资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
等腰三角形的判定
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第2课时　等腰三角形的判定 授课人
学 习 目 标 1.掌握并会运用“等角对等边”判定等腰三角形. 2.归纳证明两条线段相等的常用方法. 3.通过推理证明等腰三角形的判定方法,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力. 4.体会解决等腰三角形问题的常用辅助线. 5.会用尺规作图作等腰三角形.
学习 重点 等腰三角形判定方法的应用.
学习 难点 等腰三角形判定方法的证明.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、圆规及多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 你能回答以下问题吗 1.等腰三角形的性质定理是什么 2.这个定理的逆命题是什么 3.这个逆命题正确吗 你能证明吗 　　用问题串的形式对已学知识进行回顾,并引导学生思考、建立知识之间的关联,激发学生的学习兴趣.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 等腰三角形的判定 思考:在△ABC中,如果∠B=∠C,那么AB与AC之间有什么关系 分析:引导学生根据问题写出已知、求证,并分析证明. 解:已知:如图15-3-43,在△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC. 图15-3-43 证明:过点A作AD平分∠BAC交BC于点D,则∠1=∠2. 在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(AAS). ∴AB=AC. 　　1.学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法,培养学生的证明能力,体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作对称轴.
活动 二: 探究 与 应用 你还能用其他的方法来证明吗 师生共同归纳:通过论证,在△ABC中,若∠B=∠C,则AB=AC是真命题,即等腰三角形的判定方法(板书): 有两个角相等的三角形是等腰三角形,即“等角对等边”. 图15-3-44 几何语言: 在△ABC中, ∵∠B=∠C(已知), ∴AC=AB(等角对等边), 即△ABC为等腰三角形. 【探究2】 尺规作图——作等腰三角形 图15-3-45 已知等腰三角形的底边长为a,底边上高的长为h(图15-3-45),求作这个等腰三角形. 教师引导学生分析并写出已知与求作,教师指导学生作图. 学生发表自己的想法,教师总结学生的设想,给出正确的作法. 　　2.教师强调此判定方法是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据. 3.让学生掌握已知底边及底边上的高求作等腰三角形这一重要作图.
【应用举例】 例1　求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形. 分析:引导学生根据题意作出图形,写出已知、求证,并分析证明. 图15-3-46 解:已知:如图15-3-46,AD是△ABC的外角∠CAE的平分线,AD∥BC. 求证:AB=AC. 证明:∵AD∥BC, ∴∠1=∠B,∠2=∠C. 又∵AD平分∠CAE,∴∠1=∠2. ∴∠B=∠C. ∴AB=AC. 思考:将题目的题设和结论对调,是否成立 关于此题的变式详见教材母题模型. 变式一　如图15-3-47,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,MN经过点O,且MN∥BC.若AB=12,AC=18,则△AMN的周长为　30　. 图15-3-47 图15-3-48 变式二　如图15-3-48,若∠1=∠2=36°,∠3=∠4=72°,则图中有　6　个等腰三角形. 　　1.教师引导学生总结证明两条线段相等的最常用方法. 2.对调例题的题设与结论,培养学生的逆向思维能力. 3.巩固所学知识,体会运用等腰三角形的判定方法进行证明的方法.
【拓展提升】 探究:证明线段相等的方法 例3　如图15-3-49,在△ABC中,点E在边AB上,点D在边BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由. 分析:证明△AFC是等腰三角形,需证AF=CF.
