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湖南省怀化市溆浦一中2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．（2024九上·溆浦开学考）下列函数：，，，，，，，其中是的反比例函数的有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解： ①y=x 2是一次函数，不满足反比例函数的形式；
显然满足反比例函数的形式，其中k=3；
③满足反比例函数的形式，其中k=1；
不满足反比例函数的形式，因为分母为x+1而不是x；
⑤xy=11是隐式表达式，但可以通过变形为，这满足反比例函数的形式，其中 k = 11；
中没有强调k≠0，故不满足条件；
不满足反比例函数的形式，因为它不是的形式；
即 y = x 是一次函数，不满足反比例函数的形式；
因此，只有②、③、⑤满足反比例函数的定义，共3个。
故答案为：C.
【分析】对照反比例函数即可判断
①函数y=x 2不满足反比例函数的形式；
②函数满足反比例函数的形式；
③函数可以变形为；
④函数分母中不是只有x；
⑤函数可以变形为；
⑥函数中没有强调k≠0；
⑦函数分母中为不满足反比例函数的形式；
⑧函数可以变形为为一次函数；
2．（2024九上·溆浦开学考）若方程是关于的一元二次方程，则的值为(　　)
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意可知：
，
解之可得m=-1，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断，可知|m|+1=2，m-1≠0，解之可得m的取值范围.
3．（2024九上·溆浦开学考）关于反比例函数，点在它的图象上，下列说法中错误的是(　　)
A．当时，随的增大而增大 B．图象位于第二、四象限
C．点和都在该图象上 D．当时，
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A选项：根据反比例函数的性质，-4<0，可知函数在每个象限内，y随x的增大而增大，正确，故选项A不符合题意；
B选项：根据反比例函数的图象与性质，k=-4<0，所以知函数图象位于二、四象限，正确，故选项B不符号题意；
C选项：将点和 代入反比例函数解析式，均可得到ab=4，正确，故选项C不符合题意；
D选项：根据反比例函数的图象与性质，当x=-1时，y=4，而y随着x的增大而增大，所以可得到0故答案为：D.
【分析】A：根据反比例函数的性质，-4<0，可以判断；
B：根据反比例函数的图象与性质，-4<0，可以确定图象的位置；
C：将点代入反比例函数解析式，即可判断；
D：根据反比例函数的图象与性质，令x=1，得出y的值，结合图象的位置即可判断.
4．（2024九上·溆浦开学考）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为(　　)
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解： 根据一元二次方程的判别式，有Δ=b2 4ac=( 2m)2 4×(1)×( 4m+5)=4m2+16m 20，
要使方程有两个相等的实数根，判别式必须等于零，即4m2+16m 20=0 ，
化简得m2+4m 5=0 ，
( m + 5 ) ( m 1 ) = 0
方程的解为m= 5或m=1 。
故答案为：C.
【分析】根据题意，方程有两个相等的实数根，其判别式必须为零，然后列出关于m的方程，解之即可.
5．（2024九上·溆浦开学考）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据图象可知，y1在第一象限，y2和y3在第二象限，
根据反比例函数的性质，可知k1>0，k2<0，k3<0，
然后根据函数图象离原点越远，|k|的绝对值越大，
可知|k3|<|k2|，
所以k3>k2，
所以k1>k3>k2，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象，可知k1>0，k2<0，k3<0，根据反比例函数中|k|越大，函数图象离原点越远，进行可以判断k2和k3的大小.
6．（2024九上·溆浦开学考）已知函数中，在每个象限内，随的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正比例函数的图象
【解析】【解答】解： 已知函数中，在每个象限内，随的增大而增大，
所以得到k<0，函数图象位于二、四象限，
然后对函数，因为k<0，
所以正比例函数也经过二、象限，
所以满足条件的为选项B，
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的图象与性质，可知在每个象限内，随的增大而增大，得到k<0，然后确定反比例函数 和正比例函数 在同一直角坐标系中的图象即可确定.
