿MN折叠后,点A与A'重合,于是有AP=A'P,∠MPA=∠MPA'=90°.对于其他对称点,如点B与B',点C与C'也有同样的结论.因此,对称轴经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段. 教师活动:鼓励学生独立思考,发现数量关系并进行交流,得到轴对称的性质:成轴对称的两个图形中,连接对称点的线段被对称轴垂直平分.同时给出线段垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.进而引导学生由轴对称的性质得出:无论是成轴对称的两个图形,还是轴对称图形,其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 　　3.学生通过观察、思考、合作交流,认识两个图形成轴对称的本质特征,鼓励学生善于思考、勇于发现,培养合作意识. 4.学生在自己掌握图形特征的基础上,准确掌握轴对称图形及轴对称的概念. 5.主动探究成轴对称及轴对称图形的性质.教师用多媒体展示△ABC与△A'B'C'沿直线MN折叠的过程,引导学生观察线段AA',BB',CC'与直线MN的关系.学生在观察、交流的基础上描述以上三条线段与直线MN的关系.
【应用举例】 例1　如图15-1-14,下列图案不是轴对称图形的是 (D) 图15-1-14 师生合作交流得到答案. 例2　如图15-1-15所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗 如果是,指出它们的对称轴,并找出一对对称点. 图15-1-15 [答案:略] 学生独立思考,举手回答,师生交流心得和方法. 　　1.考查学生对轴对称图形及轴对称概念的理解,体会轴对称在现实生活中的广泛应用.
活动 二: 探究 与 应用 例3　如图15-1-16,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD,其中∠BAD=150°,∠B=40°,则∠BCD的度数是 (A) A.130°　　　　　B.150°　　　　　C.40°　　　　　D.65° 图15-1-16 图15-1-17 变式　如图15-1-17,已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,∠B=125°,∠A+∠D=155°,AB=3 cm,EH=4 cm. (1)写出EF,AD的长度; (2)求∠G的度数; (3)连接BF,线段BF与直线MN有什么关系 [答案:(1)EF=3 cm,AD=4 cm　(2)∠G=80°　 (3)直线MN垂直平分线段BF] 　　2.考查学生的观察能力,为下一节学习垂直平分线的作法打下基础.
【拓展提升】 例4　如图15-1-18,直线MN是四边形AMBN的对称轴,P是直线MN上的点,连接AP,BP,则下列判断错误的是 (B) 图15-1-18 A.AM=BM B.AP=BN C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM 师生共同探究得出: (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够互相重合,所以它们一定是全等的,但全等的两个图形不一定成轴对称; (2)成轴对称的两个图形能够重合,所以它们的周长、面积也相等. 变式　如图15-1-19,正方形ABCD的边长为4 cm,则图中阴影部分的面积为　8　cm2. 图15-1-19 　　1.让学生体会成轴对称的两个图形一定全等,但全等的两个图形不一定成轴对称,成轴对称的两个图形是具有特殊位置关系的两个图形. 2.考查轴对称图形的性质,同时强化对轴对称是全等变换的认识,培养利用转化思想和整体思想解决具体问题.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列图形中,是轴对称图形的是 (C) 图15-1-20 2.下列图形中,有且仅有一条对称轴的是 (A) 图15-1-21
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 3.如图15-1-22所示,如果直线m是五边形ABCDE的对称轴,其中∠A=115°,∠ABC=120°,那么∠BCD的度数为　70°　.连接BD交直线m于点F,则BF　=　DF(填“=”“>”或“<”),BD　垂直于　m(填“垂直于”或“不垂直于”). 图15-1-22 图15-1-23 4.如图15-1-23,已知AD所在的直线是△ABC的对称轴,点E,F是AD上的点,若BC=4,AD=3,则图中阴影部分的面积是　3　. 　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.考查学生对轴对称图形和轴对称概念的理解,知道轴对称图形的对称轴的不唯一性,体会轴对称在现实生活中的广泛应用.
【课堂总结】 (1)学完本节课后,你有哪些收获,有哪些进步,还存在哪些困惑 (2)本节课我们共同欣赏了生活中的轴对称图形,通过图形理解了轴对称图形和关于直线成轴对称的概念,请大家回忆一下,它们有什么区别和联系 (3)轴对称和全等有什么关系 轴对称还有什么性质 教师引导学生回顾本节课的知识,并总结、归纳本节课的重点. 　　让学生对本节课进行反思,从较多的内容中提炼出重点内容,培养学生的归纳和合作交流能力,使学生的知识系统化、条理化.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 这节课充分利用多媒体教学,给学生以直观指导,主动向学生质疑,促使学生思考与发现,独立获取知识和技能.另外,借助多媒体教学,给学生创设宽松的学习氛围,使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态,有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养. ②[讲授效果反思] 通过动手实践让学生感知学习的过程,从而找到轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系,同时营造了良好的学习气氛,提高了学生学习的热情,教学效果感觉良好. ③[师生互动反思] 教学中,应注重学生的活动,鼓励每名学生亲自实践,积极思考,体会活动的乐趣,在乐学的氛围中培养学生的空间观念、动手能力,促进学生对轴对称及轴对称图形概念的理解. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动,也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策、以利后行的过程.
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15.1　图形的轴对称
15.1.1　轴对称及其性质
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
实际情境　我们生活在充满图形的世界中,利用图形的某种特征我们想象和创造了许多美丽的事物,其中利用对称是非常重要的一种方法.从古至今,不论在自然界还是在建筑中,不论在艺术还是在科学中,甚至在最普通的日常生活用品中,对称的形式随处可见,对称给我们带来了美的感受!而轴对称是对称中重要的一种,今天让我们一起走进轴对称世界,探索它的秘密吧!
