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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
15.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质与判定
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第1课时　等边三角形的性质与判定 授课人
学 习 目 标 1.掌握并会运用等边三角形的性质与判定. 2.经历探究等边三角形的性质与判定的过程,培养学生分析问题、解决问题的能力. 3.能利用等边三角形的性质和判定解决简单的问题. 4.培养严谨的推理能力及自主合作的精神,体会逻辑推理与分类讨论的思维价值.
学习 重点 探究等边三角形的性质与判定方法,并能进行简单的应用.
学习 难点 等边三角形的性质与判定的应用.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、圆规及多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 回答以下问题: 1.什么是等边三角形 它与之前学过的等腰三角形有何关系 学生回答:三条边都相等的三角形叫作等边三角形,它是一种特殊的等腰三角形. 2.等腰三角形的性质和判定分别是什么 它们分别是怎么得到的 学生回答. 今天我们来研究等边三角形的性质与判定. 　　学生回忆并回答,为学习本节课做铺垫.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 等边三角形的性质 1.由定义可知:等边三角形的三条边都相等. 图15-3-70 几何语言:如图15-3-70,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC. 2.用量角器量出等边三角形各个内角的度数,并提出猜想. 3.你能否用已学的知识通过推理得到你的猜想是正确的 等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠A=∠B=∠C,又由∠A+∠B+∠C=180°,从而推出∠A=∠B=∠C=60°. 4.如何叙述上面猜想得到的结论 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°. 教师提问:等边三角形是轴对称图形吗 如果是,有几条对称轴 【探究2】 等边三角形的判定 1.在△ABC中,若∠A=∠B=∠C,则AB=BC=CA成立吗 为什么 2.求证:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 师生共同归纳等边三角形的判定方法: (1)三个角都相等的三角形是等边三角形. (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 　　1.学生通过观察、思考、证明、归纳,培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,养成自觉探索几何命题的良好习惯. 2.教师引导学生动手,发现等边三角形三个角的关系,让学生经历观察——实践——猜想——证明的创新思维过程.
【应用举例】 例1　如图15-3-71,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE.若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数. 解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°. ∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°.∴∠CED=∠ACB-∠D=40°. 变式一　如图15-3-72,等边三角形ABC的周长为12,BD⊥AC,垂足为D,延长BC至点E,使CE=CD.若BD=a,则△DBE的周长是 (D) A.8+2a　　　　B.8+a　　　　C.6+a　　　　D.6+2a 图15-3-71 图15-3-72 图15-3-73 变式二　如图15-3-73所示,P是等边三角形ABC内一点,将△ABP绕点B顺时针旋转60°,得到△CBP'.若PB=3,则PP'=　3　. 　　1.通过例题教学,巩固等边三角形的性质与判定,培养学生的合作意识及分析问题、解决问题的能力. 2.初步运用等边三角形的性质和判定,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间,激发学生学习的积极性.
活动 二: 探究 与 应用 例2　如图15-3-74所示,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形. 图15-3-74 证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C. ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. ∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形. 变式一　如图15-3-75,若点D,E分别在边AB,AC的延长线上,且DE∥BC,结论还成立吗 [答案:成立] 图15-3-75 图15-3-76 变式二　如图15-3-76,若点D,E分别在边AB,AC的反向延长线上,且DE∥BC,结论还成立吗 [答案:成立]
【拓展提升】 例3　如图15-3-77,A,O,D三点共线,△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形,求∠AEB的大小. 图15-3-77 图15-3-78 解:∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形,∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A,O,D三点共线,∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F,如图15-3-78. 又∵∠EFB=∠AFO,∴∠AEB=∠AOB=60°. 变式　已知:在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD. 图15-3-79 (1)如图15-3-79①,若∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD;②∠APB=60°. (2)如图②,若∠AOB=∠COD=α,则AC与BD的数量关系为　　　　,∠APB的大小为　　　　.(直接写出结果,不证明) 解:(1)证明:①∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD. 在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD(SAS). ∴AC=BD. ②由(1)得△AOC≌△BOD,∴∠OAC=∠OBD. ∵∠OAC+∠PAB+∠ABO+∠AOB=∠OBD+∠PAB+∠ABO+∠APB,∴∠APB=∠AOB=60°. (2)AC=BD　α 师生活动:学生在独立思考的基础上,分组讨论,教师巡视过程中,参与小组讨论,进行点拨和鼓励. 　　1.知识的综合与拓展,提高应考能力. 2.通过此例题的教学,培养学生的发散思维能力及推理论证能力. 3.题目起点较低,变式层次较多,不同层次的学生都有可以完成的题目,尊重了学生的个性,使不同的人在数学上得到不同的发展.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列关于“等边三角形”的说法不正确的是 (D) A.等边三角形的三条边都相等 B.等边三角形的三个角都相等且都等于60° C.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴 D.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质 2.有下列几种三角形:①三个角都相等的三角形;②有两个角等于60°的三角形;③有一个角是60°的等腰三角形;④有两个角相等的等腰三角形.其中一定是等边三角形的有 (D) A.0种　　　B.1种　　　C.2种　　　D.3种 3.如图15-3-80,在等边三角形ABC中,D是边BC的中点,则∠BAD=　30　°. 图15-3-80 4.如图15-3-80,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD=　30　°. 5.在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=60°,则∠A=　60　°. 　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.考查学生对等边三角形的性质和判定的掌握,培养学生分析问题、解决问题的能力. 3.培养学生大胆尝试、勇于探索的精神,提高学生的思维能力和证明能力.