7．（2024九上·溆浦开学考）九章算术是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽另有一竹竿，也不知竹竿的长短竹竿横着放时比门的宽长尺，竹竿竖着放时比门的高长尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长若设门的对角线长为尺，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解： 解：根据题意，设门的对角线长度（即竹竿斜放时的长度）为x尺。
因为竹竿横着放时比门的宽长4尺，所以门的宽为(x-4)尺。
因为竹竿竖着放时比门的高长2尺，所以门的高为(x-2)尺。
由于门的对角线、宽和高满足勾股定理，因此有：
x2 =(x 4)2+(x 2)2，
故答案为：C.
【分析】 根据题目可知竹竿斜放时与门的对角线相等，然后根据竹竿横放和竖放时与门的宽和高的关系，确定门的宽、高与竹竿长度之间的关系，最后利用勾股定理列出方程，并解出竹竿的长度，即门的对角线长度.
8．（2024九上·溆浦开学考） 已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（　　）
A．23 B．15 C．10 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是不为0的实数，
∴由 得
又·.
∴m，n为一元二次方程 的两个不相等实根，
=23，
故答案为： A.
【分析】将 进行变形可知m，n为方程 的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到m+n，mn的值，再利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值.
9．（2024九上·溆浦开学考）如图，点、是反比例函数图象上任意两点，且轴于点，轴于点，和面积之和为，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意可知，点A和点B均在反比例函数图象上，且轴于点，轴于点，
∴，
∵和面积之和为，
∴，
解得k=6或-6，
根据图象可知，图象位置二、四象限，
∴k<0，
∴k=-6，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的k值的几何意义可知，和面积均为，进而可得的值，然后根据图象所在的象限，可得k的值.
10．（2024九上·溆浦开学考）两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；
④连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
∵△ODP的面积=△OCP的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点．
故一定正确的是①②④．
故选C．
【分析】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11．（2024九上·溆浦开学考）三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是　 　．
【答案】13
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程x2 6x+8=0：
解得：x1=4，x2=2，
已知三角形的两边长分别为3和6，
∴第三边的长度范围 3 < x < 9 。
∴x=4是唯一符合条件的解，
∴三角形的周长为3+6+4=13，
故答案为：13.
【分析】首先解一元二次方程，然后根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进行而到第三边的长度，最后计算周长即可.
12．（2024九上·溆浦开学考）若点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是　 　用“”连接．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 因为点，，都在函数的图象上
所以将A，B，C代入解析式可得：
y1=1，，y3=-3，
因为，
所以，
故答案为：.
【分析】根据题意将A，B，C代入函数解析式，可得y1，y2，y3的值，然后比较其大小即可.
13．（2024九上·溆浦开学考）如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的长为，则宽为，因为矩形的面积为，则可列方程：，方程可化为：即，解得：，因为故矩形的长为
故答案为：.
【分析】设长，，则宽为，然后根据面积为的矩形列出方程即可求解.
14．（2024九上·溆浦开学考）已知一个一元二次方程的二次项系数是，一个根是，另一个根是，则这个方程为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 根据题意，设这个方程为x2+bx+c=0，
已知两个根为x1=3，x2=-2，由根与系数关系可得：
，
所以b=-1，c=-6，
将求得的系数代入原方程，得到最终的一元二次方程：x2-x 6=0，
故答案为：x2-x 6=0.
【分析】根据题目给出的一元二次方程的形式设方程为x2+bx+c=0，然后根据题目给出的两个根，我们利用根与系数的关系来求解方程的其他系数，将求得的系数代入原方程，得到最终的一元二次方程.
15．（2024九上·溆浦开学考）设，分别为方程的两个实数根，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意知，m和n是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，
根据根与系数的关系，我们有：m+n=-2，
由于m是方程的根，所以：m2+2m-2025=0
即m2+2m=2025，
所以m2+3m+n=m2+2m+(m + n)
=2025+(-2)
=2023，
故答案为：2023.
【分析】首先根据根与系数的关系，我们可以找到m+n=-2的关系，然后利用方程解的定义，我们可以将m代入方程，得到m2+2m-2025=0，然后将所求代入数进行变形，整体代入即可.
