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第2课时　用坐标表示轴对称
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第2课时　用坐标表示轴对称 授课人
学习 目标 1.掌握点或图形的轴对称变换引起的点的坐标的变化规律. 2.能利用这种变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形. 3.经历探索点或图形的轴对称变换引起的点的坐标变化的过程,培养学生的观察、归纳能力. 4.运用数形结合的思想,把坐标与图形变换联系起来,体会几何图形的趣味性和数学内容的深刻性.
学习 重点 　　1.在平面直角坐标系中,关于x轴、y轴对称的点的坐标的变换规律. 　　2.利用坐标变换规律在平面直角坐标系中作一个图形的轴对称图形.
学习 难点 在平面直角坐标系中,关于直线x=m(或直线y=n)对称的点的坐标的变换规律.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 请利用前面所学的知识回答下面的问题: 1.如图15-2-46,已知△ABC和直线MN,试作出△ABC关于直线MN对称的图形. 图15-2-46 2.一位外国游客在天安门广场询问小明西直门的位置,但他只知道东直门的位置,聪明的小明想了想,就准确地告诉了他,你能猜到小明是怎么做的吗 分析:如图15-2-47是一幅老北京城的示意图,其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系.根据图中东直门的坐标,你能说出西直门的坐标吗 图15-2-47 　　设置疑问,导入新课,初步感知平面直角坐标系中的轴对称,提高学习兴趣,活跃课堂气氛.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 关于坐标轴对称的点的坐标的规律 在平面直角坐标系中,画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点,并把它们的坐标填入表格中,你能发现每对对称点的坐标有什么规律吗 已知点A(2,-3)B(-1,2)C(-6,-5)D(,1)E(4,0)关于x轴 的对称点关于y轴 的对称点
活动 二: 探究 与 应用 学生活动:学生动手画图,观察每对对称点的坐标的关系,经过讨论得出规律: 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y); 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y). 教师活动:组织学生进行探索、观察、猜测,然后进行归纳总结. 练习: 1.若点P(-5,6)与点Q关于x轴对称,则点Q的坐标为　(-5,-6)　. 2.若点M(a,-5)与点N(-2,b)关于x轴对称,则a=　-2　,b=　5　. 3.若点P(-5,6)与点Q关于y轴对称,则点Q的坐标为　(5,6)　. 4.若点M(a,-5)与点N(-2,b)关于y轴对称,则a=　2　,b=　-5　. 【探究2】 画关于坐标轴对称的图形 如图15-2-48,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形. 图15-2-48 学生活动:学生根据【探究1】中发现的规律,首先求出点A,B,C,D关于y轴、x轴的对称点,然后再连接对称点即可. 　　1.观察操作,主动探索,研究平面直角坐标系中的轴对称. 2.这些活动主要是为了加深学生对利用坐标表示轴对称的理解,所以要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程.
【应用举例】 例1　已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b). (1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值; (2)若点A,B关于y轴对称,求(4a+b)2025的值. 解:(1)∵点A,B关于x轴对称, ∴解得 (2)∵点A,B关于y轴对称, ∴解得∴(4a+b)2025=-1.
活动 二: 探究 与 应用 变式一　 如图15-2-49,在平面直角坐标系中,△ABC与△DEF关于直线m=1对称,点M,N分别是这两个三角形中的对称点.如果点M的横坐标是a,那么点N的横坐标是 (D) 图15-2-49 A.-a　　　　　B.-a+1 C.a+2 D.-a+2 变式二　已知a,b,c为△ABC的三边长,点(a-c,a)与点(0,-b)关于x轴对称,判断△ABC的形状. [答案:等边三角形] 变式三　如图15-2-50,在△OBC中,点O,B,C的坐标分别为(0,0),(4,0),(3,2),以O,B,D为顶点的三角形与△OBC全等,求平面直角坐标系中所有符合题意的点D的坐标. 图15-2-50 分析:因为题目中限定了两个三角形的两个顶点都是点O,B,而点O,B均在x轴上,所以考虑关于x轴对称的三角形;另外,题目中对后一个三角形的描述为以O,B,D为顶点,即指点O也可以对应点B,所以还要考虑关于线段OB的对称轴直线x=2对称的三角形. [答案:(1,2),(1,-2),(3,-2)] 例2　如图15-2-51,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-4,1),B(-2,1),C(-2,3). (1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1; (2)将△ABC向下平移4个单位长度,画出平移后的图形△A2B2C2; (3)求四边形AA2B2C的面积. 图15-2-51 [答案:(1)略　(2)略　(3)10] 　　1.加深学生对前面规律的理解、记忆和运用. 2.学生通过观察、思考、动手、合作交流,培养学生的合作意识和严密的思维能力.