【课堂总结】 (1)等边三角形的性质和判定分别有哪些 (2)等边三角形的性质和判定与等腰三角形的性质和判定有什么关系 　　教师引导学生回顾本节课的知识,并总结、归纳本节课的重点,培养学生的归纳总结能力及语言表达能力.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 新课导入时教师可让学生观察生活生产中的图片,使学生能从图片中抽象出等边三角形的形象,进而产生求知欲.即从学生的生活经验出发,在丰富的现实情境中,感受到等边三角形无处不在. ②[讲授效果反思] 在讲解拓展部分的例题时,教师还可继续鼓励学生发现结论编拟题目,即再做发散与拓广并给出证明. ③[师生互动反思] 教师教学中注意引导学生根据图形选择恰当的方法证明两条线段相等,选择恰当的判定方法证明三角形是等边三角形. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升.
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15.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质与判定
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
实际情境　在一次探究活动中,老师给同学们出了一道题目:“如果等腰三角形有一个角是60°,那么这个三角形的三边有什么关系 ”
小明假设底角为60°,得出了三个角都是60°;小亮假设顶角为60°,也得出了三个角都是60°,根据“等角对等边”,最后得出结论:三边都相等.
老师告诉他们“这种三条边都相等的三角形叫作等边三角形”.小明、小亮也发表了自己的看法,小明认为“三条边都相等的三角形是等边三角形,而不是等腰三角形”;小亮认为“等边三角形也是等腰三角形,只是比一般的等腰三角形特殊而已”.小明、小亮谁的看法有道理呢
[教学提示] 通过问题情境引入本节课的课题,增强学生的学习兴趣.教师引导学生既动手又动脑,自主探究发现等边三角形的边角关系,注重引导分类讨论,让学生经历观察——实践——猜想——证明的思维过程.
复习探究　在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时,三角形三边都相等.我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
(一)观察与讨论:如图15-3-54所示的△ABC是等边三角形,把等腰三角形的性质用于等边三角形,你能得到什么结论
图15-3-54
1.等边三角形的三个角都　相等　,并且每一个角都等于　　60°　;
2.等边三角形是　轴对称　图形,有　三　条对称轴;
3.等边三角形各边上的中线、高和所对角的　平分线　重合.
(二)类似地,你能得到等边三角形的哪些判定方法呢
1.等边三角形的三个角都相等,并且每个角都是60°,反之,如果告诉你一个三角形的三个角都相等,你能确定这个三角形是等边三角形吗 理由呢
2.你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗
[教学提示] 问题引入简单明了直奔主题,使学生非常清楚这节课的重点内容,通过问题串的形式激发学生对新知识的浓厚兴趣.一定要让学生亲自去观察探究,亲自去尝试证明,教师适时进行引导补充,教学中亦可充分发挥小组合作的作用.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第85页习题15.3第11题
如图15-3-55,△ABD,△AEC都是等边三角形.
图15-3-55
求证:BE=DC.
【模型建立】
在解决共顶点的两等边三角形问题时,需特别关注图中是否有全等三角形,且证明方法常用“SAS”.
【变式变形】
1.如图15-3-56所示,已知△ABC与△BDE都是等边三角形,且点A,B,D在一条直线上,AE分别交BC,CD于点F,H,CD交BE于点G,有下列结论:①AE=CD;②BF=BG;③BH⊥FG;
④∠AHC=60°;⑤△BFG是等边三角形;⑥FG∥AD;⑦△ABF≌△CBG;⑧△EFB≌△DGB.其中正确的有　①②④⑤⑥⑦⑧　(只填序号).
图15-3-56
2.如图15-3-57,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CD.
图15-3-57
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=CB,∠ABE=60°.
∵△BDE是等边三角形,
∴BE=BD,∠DBE=60°.∴∠ABE=∠DBE.
在△ABE和△CBD中,
∴△ABE≌△CBD(SAS).∴AE=CD.