16．（2024九上·溆浦开学考）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：
与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 根据题目中的定义，我们知道两个二次方程是“同族二次方程”，当且仅当它们可以写成与的形式，其中c和k是常数，
(m+2)x2+(n 4)x+8=0和2(x 1)2+1=0，这两个方程是否为“同族二次方程”，
将(m+2)x2+(n 4)x+8=0重写为(m+2)(x 1)2+1=0，
通过比较这两个方程，我们可以列出方程组：，
解这个方程组，我们得到：
，
将m和n的值代入所求的代数式中：5x2 10x+2029=5(x 1)2+2024，
因为(x 1)2≥0，
所以代数式的最小值为2024。
故答案为：2024.
【分析】 首先理解题目中给出的“同族二次方程”的定义，然后根据给定的两个具体方程，利用多项式相等的条件列出方程组，并求解得到m和n的值，最后将m和n的值代入所求的代数式中，利用完全平方公式化简，得到代数式的最小值.
17．（2024九上·溆浦开学考）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点，，，，在反比例函数的图象上，它们的纵坐标分别为，，，，，横坐标分别为，，，，共个偶数，过点，，，分别作轴的垂线，与的图象交点依次为，，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，，，在反比例函数的图象上，横坐标分别为，，，，共个偶数， 它们的纵坐标分别为，，，，，
∴，，，......，
把代入 可得：
，
故答案为：2021.
【分析】根据题意可知 点，，，，在反比例函数的图象上，横坐标分别为，，，，共个偶数，可以求出纵坐标，，，，的值，然后将其代入反比例函数，可以得出 的值.
三、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2024九上·溆浦开学考）已知是关于的反比例函数，求的值．
【答案】解：因为是关于的反比例函数，
所以，解得，，
所以，
所以
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【分析】根据题意可知，解之可得m的值，然后将m的值代入即可.
19．（2024九上·溆浦开学考）解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
解得
（2）解：，
，，，
，
，
解得
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用将一元二次方程进行变形，利用直接开平方解之即可；
（2）对照一般式，确定a，b，c的值，用公式法解一元二次方程即可.
20．（2024九上·溆浦开学考）已知：与成正比例，与成反比例，，当时，，时，，求与的函数解析式．
【答案】解：与成正比例，，
与成反比例，，
，
，
当时，，时，，
，
，
【知识点】函数解析式；成正比例的量及其意义；成反比例的量及其意义
【解析】【分析】理解题意，设，，得到，然后将两组x和y的值代入，解之可得m和n的值即可.
21．（2024九上·溆浦开学考）已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）解：方程有两个实数根，
，
解得：
（2）解：方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，可知根的判别式，进而解得k的取值范围；
（2）一元二次方程有两个实数根 ，，根据根与系数关系得到，，然后利用完全平方公进行变形，解得k的值即可.
22．（2024九上·溆浦开学考）已知关于的函数图象经过点．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，若反比例函数的图象也经过点，求的值．
【答案】（1）解：关于的函数图象经过点，
（2）解：当时，则，
反比例函数的图象也经过点，
，
的值为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将代入关于的函数，然后变形可用含的代数式表示；
（2）由（1）得n=m+1， 当时可得点A的坐标，然后将A点坐标代入反比例函数可解得k的值.
23．（2024九上·溆浦开学考）大运会期间，某网店直接从工厂购进，两款纪念币，进货价和销售价如表所示：注：利润销售价进货价
类别价格 款纪念币 款纪念币
进货价元枚
销售价元枚
（1）网店第一次用元购进，两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的，两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚进货价和销售价都不变；且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出枚，经调查发现，每枚款纪念币每降价元，平均每天可多售出枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为元？
【答案】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个，
，
解得，
答：购进款纪念币个，款纪念币个
（2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增小，
当时，取得最大值，最大值元，
此时个．
即购买个款，个款，网店可获得的最大利润是元
（3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件元或元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意设购进款纪念币个，款纪念币个，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得x，y的值；
（2）设购进m个A款纪念币，则购进(80-m)个B款纪念币，然后根据题意列出关于m的不等式，解之得到m的取值范围，然后列出总利润w关于m的解析式，根据一次函数的性质得到最大值；
（3） 设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，然后根据利润=单个利润×销量列出关于a的一元二次方程，然后解方程可得a的值.