探究(一)　如图15-1-1,我们先来看这几幅图片,观察它们有什么共同特征.
图15-1-1
探究(二)　观察图15-1-2所示的图形,把每组图形沿虚线对折,观察它们有什么共同特征.
图15-1-2
[教学提示] 创设情境,欣赏图片,感受生活中的轴对称现象和轴对称图形,归纳轴对称和轴对称图形的概念.通过对轴对称图形和两个图形成轴对称的学习,激发学生的学习欲望,使学生主动参与到数学学习活动中,体会图形的美,同时感悟数学来源于生活又应用于生活.努力体现数学与生活的联系,教学中要提供丰富的图案,让学生感受到数学就在我们身边.同时,学生在这些图案的认识过程中学习新知,应用新知,激发他们学习数学的兴趣.
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用轴对称图形的定义识别轴对称图形
方法指引:判断一个图形是不是轴对称图形可以根据定义,把一个平面图形沿一条直线折叠,看直线两旁的部分是否能够重合.另外还可以观察它是否有对称轴,能找到对称轴也能说明它是轴对称图形.
例　如图15-1-3所示,下列图形中,是轴对称图形的是 (B)
图15-1-3
【评价角度2】 利用轴对称的定义识别轴对称
方法指引:图形的轴对称和平移一样,都是图形位置的变换,共同的特点是变化前后图形的大小、形状都相同,不同点是变换的方式不同,所以性质也不尽相同,判断的方法关键是看变换方式.
例1　如图15-1-4所示,下列每组中的两个图形成轴对称的是 (D)
图15-1-4
例2　图15-1-5中序号①②③④对应的四个三角形,都是将△ABC进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是 (A)
图15-1-5
A.① B.② C.③ D.④
　　【评价角度3】 画轴对称图形的对称轴
方法指引:(1)对称轴是一条直线,不是线段或射线;(2)轴对称图形的对称轴不一定是一条,找对称轴时要注意全方位去找,不要漏掉;(3)轴对称图形的对称轴一定经过图形的内部.
　　例　判断下面的图形是否为轴对称图形,如果是,画出它的对称轴,并填空.
图15-1-6
[答案:略]
变式　在4×4的正方形网格中,已将其中的四个小正方形涂上阴影(如图15-1-7),若再从其余小正方形中任选一个涂上阴影,使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形,则符合条件的小正方形共有　3　个.
　图15-1-7
【评价角度4】 利用图形轴对称的性质解题
方法指引:图形轴对称的性质:
(1)由一个平面图形可以得到它关于直线l成轴对称的图形,所得图形与原图形全等;
(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;
(3)连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分.
例　如图15-1-8,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称.有下列结论:①△ABC≌△A'B'C';②∠BAC'=∠B'AC;③l垂直平分CC';④直线BC和B'C'的交点不一定在直线l上.其中正确的有 (B)
图15-1-8
A.4个　　　　　B.3个　　　　 C.2个　　　　　D.1个
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第十五章　轴对称
备单元
【教学提示】
初中阶段,图形与几何领域主要侧重学生对图形概念的理解,以及对基于概念的图形性质、关系、变化规律的理解,要培养学生初步的抽象能力、更加理性的几何直观和空间想象力;学生还需要理解几何基本事实的意义,感悟数学论证的逻辑,体会数学的严谨性,形成初步的推理能力和重事实、讲道理的科学精神.
图形的性质的教学.需要引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想,感悟几何体系的基本框架:通过定义确定论证的对象,通过基本事实确定论证的起点,通过证明确定论证的逻辑,通过命题确定论证的结果.要组织学生经历图形分析与比较的过程,引导学生学会关注事物的共性、分辨事物的差异、形成合适的类,会用准确的语言描述研究对象的概念,提升抽象能力,会用数学的眼光观察现实世界;要通过生活中的或者数学中的现实情境,引导学生感悟基本事实的意义,经历几何命题发现和证明的过程,感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性,增强推理能力,会用数学的思维思考现实世界;要引导学生经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题的过程,体会数学命题中条件和结论的表述,感悟数学表达的准确性和严谨性,会借助图形分析问题、形成解决问题的思路,发展模型观念,会用数学的语言表达现实世界.
图形的变化的教学.应当通过信息技术的演示或者实物的操作,让学生感悟图形轴对称、旋转、平移变化的基本特征(例82),知道变化的感知是需要参照物的,可以借助参照物述说变化的基本特征;知道这三类变化有一个基本性质,即图形中任意两点间的距离保持不变,夹角也保持不变.这样的教学活动不仅有助于学生理解几何学的本质,还能引导学生发现自然界中的对称之美,感悟图形有规律变化产生的美,会用几何知识表达物体简单的运动规律,增强对数学学习的兴趣.
【内容要求】
1.通过具体实例理解轴对称的概念,探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.
2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形.
3.理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、长方形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.
4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
5.理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
6.理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.
7.能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线(例73).已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.
8.含30°角的直角三角形的边角性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【学业要求】
掌握三角形的概念.知道图形的特征、共性与区别;在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上,经历得到和验证数学结论的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,形成几何直观和推理能力;经历尺规作图的过程,增强动手能力,能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形,理解尺规作图的基本原理与方法,发展空间观念和空间想象力.
理解轴对称、旋转、平移这三类基本的图形运动,知道三类运动的基本特征,会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象;理解几何图形的对称性,感悟现实世界中的对称美,知道可以用数学的语言表达对称.
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