3.如图15-3-58所示,已知△ABD和△AEC都是等边三角形,CD与BE交于点G,AF⊥CD于点F,AH⊥BE于点H.
图15-3-58
(1)求证:AF=AH;
(2)当BC不变,AB,AC变化时,EB与CD相交所成的角∠BGD的度数是否发生变化 若不变,求出∠BGD的度数.(只写结论,不写过程)
[答案:(1)略　(2)不变　∠BGD=60°]
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用等边三角形的性质与判定进行简单的计算或证明
方法指引:从等边三角形的性质中发现一些可利用的条件是解决问题的关键.另外,在证明线段或角相等时,可考虑证明三角形全等.
例1　由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作,小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图15-3-59①,衣架杆OA=OB=18 cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图②,则此时A,B两点之间的距离是　18　 cm.
图15-3-59
例2　如图15-3-60,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于点M,交BE于点G,AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F.
(1)判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由.
(2)若∠C=30°,图中是否存在等边三角形 若存在,请写出来;若不存在,请说明理由.
图15-3-60
解:(1)BE垂直平分AD.理由如下:
如图.∵AM⊥BC,∴∠ABC+∠5=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠C=90°.∴∠5=∠C.
∵AD平分∠MAC,∴∠3=∠4.
∵∠BAD=∠5+∠3,∠ADB=∠C+∠4,
∴∠BAD=∠ADB.∴BA=BD,即△ABD是等腰三角形.
又∵BE平分∠ABC,
∴BE垂直平分AD.
(2)存在.△ABD和△AGE是等边三角形.
变式一　如图15-3-61所示,E是等边三角形ABC中AC边上的点,BE=CD,∠1=∠2.求证:△ADE为等边三角形.
图15-3-61
证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.
在△ABE和△ACD中,∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴AE=AD,∠CAD=∠BAE=60°.∴△ADE是等边三角形.
变式二　如图15-3-62,在△ABC中,∠ACB=90°,△ACD和△BCE都是等边三角形,请你探究EC与AD的位置关系,并证明你的结论.
图15-3-62
[答案:EC⊥AD　证明略]
【评价角度2】 与等边三角形有关的变式拓展型问题
方法指引:此类问题通常以等边三角形为背景,结合全等三角形的性质和判定等知识综合命题.注意运用类比等方法发现解题思路,再综合运用等边三角形的性质与判定解题.
例1　学完“等边三角形”一小节后,老师布置了一道思考题:
如图15-3-63,点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:∠BQM=60°.
图15-3-63
(1)请你完成这道思考题;
(2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如:
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题
　　②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,如图15-3-64,是否仍能得到∠BQM=60°
图15-3-64
请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:①　　　　;②　　　　,并对②的判断进行证明.
[答案:(1)略　(2)①是　②是　证明略]
例2　数学课上,李老师出示了如下题目.
如图15-3-65,在等边三角形ABC中,点E在边AB上,点D在边CB的延长线上,且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当E为AB的中点时,如图15-3-66,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　=　DB(填“>”“<”或“=”).
　　(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE与DB的大小关系:AE　=　DB(填“>”“<”或“=”).
理由如下:如图15-3-67,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
图15-3-65 图15-3-66 图15-3-67
解:在等边三角形ABC中,∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ABD=120°.
∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB.
∵∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠ACE,
∴∠BED=∠ACE.
∵FE∥BC,∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,
即∠AEF=∠AFE=60°=∠A.
∴△AEF是等边三角形.
∴∠EFC=180°-∠AFE=120°=∠ABD.
∴△EFC≌△DBE.
∴DB=EF.
而由△AEF是等边三角形可得EF=AE,
∴AE=DB.
　　【评价角度3】 与等边三角形有关的探索规律型问题
方法指引:先通过推导或计算得到第一次图形变化后的结果,然后继续探究2~3个图形变化的结论,从中发现规律,用含有变化次数的式子表示出来,再求特定次数的结果.
例1　如图15-3-68,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3……在射线ON上,点B1,B2,B3……在射线OM上.△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4……均为等边三角形.若OA1=4,则△A6B6A7的边长为 (D)
A.16　　　　　　B.32　　　　　　C.64　　　　　　D.128
图15-3-68 图15-3-69
例2　如图15-3-69,等边三角形A1C1C2的周长为1,作C1D1⊥A1C2于点D1,在C1C2的延长线上取点C3,使D1C3=D1C1,以C2C3为边作等边三角形A2C2C3;作C2D2⊥A2C3于点D2,在C2C3的延长线上取点C4,使D2C4=D2C2,以C3C4为边作等边三角形A3C3C4……且点A1,A2,A3……都在直线C1C2同侧,如此下去,则△A1C1C2,△A2C2C3,△A3C3C4,…,△AnCnCn+1的周长和为 　.(n≥2,且n为整数)
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