24．（2024九上·溆浦开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，设直线交轴于点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）直接写出的解集．
（3）若点是反比例函数图象上的一点，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标．
【答案】（1）解：将点代入得，，
，
将点代入得，，
，
将点，代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为
（2）解：由图象知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
不等式的解集为：或.
（3）解：当时，，
，
，
，
点在的垂直平分线上，
点的横坐标为，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点A代入反比例函数中可得k2的值，然后将点B代入反比例函数得到a的值，然后点A，B代入 一次函数，得到关于k1，b的值，即可得到一次函数解析式；
（2）根据图象的解集即为一次函数在反比例函数下方的部分对应的自变量的取值范围；
（3）首先令y=0，得到点C的坐标，然后根据PC=OP，可以确定点P在OC的垂直平分线上，从而确定点P的横坐标，代入反比例函数解析式得到点P的坐标.
25．（2024九上·溆浦开学考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则　 　；
（2）若是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之间的关系．
【答案】（1）
（2）解：解方程得，，．
方程两根是倍关系，
或，
当时，，即，
代入代数式，
当时，，即，
代入代数式．
综上所述，
（3）解：根据“倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和．
原方程可以改写为，
，
．
解得．
，，之间的关系是
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）根据"倍根方程"的定义，设其两个根为t和2t，
由根与系数的关系可得：
，
解得，
所以 当方程是“倍根方程”时， c=2，
故答案为：2.
【分析】（1）根据"倍根方程"的定义，设其两个根为t和2t，然后利用根与系数关系，得到t+2t=3t=3，t×2t=2t2=c ，解之可知c的值；
（2）解方程得，，，然后根据"倍根方程"的定义，得到x2的值，然后代入可得m与n的关系，然后代入代数式即可；
（3）根据"倍根方程"的定义，设其两个根为t和2t，然后将方程改写成，得到b，c与a，t的关系，然后得到a，b，c的关系.
26．（2024九上·溆浦开学考）如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿匀速向终点运动，点不与点、重合，连接、设点的运动时间为秒．
（1）求的长；
（2）用含的代数式表示的长；
（3）在点运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积；
（4）点在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点为顶点的等腰三角形且不是直角三角形时，直接写出的值．
【答案】（1）解：，的面积为，是边上的高，
，
，解得
（2）解：，，
，
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿匀速向终点运动，
当点在上运动时即时，
有，
，
当点在上运动时即时，
，
综上所述，当时，；当时，
（3）解：当点在上运动，为等腰直角三角形时，
有，
，解得，
，
，
的面积为：；
当点在上运动时，为等腰直角三角形时，
有，
，
，
，
，
的面积为：；
综上所述，的面积为或
（4）解：点在上运动，图中存在以点为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况：
为等腰三角形，，
，
，
，
秒，
为等腰三角形，，
，
整理得，解得不合题意，舍去，，
为等腰三角形，，
即，解得．
综上所述，或或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1） ，的面积为 ， 是边上的高 ，然后根据三角形面积公式可以求得AD的长度；
（2）在Rt△ABD中，根据勾股定理得到BD的长，然后分点P在BD上运动和点P在DA上运动时两种情况是到PD的长度即可；
（3）在点P的运动过程中，当△APD为等腰直角三角形时和△PDC为等腰直角三角形两种情况，分别求出△ACP的面积即可；
（4）根据题目要求，分析△APC，△APB，△ABP是否能成为等腰三角形且非直角三角形，然后结合勾股定理进行计算即可.