活动 二: 探究 与 应用 思路1:证明△AEF≌△CDF;思路2:证明∠1=∠2. 图15-3-49 点拨:证明两条边相等的最常用方法:(1)两条线段在两个三角形中,证明这两个三角形全等.AF与CF分别在△AEF与△CDF中,所以证明△AEF≌△CDF;(2)两条线段在一个三角形中,运用等腰三角形的“等角对等边”证明.因为AF与CF都在△AFC中,所以证明∠1=∠2. 利用等腰三角形的“等角对等边”可以简化方法. 师生共同总结证明两条线段相等的方法:(1)两条线段在两个三角形中,证明这两个三角形全等;(2)两条线段在一个三角形中,运用等腰三角形的“等角对等边”. 　　1.巩固等腰三角形的“等角对等边”,体会运用等腰三角形的判定方法比运用全等证明两条线段相等简单. 2.学生通过观察、思考、动手、合作交流,培养学生的合作意识和严密的思维能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图15-3-50,下列条件中不能证明△ABC是等腰三角形的是(D) 图15-3-50 A.∠B=∠C　　　　 　　B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD C.AD⊥BC,BD=CD D.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD 2.如图15-3-51,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别平分∠ABC,∠BCD,则图中的等腰三角形有 (A) 图15-3-51 A.5个　　　B.4个　　　 C.3个　　　D.2个 3.三角形的一个外角为130°,且恰好等于与它不相邻的一个内角的2倍,则这个三角形是 (C) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4.如图15-3-52,上午10时,一条船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行,中午12时到达B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=40°,∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离. 图15-3-52 解:∵∠NBC=∠NAC+∠C, ∴∠C=80°-40°=40°. ∴∠C=∠NAC.∴BA=BC(等角对等边). ∵AB=20×(12-10)=40(海里), ∴BC=40海里. 答:从B处到灯塔C的距离为40海里. 5.如图15-3-53所示,在△ABC中,∠1=∠2,BD=CD.求证:△ABC是等腰三角形. 图15-3-53 证明:∵BD=CD(已知), ∴∠DBC=∠DCB(等边对等角). 又∵∠1=∠2(已知), ∴∠1+∠DBC=∠2+∠DCB(等式的性质), 即∠ABC=∠ACB. ∴AB=AC(等角对等边). ∴△ABC是等腰三角形. 　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.考查等腰三角形的判定方法,让学生体会等腰三角形可以通过计算角度,把角的关系转化为边的关系. 3.培养学生的推理论证能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 (1)会运用“等角对等边”判定一个三角形是等腰三角形. (2)掌握证明两条线段相等的常用方法. 　　教师引导学生回顾本节课知识,并总结、归纳本节课的重点,培养学生的总结归纳能力和语言表达能力.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 课堂引入简单明了、直奔主题,使学生非常清楚这节课的重点内容.依托等腰三角形的性质的推导、叙述、图示等学习等腰三角形的判定,在两个知识点的相互联系与比较中,加强认识,在应用中又相互配合,体现了知识的统一性. ②[讲授效果反思] 作图题的思路学生不熟悉,教师要指导学生如何分析作图题:假设图形已经作好,图形有哪些特征,怎样用已知条件满足这些特征. ③[师生互动反思] 教师注意引导学生通过自主探究及合作交流等活动方式和学习方式探究并归纳出本节课所学的新知识,促进了学生思维能力的提高. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动,也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策、以利后行的过程.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
等腰三角形的判定
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
复习探究　
1.在前一节课中我们学习了等腰三角形的性质,谁能总结一下等腰三角形的性质是什么呢
2.应用这些性质的前提是什么
3.我们如何判定一个三角形是等腰三角形呢
4.同学们现在有方法吗
[教学提示] 复习旧知识,以问题串的形式让学生进入学习状态,同时引发疑问,激发学生的好奇心和求知欲.复习时可以配以相应的简单的练习题,以便巩固上节课所学的内容.
悬念激趣　如图15-3-23,某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度,他选择河流北岸上一棵树(A点)为目标,然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志,沿南偏东60°方向走一段距离到C处时,测得∠ACB=30°,这时,地质专家测得BC的长度是50米,就可知道河流的宽度是50米.
图15-3-23
同学们,你们想知道这样估测河流宽度的依据是什么吗 他是怎么知道BC的长度就等于河流的宽度的呢 那就要好好学习今天老师讲的等腰三角形的判定哟!
[教学提示] 设置这样的悬念,使学生的学习活动有了明确的目的,从而能够积极主动地探索新知识.让学生初步思考,如果困难特别大,可以先让学生求一下各个角的度数.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第84页习题15.3第2题
如图15-3-24,AD∥BC,BD平分∠ABC.
图15-3-24
求证:AB=AD.
【模型建立】
在有关等腰三角形的问题中,“等边、角平分线(等角)、平行”是经常出现的数量与位置关系,若这三个关系出现在同一图形中,一般以其中任意两个条件为题设,就可以推导证明出第三个条件成立,因此我们称它为等腰三角形中的“二推一”.
(1)基本图形:等腰三角形中的“二推一”一般有两种情况,一种是角平分线在外,要用到一个外角等于与它不相邻的两个内角的和(如图15-3-25①);另一种是角平分线在内(如图②所示).
图15-3-25 图15-3-26
演变图形类型较多,主要有图15-3-26所示的几种.
(2)方法:通过角相等作为纽带,将线段相等、线段平行联系起来,在此过程中要用到等量代换得到角相等,方式一般是:
边相等→角相等→平行;平行→角相等→边相等.
【变式变形】
1.如图15-3-27,BD是∠ABC的平分线,DC∥AB,下列说法正确的是 (A)
图15-3-27
A.BC=CD B.AD∥BC
C.AD=BC D.点A与点C关于BD对称
2.如图15-3-28,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为 (C)
图15-3-28
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图15-3-29,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.
(1)用尺规作图的方法,作∠ADC的平分线DN;(保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)
图15-3-29
[答案:(1)如图15-3-30所示　(2)等腰直角三角形]
图15-3-30
4.(1)如图15-3-31①,已知:在△ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF∥BC,分别交AB,AC于E,F两点,则图中共有　　　　个等腰三角形;EF与BE,CF之间的数量关系是　　　　　　,△AEF的周长是　　　　.