【拓展提升】 探究关于非坐标轴对称的点的坐标特征 例3　如图15-2-52,已知点A(1,4),B(4,1),l为第一、三象限的角平分线. 图15-2-52 (1)求证:l垂直平分AB; (2)点A,B关于l对称吗 (3)如果点A,B的坐标分别为(6,8),(8,6),它们还关于l对称吗 (4)根据你发现的对称点的坐标规律,写出点P(m,n)关于第一、三象限的角平分线的对称点Q的坐标. [答案:(1)略　(2)点A,B关于l对称　(3)它们还关于l对称　 (4)Q(n,m)] 学生通过画图,然后观察得到答案,师生共同总结规律. 　　1.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 2.学生通过观察、思考、动手、归纳,培养学生的语言表达能力、观察能力、归纳能力和解决综合题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.在平面直角坐标系中,点A(2,3)与点B关于x轴对称,则点B的坐标为 (D) A.(3,2)　　　B.(-2,-3)　　　C.(-2,3)　　　D.(2,-3) 2.在平面直角坐标系中,点A(1,2)关于y轴的对称点为B(a,2),则a=　-1　. 3.若点A(x+2,3)与点B(-5,y+7)关于x轴对称,则x=　-7　,y=　-10　. 4.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,-3),点A'与点A关于x轴对称,点A″与点A'关于y轴对称,则点A″的坐标是(　-2　,　3　). 5.如图15-2-53,利用关于坐标轴对称的点的坐标特征,分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形. 图15-2-53 [答案:略] 　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.使学生体会规律简单但易忘,画图麻烦但不易忘,体会数形结合思想的好处.
【课堂总结】 (1)掌握两点关于坐标轴对称的坐标规律; (2)会求某点关于坐标轴对称的点的坐标. 　　归纳总结培养学生的语言表达能力及总结能力.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过探究总结得到关于坐标轴对称的点的坐标特征,从而解决本节课最核心的问题,后面的例题、变式与应用逐步增加思维难度,让学生学会探索的基本方法和过程,并进一步探究关于一些特殊直线对称的点的坐标特征,对学习方法做到学以致用,提高了学生的自主学习能力. ②[讲授效果反思] 本节课采用了地图的对称性进行探究对称点的坐标规律,能有效地增强学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,取得了良好的教学效果,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的. ③[师生互动反思] 本节课运用数形结合的方法,把坐标与图形变换联系起来,教师一定要让学生反复体会这种数学思想的应用价值,要反复强调,切忌死记硬背一些结论. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动;也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策、以利后行的过程.
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第2课时　用坐标表示轴对称
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
置疑探究　1.如图15-2-34.
(1)图中两个笑脸有什么关系
(2)已知右边笑脸上右眼的坐标为B(4,3),左眼的坐标为A(2,3),嘴角两个端点的坐标分别为C(4,1),D(2,1).
你能根据轴对称的性质写出左边笑脸上左眼、右眼及嘴角两个端点的坐标吗
图15-2-34
2.在平面直角坐标系中,将坐标分别为(2,2),(4,2),(4,4),(2,4)的点用线段依次连接起来形成一个图案(如图15-2-35).
图15-2-35
(1)将各个点的纵坐标不变,横坐标分别乘-1,再将所得的各个点用线段依次连接起来,所得的图案与原图案相比有何变化
(2)将各个点的横坐标不变,纵坐标分别乘-1,再将所得的各个点用线段依次连接起来,所得的图案与原图案相比有何变化
如图15-2-35,师生共同归纳:
(1)将各个点的纵坐标不变,横坐标分别乘-1,得到相应的四个点分别为A1(-2,2),B1(-4,2),C1(-4,4),D1(-2,4).顺次连接各点所得到的图案和原图案比较,不难发现:　它们是关于y轴对称的　.
(2)将各个点的横坐标不变,纵坐标乘分别-1,得到相应的四个点分别为A2(2,-2),B2(4,-2),C2(4,-4),D2(2,-4).顺次连接各点所得到的图案和原图案比较,不难发现:　它们是关于x轴对称的　.
[教学提示] 通过有趣的轴对称图形的研究,激发学生探究坐标特点的好奇心,是一种从形到数的探究,接着又对坐标实施变化,引起图案的变化,使学生在坐标的变化中产生对坐标规律的探究欲望.(1)教师引导,学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点的坐标规律;(2)教学中注意渗透数形结合思想,切忌死记硬背结论.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第74页例2
如图15-2-36,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),画出与四边形ABCD关于y轴对称的图形.
图15-2-36
【模型建立】
对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形关于坐标轴对称的图形.
【变式变形】
1.如图15-2-37,△ABC与△DEF关于y轴对称,已知A(-4,6),B(-6,2),F(2,1),则点D的坐标为 (B)
图15-2-37
A.(-4,6) B.(4,6) C.(-2,1) D.(6,2)
2.如图15-2-38,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形.