1 / 1湖南省怀化市溆浦一中2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．（2024九上·溆浦开学考）下列函数：，，，，，，，其中是的反比例函数的有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2024九上·溆浦开学考）若方程是关于的一元二次方程，则的值为(　　)
A． B． C． D．不存在
3．（2024九上·溆浦开学考）关于反比例函数，点在它的图象上，下列说法中错误的是(　　)
A．当时，随的增大而增大 B．图象位于第二、四象限
C．点和都在该图象上 D．当时，
4．（2024九上·溆浦开学考）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为(　　)
A． B． C．或 D．或
5．（2024九上·溆浦开学考）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为(　　)
A． B． C． D．
6．（2024九上·溆浦开学考）已知函数中，在每个象限内，随的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是(　　)
A． B．
C． D．
7．（2024九上·溆浦开学考）九章算术是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽另有一竹竿，也不知竹竿的长短竹竿横着放时比门的宽长尺，竹竿竖着放时比门的高长尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长若设门的对角线长为尺，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
8．（2024九上·溆浦开学考） 已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（　　）
A．23 B．15 C．10 D．5
9．（2024九上·溆浦开学考）如图，点、是反比例函数图象上任意两点，且轴于点，轴于点，和面积之和为，则的值为(　　)
A． B． C． D．
10．（2024九上·溆浦开学考）两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11．（2024九上·溆浦开学考）三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是　 　．
12．（2024九上·溆浦开学考）若点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是　 　用“”连接．
13．（2024九上·溆浦开学考）如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为　 　．
14．（2024九上·溆浦开学考）已知一个一元二次方程的二次项系数是，一个根是，另一个根是，则这个方程为　 　．
15．（2024九上·溆浦开学考）设，分别为方程的两个实数根，则　 　．
16．（2024九上·溆浦开学考）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：
与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　 　．
17．（2024九上·溆浦开学考）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点，，，，在反比例函数的图象上，它们的纵坐标分别为，，，，，横坐标分别为，，，，共个偶数，过点，，，分别作轴的垂线，与的图象交点依次为，，，，，则　 　．
三、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2024九上·溆浦开学考）已知是关于的反比例函数，求的值．
19．（2024九上·溆浦开学考）解下列方程：
（1）；
（2）．
20．（2024九上·溆浦开学考）已知：与成正比例，与成反比例，，当时，，时，，求与的函数解析式．
21．（2024九上·溆浦开学考）已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
22．（2024九上·溆浦开学考）已知关于的函数图象经过点．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，若反比例函数的图象也经过点，求的值．
23．（2024九上·溆浦开学考）大运会期间，某网店直接从工厂购进，两款纪念币，进货价和销售价如表所示：注：利润销售价进货价
类别价格 款纪念币 款纪念币
进货价元枚
销售价元枚
（1）网店第一次用元购进，两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的，两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚进货价和销售价都不变；且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出枚，经调查发现，每枚款纪念币每降价元，平均每天可多售出枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为元？
24．（2024九上·溆浦开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，设直线交轴于点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）直接写出的解集．
（3）若点是反比例函数图象上的一点，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标．
25．（2024九上·溆浦开学考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则　 　；
（2）若是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之间的关系．
26．（2024九上·溆浦开学考）如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿匀速向终点运动，点不与点、重合，连接、设点的运动时间为秒．
（1）求的长；
（2）用含的代数式表示的长；
（3）在点运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积；
（4）点在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点为顶点的等腰三角形且不是直角三角形时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解： ①y=x 2是一次函数，不满足反比例函数的形式；
显然满足反比例函数的形式，其中k=3；
③满足反比例函数的形式，其中k=1；
不满足反比例函数的形式，因为分母为x+1而不是x；
⑤xy=11是隐式表达式，但可以通过变形为，这满足反比例函数的形式，其中 k = 11；
中没有强调k≠0，故不满足条件；
不满足反比例函数的形式，因为它不是的形式；
即 y = x 是一次函数，不满足反比例函数的形式；
因此，只有②、③、⑤满足反比例函数的定义，共3个。
故答案为：C.