图15-3-31
(2)如图②,若将(1)中“在△ABC中,AB=AC=10”改为“若△ABC为三边都不相等的三角形,AB=8,AC=10”,其余条件不变,则图中共有　　　　个等腰三角形;EF与BE,CF之间的数量关系是什么 证明你的结论,并求出△AEF的周长.
(3)已知:如图③,点D在△ABC外,AB>AC,且BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACG,过点D作DE∥BC,分别交AB,AC于E,F两点,则EF与BE,CF之间又有何数量关系呢 直接写出结论即可.
[答案:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD.
∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD.
∴AE=AF,∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD.
∴BE=DE,CF=DF.
综上可知,等腰三角形有△ABC,△AEF,△DEB,△DFC,△BDC,共5个.
∴BE+CF=DE+DF=EF,
△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=20.
故答案为5,BE+CF=EF,20.
(2)2　BE+CF=EF　证明略　△AEF的周长为18
(3)BE-CF=EF]
5.如图15-3-32,把一个长方形纸片ABCD沿对角线折叠,使点C落在点F处,BF交AD于点E,求证:△BDE是等腰三角形.
图15-3-32
证明:∵△FBD与△CBD关于BD对称,
∴△FBD≌△CBD.
∴∠FBD=∠CBD.
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD∥BC.
∴∠ADB=∠CBD.
∴∠EBD=∠EDB.∴BE=DE.
∴△BDE是等腰三角形.
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 等腰三角形的判定方法的应用
方法指引:判定三角形是等腰三角形的方法:(1)定义;(2)“等角对等边”.“等角对等边”是证明线段相等的一个重要方法,需注意其适用条件是在同一个三角形中.
例1　如图15-3-33,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线,则图中等腰三角形共有 (D)
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
图15-3-33 图15-3-34
例2　如图15-3-34,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC.
求证:△BDE是等腰三角形.[答案:略]
　　【评价角度2】 等腰三角形的性质与判定的综合运用
方法指引:综合运用等腰三角形的性质和判定,直接由线段相等得到角相等,由角相等得到线段相等,省去了全等的证明,简化了过程.因此很多时候,等腰三角形的性质和判定的综合运用更广泛.注意:等腰三角形的性质和判定运用的前提是在同一个三角形中.
例1　如图15-3-35,在△ABC中,CD平分∠ACB,CD⊥BE于点D,∠A=∠ABE.若AC=5 cm,BC=3 cm,则BD的长为 (A)
图15-3-35
A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.4 cm
例2　如图15-3-36,在△ABC中,点E在AC边的延长线上,点D在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.
图15-3-36 图15-3-37
证明:如图15-3-37,过点D作DG∥AC交BC于点G,
则∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB.
在△DFG和△EFC中,
∴△DFG≌△EFC(ASA).∴CE=GD.
∵BD=CE,∴BD=GD.
∴∠B=∠DGB.∴∠B=∠ACB.
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
　　【评价角度3】 等腰三角形的分割问题
方法指引:把一个三角形分割出新的等腰三角形,一般从两个角度分析解题思路:一是根据定义,即两边相等;二是根据判定,即两角相等.常用作图方法:一是利用尺规作图的方法,即画弧与其他边或弧线相交得到顶点;二是利用计算的方法,经常结合三角形的内角和定理、等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍等知识求出角度,确定分割线的位置.
例1　如图15-3-38,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 (D)
A.4　　　　　　 B.5　　　　　　　C.6　　　　　　D.7
图15-3-38 图15-3-39
　　例2　如图15-3-39所示的4个三角形中,均有AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是　②　.(填序号)
　　例3　(1)操作实践:如图15-3-40,在△ABC中,∠A=90°,∠B=22.5°,请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形,并标出分割成的两个等腰三角形底角的度数;(要求用两种不同的分割方法)
(2)分类探究:在△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形,请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值;
(3)猜想发现:若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形,需满足什么条件 (请你至少写出两个条件,无须证明)
图15-3-40
解:(1)如图15-3-41所示:
图15-3-41
(2)设分割线为AD,相应的角度如图15-3-42所示:
图15-3-42
图①中△ABC的最大内角=39°+78°=117°,图②中△ABC的最大内角=24°+180°-2×48°=108°,图③中△ABC的最大内角=24°+66°=90°,图④中△ABC的最大内角=84°.
故△ABC最大内角的可能值是117°或108°或90°或84°.
(3)若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形,需满足的条件如下:
①该三角形是直角三角形;②该三角形有一个角是另一个角的2倍;③该三角形有一个角是另一个角的3倍.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