图15-2-38 图15-2-39
解:如图15-2-39所示.
3.如图15-2-40.
(1)画出△PQR关于y轴对称的图形△P1Q1R1,并写出P1,Q1,R1三点的坐标;
(2)画出△PQR关于直线x=1对称的图形△P2Q2R2;
(3)若△P3Q3R3与△PQR关于直线y=-1对称,请直接写出P3,Q3,R3三点的坐标.
图15-2-40
[答案:(1)图略　P1(1,3),Q1(4,5),R1(4,1)
(2)图略
(3)P3(-1,-5),Q3(-4,-7),R3(-4,-3)]
4.如图15-2-41,在平面直角坐标系中,直线l经过点M(3,0),且平行于y轴.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1,△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2,写出△A2B2C2三个顶点的坐标;
(2)如果点P的坐标是(-a,0),其中a>0,点P关于y轴的对称点是P1,点P1关于直线l的对称点是P2,求线段PP2的长.
图15-2-41
解:(1)△A2B2C2三个顶点的坐标分别是A2(4,0),B2(5,0),C2(5,2).
(2)∵点P与点P1关于y轴对称,P(-a,0),
∴P1(a,0).
设P2(x,0).
∵点P1与点P2关于直线x=3对称,
∴=3.∴x=6-a.
∴P2(6-a,0).∴PP2=|6-a-(-a)|=|6-a+a|=6.
综上,线段PP2的长为6.
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 求已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标
方法指引:(1)两点关于x轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数;两点关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标相等.(2)横、纵坐标的顺序一定不要颠倒.
例1　在平面直角坐标系中,点A(2,3)与点B关于y轴对称,则点B的坐标为 (A)
A.(-2,3) B.(-2,-3) C.(2,-3) D.(-3,-2)
例2　在平面直角坐标系中,点A的坐标是(-1,2),作点A关于y轴的对称点,得到点A',再将点A'向下平移4个单位长度,得到点A″,则点A″的坐标是(　1　,　-2　).
例3　如图15-2-42,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a,b),则经过2026次变换后所得的图形中点A的对应点的坐标是　(-a,-b)　.
图15-2-42
【评价角度2】 根据轴对称的点的坐标特征确定字母的取值
方法指引:在平面直角坐标系中,若成轴对称的两个点的坐标中包含字母,则先根据轴对称的点的坐标特征确定字母的值,再求含有字母的式子的值.
例　若点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称,则m+n的值是 (D)
A.-5 B.-3 C.3 D.1
【评价角度3】 作规则图形关于坐标轴的对称图形
方法指引:(1)计算——计算已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标;(2)描点——根据对称点的坐标描点;(3)连接——依次连接所描各点得到对称图形.
例　如图15-2-43所示,已知点A(-1,4),B(3,3),C(1,1),分别作△ABC关于x轴和y轴对称的图形.
图15-2-43
解:点A(-1,4),B(3,3),C(1,1)关于x轴的对称点分别为A'(-1,-4),B'(3,-3),C'(1,-1),依次连接各点得到△A'B'C';点A(-1,4),B(3,3),C(1,1)关于y轴的对称点分别为A″(1,4),B″(-3,3),C″(-1,1),依次连接各点得到△A″B″C″,如图15-2-44所示.
【评价角度4】 作规则图形关于直线x=m(或y=n)(m,n为常数)对称的图形
方法指引:推广轴对称的点的坐标特征,可得:对于点A(x1,y1)与点B(x2,y2),如果它们关于直线x=m对称,那么x1+x2=2m,y1=y2;如果它们关于直线y=n对称,那么x1=x2,y1+y2=2n.
例1　如图15-2-44,在平面直角坐标系中,△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称,点C的坐标为(4,1),则点B的坐标为 (A)
图15-2-44
A.(-2,1) B.(-3,1) C.(-2,-1) D.(-3,-1)
　　例2　如图15-2-45所示,△ABC与△A'B'C'存在着一种对称关系.
图15-2-45
(1)试写出点A,B,C,A'的坐标,分析这两个三角形关于哪条直线对称,点A与A'的横坐标与纵坐标有什么关系;
(2)如果△ABC内一点M与△A'B'C'内一点M'是对应点,且M(x,y),求点M'的坐标.
解:(1)从图中看出:点A(3,6),B(2,3),C(6,3),A'(3,0),这两个三角形关于直线y=3对称,点A与A'的横坐标相等,纵坐标之和为6.
(2)∵△ABC内一点M与△A'B'C'内一点M'是对称点,
∴点M(x,y)与M'关于直线y=3对称,则点M'的坐标为(x,6-y).
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