【分析】对照反比例函数即可判断
①函数y=x 2不满足反比例函数的形式；
②函数满足反比例函数的形式；
③函数可以变形为；
④函数分母中不是只有x；
⑤函数可以变形为；
⑥函数中没有强调k≠0；
⑦函数分母中为不满足反比例函数的形式；
⑧函数可以变形为为一次函数；
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意可知：
，
解之可得m=-1，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断，可知|m|+1=2，m-1≠0，解之可得m的取值范围.
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A选项：根据反比例函数的性质，-4<0，可知函数在每个象限内，y随x的增大而增大，正确，故选项A不符合题意；
B选项：根据反比例函数的图象与性质，k=-4<0，所以知函数图象位于二、四象限，正确，故选项B不符号题意；
C选项：将点和 代入反比例函数解析式，均可得到ab=4，正确，故选项C不符合题意；
D选项：根据反比例函数的图象与性质，当x=-1时，y=4，而y随着x的增大而增大，所以可得到0故答案为：D.
【分析】A：根据反比例函数的性质，-4<0，可以判断；
B：根据反比例函数的图象与性质，-4<0，可以确定图象的位置；
C：将点代入反比例函数解析式，即可判断；
D：根据反比例函数的图象与性质，令x=1，得出y的值，结合图象的位置即可判断.
4．【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解： 根据一元二次方程的判别式，有Δ=b2 4ac=( 2m)2 4×(1)×( 4m+5)=4m2+16m 20，
要使方程有两个相等的实数根，判别式必须等于零，即4m2+16m 20=0 ，
化简得m2+4m 5=0 ，
( m + 5 ) ( m 1 ) = 0
方程的解为m= 5或m=1 。
故答案为：C.
【分析】根据题意，方程有两个相等的实数根，其判别式必须为零，然后列出关于m的方程，解之即可.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据图象可知，y1在第一象限，y2和y3在第二象限，
根据反比例函数的性质，可知k1>0，k2<0，k3<0，
然后根据函数图象离原点越远，|k|的绝对值越大，
可知|k3|<|k2|，
所以k3>k2，
所以k1>k3>k2，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象，可知k1>0，k2<0，k3<0，根据反比例函数中|k|越大，函数图象离原点越远，进行可以判断k2和k3的大小.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正比例函数的图象
【解析】【解答】解： 已知函数中，在每个象限内，随的增大而增大，
所以得到k<0，函数图象位于二、四象限，
然后对函数，因为k<0，
所以正比例函数也经过二、象限，
所以满足条件的为选项B，
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的图象与性质，可知在每个象限内，随的增大而增大，得到k<0，然后确定反比例函数 和正比例函数 在同一直角坐标系中的图象即可确定.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解： 解：根据题意，设门的对角线长度（即竹竿斜放时的长度）为x尺。
因为竹竿横着放时比门的宽长4尺，所以门的宽为(x-4)尺。
因为竹竿竖着放时比门的高长2尺，所以门的高为(x-2)尺。
由于门的对角线、宽和高满足勾股定理，因此有：
x2 =(x 4)2+(x 2)2，
故答案为：C.
【分析】 根据题目可知竹竿斜放时与门的对角线相等，然后根据竹竿横放和竖放时与门的宽和高的关系，确定门的宽、高与竹竿长度之间的关系，最后利用勾股定理列出方程，并解出竹竿的长度，即门的对角线长度.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是不为0的实数，
∴由 得
又·.
∴m，n为一元二次方程 的两个不相等实根，
=23，
故答案为： A.
【分析】将 进行变形可知m，n为方程 的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到m+n，mn的值，再利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意可知，点A和点B均在反比例函数图象上，且轴于点，轴于点，
∴，
∵和面积之和为，
∴，
解得k=6或-6，
根据图象可知，图象位置二、四象限，
∴k<0，
∴k=-6，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的k值的几何意义可知，和面积均为，进而可得的值，然后根据图象所在的象限，可得k的值.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；
④连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
∵△ODP的面积=△OCP的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点．
故一定正确的是①②④．
故选C．
【分析】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．
11．【答案】13
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程x2 6x+8=0：
解得：x1=4，x2=2，
已知三角形的两边长分别为3和6，
∴第三边的长度范围 3 < x < 9 。
∴x=4是唯一符合条件的解，
∴三角形的周长为3+6+4=13，
故答案为：13.
【分析】首先解一元二次方程，然后根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进行而到第三边的长度，最后计算周长即可.
12．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 因为点，，都在函数的图象上
所以将A，B，C代入解析式可得：
y1=1，，y3=-3，
因为，
所以，
故答案为：.
【分析】根据题意将A，B，C代入函数解析式，可得y1，y2，y3的值，然后比较其大小即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的长为，则宽为，因为矩形的面积为，则可列方程：，方程可化为：即，解得：，因为故矩形的长为
故答案为：.
【分析】设长，，则宽为，然后根据面积为的矩形列出方程即可求解.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 根据题意，设这个方程为x2+bx+c=0，
已知两个根为x1=3，x2=-2，由根与系数关系可得：
，
所以b=-1，c=-6，
将求得的系数代入原方程，得到最终的一元二次方程：x2-x 6=0，
故答案为：x2-x 6=0.
【分析】根据题目给出的一元二次方程的形式设方程为x2+bx+c=0，然后根据题目给出的两个根，我们利用根与系数的关系来求解方程的其他系数，将求得的系数代入原方程，得到最终的一元二次方程.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意知，m和n是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，
根据根与系数的关系，我们有：m+n=-2，
由于m是方程的根，所以：m2+2m-2025=0
即m2+2m=2025，
所以m2+3m+n=m2+2m+(m + n)
=2025+(-2)
=2023，
故答案为：2023.
【分析】首先根据根与系数的关系，我们可以找到m+n=-2的关系，然后利用方程解的定义，我们可以将m代入方程，得到m2+2m-2025=0，然后将所求代入数进行变形，整体代入即可.
16．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 根据题目中的定义，我们知道两个二次方程是“同族二次方程”，当且仅当它们可以写成与的形式，其中c和k是常数，
(m+2)x2+(n 4)x+8=0和2(x 1)2+1=0，这两个方程是否为“同族二次方程”，
将(m+2)x2+(n 4)x+8=0重写为(m+2)(x 1)2+1=0，
通过比较这两个方程，我们可以列出方程组：，
解这个方程组，我们得到：
，
将m和n的值代入所求的代数式中：5x2 10x+2029=5(x 1)2+2024，
因为(x 1)2≥0，
所以代数式的最小值为2024。
故答案为：2024.
【分析】 首先理解题目中给出的“同族二次方程”的定义，然后根据给定的两个具体方程，利用多项式相等的条件列出方程组，并求解得到m和n的值，最后将m和n的值代入所求的代数式中，利用完全平方公式化简，得到代数式的最小值.
17．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，，，在反比例函数的图象上，横坐标分别为，，，，共个偶数， 它们的纵坐标分别为，，，，，
∴，，，......，
把代入 可得：
，
故答案为：2021.
【分析】根据题意可知 点，，，，在反比例函数的图象上，横坐标分别为，，，，共个偶数，可以求出纵坐标，，，，的值，然后将其代入反比例函数，可以得出 的值.
18．【答案】解：因为是关于的反比例函数，
所以，解得，，
所以，
所以
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【分析】根据题意可知，解之可得m的值，然后将m的值代入即可.
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
解得
（2）解：，
，，，
，
，
解得
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用将一元二次方程进行变形，利用直接开平方解之即可；
（2）对照一般式，确定a，b，c的值，用公式法解一元二次方程即可.
20．【答案】解：与成正比例，，
与成反比例，，
，
，
当时，，时，，
，
，
【知识点】函数解析式；成正比例的量及其意义；成反比例的量及其意义
【解析】【分析】理解题意，设，，得到，然后将两组x和y的值代入，解之可得m和n的值即可.
21．【答案】（1）解：方程有两个实数根，
，
解得：
（2）解：方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，可知根的判别式，进而解得k的取值范围；
（2）一元二次方程有两个实数根 ，，根据根与系数关系得到，，然后利用完全平方公进行变形，解得k的值即可.
22．【答案】（1）解：关于的函数图象经过点，
（2）解：当时，则，
反比例函数的图象也经过点，
，
的值为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将代入关于的函数，然后变形可用含的代数式表示；
（2）由（1）得n=m+1， 当时可得点A的坐标，然后将A点坐标代入反比例函数可解得k的值.
23．【答案】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个，
，
解得，
答：购进款纪念币个，款纪念币个
（2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增小，
当时，取得最大值，最大值元，
此时个．
即购买个款，个款，网店可获得的最大利润是元
（3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件元或元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意设购进款纪念币个，款纪念币个，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得x，y的值；
（2）设购进m个A款纪念币，则购进(80-m)个B款纪念币，然后根据题意列出关于m的不等式，解之得到m的取值范围，然后列出总利润w关于m的解析式，根据一次函数的性质得到最大值；
（3） 设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，然后根据利润=单个利润×销量列出关于a的一元二次方程，然后解方程可得a的值.
24．【答案】（1）解：将点代入得，，
，
将点代入得，，
，
将点，代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为
（2）解：由图象知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
不等式的解集为：或.
（3）解：当时，，
，
，
，
点在的垂直平分线上，
点的横坐标为，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点A代入反比例函数中可得k2的值，然后将点B代入反比例函数得到a的值，然后点A，B代入 一次函数，得到关于k1，b的值，即可得到一次函数解析式；
（2）根据图象的解集即为一次函数在反比例函数下方的部分对应的自变量的取值范围；
（3）首先令y=0，得到点C的坐标，然后根据PC=OP，可以确定点P在OC的垂直平分线上，从而确定点P的横坐标，代入反比例函数解析式得到点P的坐标.
25．【答案】（1）
（2）解：解方程得，，．
方程两根是倍关系，
或，
当时，，即，
代入代数式，
当时，，即，
代入代数式．
综上所述，
（3）解：根据“倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和．
原方程可以改写为，
，
．
解得．
，，之间的关系是
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）根据"倍根方程"的定义，设其两个根为t和2t，
由根与系数的关系可得：
，
解得，
所以 当方程是“倍根方程”时， c=2，
故答案为：2.
【分析】（1）根据"倍根方程"的定义，设其两个根为t和2t，然后利用根与系数关系，得到t+2t=3t=3，t×2t=2t2=c ，解之可知c的值；
（2）解方程得，，，然后根据"倍根方程"的定义，得到x2的值，然后代入可得m与n的关系，然后代入代数式即可；
（3）根据"倍根方程"的定义，设其两个根为t和2t，然后将方程改写成，得到b，c与a，t的关系，然后得到a，b，c的关系.
26．【答案】（1）解：，的面积为，是边上的高，
，
，解得
（2）解：，，
，
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿匀速向终点运动，
当点在上运动时即时，
有，
，
当点在上运动时即时，
，
综上所述，当时，；当时，
（3）解：当点在上运动，为等腰直角三角形时，
有，
，解得，
，
，
的面积为：；
当点在上运动时，为等腰直角三角形时，
有，
，
，
，
，
的面积为：；
综上所述，的面积为或
（4）解：点在上运动，图中存在以点为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况：
为等腰三角形，，
，
，
，
秒，
为等腰三角形，，
，
整理得，解得不合题意，舍去，，
为等腰三角形，，
即，解得．
综上所述，或或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1） ，的面积为 ， 是边上的高 ，然后根据三角形面积公式可以求得AD的长度；
（2）在Rt△ABD中，根据勾股定理得到BD的长，然后分点P在BD上运动和点P在DA上运动时两种情况是到PD的长度即可；
（3）在点P的运动过程中，当△APD为等腰直角三角形时和△PDC为等腰直角三角形两种情况，分别求出△ACP的面积即可；
（4）根据题目要求，分析△APC，△APB，△ABP是否能成为等腰三角形且非直角三角形，然后结合勾股定理进行计算即可.
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