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四川省广元市2025年中考数学试卷
1．（2025·广元）的相反数是（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵=2
∴的相反数是-2.
故答案为：B
【分析】利用算术平方根的性质可求出的值，然后求出其相反数即可
2．（2025·广元）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图不相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、此几何体的主视图是三角形，左视图是矩形，故A符合题意；
B、此几何体的主视图和左视图都是共底边的两个相同的等腰三角形，故B不符合题意；
C、此几何体的主视图和左视图都是矩形，故C不符合题意；
D、此几何体的主视图和左视图都相同，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，左视图就是从几何体的左边所看到的平面图形，再观察个选项中的几何体，可得到主视图和左视图不相同的选项
3．（2025·广元）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、不能计算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对A作出判断；只有同类项才能合并，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用完全平方公式，可对D作出判断.
4．（2025·广元）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是（　　）
A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵5出现了3次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是5，故A不符合题意；
B、这组数据的平均数是，故B不符合题意；
C、将此组数据从小到大排列，处于最中间的两个数是4和4
∴这组数据的中位数是4，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一组数据中出现次数最多的数是众数，可对A作出判断；利用平均数公式可求出这组数据的平均数，可对B作出判断；利用求中位数的方法求出这组数据的中位数，可对C作出判断；利用方差公式进行计算，可对D作出判断
5．（2025·广元）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设花卉带的宽度为xcm，根据题意得
故答案为：D.
【分析】 设花卉带的宽度为xcm，根据草坪的面积为总面积的，列方程即可
6．（2025·广元）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵点E是DP的中点，
∴OE是△DPB的中位线，
∴OE=PB，
∵点P是的中点，
∴PB=AB=4，
∴OE=2.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质可证得OB=OD，结合已知条件可证得OE是△DPB的中位线，利用三角形的中位线定理可证得OE=PB，然后利用中点的定义可求出PB的长，即可得到OE的长.
7．（2025·广元）如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵正八边形ABCDEFGH，
∴∠HAB=∠ABC=，AB=AH=BC，
∴∠ABH=∠AHB=（180°-145°）=22.5°，∠BAK=∠ACB=（180°-145°）=22.5°，
∴∠AKH=∠ABH+∠BAK=22.5°+22.5°=45°.
故答案为：D.
【分析】利用正八边形的性质可求出∠HAB、∠ABC的度数，同时可证得AB=AH=BC，利用等边对等角及三角形内角和定理可求出∠ABH、∠BAK的度数，然后利用三角形外角的性质可求出∠AKH的度数.
8．（2025·广元）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
9．（2025·广元）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．当时， D．的周长为
【答案】D
【知识点】正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】 解：由△ABC的运动可知，等腰△ABC和正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶点之后，重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，记HE的中点为I，由图象可知当t=2时，y=2，此时点C落在HE上，如图，
则BI=2×1=2，
由题意可知AB⊥HE，
∵等腰△ABC，
∴CA=BC，
∴AB=2BI=4，
∴
解之：CI=BI=2，
∴此时△CIB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵CA=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠ACB=90°，故A、B正确，不符合题意；
当0≤t≤2时，重叠部分记为△IJB，
由题意可知BI=t，∠B=45°，AE⊥HE，
∴△BJI是等腰直角三角形，
∴，故C正确，不符合题意；
由函数图象可知当t=6时，运动停止，那么△ABC的顶点B从点I运动到点D用时6s，如图，
DI=EF=6，
∵四边形HEFG是正方形
∴EF=FG=6，∠F=90°，
由题意可知点D为BC的中点，
∴DF=3，
∴，
∴△EFD的周长为，故D错误，符合题意
故答案为：D.
【分析】由△ABC的运动可知，等腰△ABC和正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶点之后，重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，记HE的中点为I，由图象可知当t=2时，y=2，此时点C落在HE上，可求出BI的长，利用等腰三角形三线合一可求出AB的长，可对A作出判断；利用三角形的面积可求出CI的长，同时可证得△CIB是等腰直角三角形，即可求出∠ACB的度数，可对B作出判断；当0≤t≤2时，重叠部分记为△IJB，利用已知可得到IJ=IB=t，利用三角形的面积公式可表示出y与t的关系式，可对C作出判断；由函数图象可知当t=6时，运动停止，那么△ABC的顶点B从点I运动到点D用时6s，利用正方形的性质可得到EF的长，同时可求出DF的长，利用勾股定理求出DE的长，可得到△EFD的周长，可对D作出判断.
10．（2025·广元）已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m n s …
其中．以下结论：①；②若抛物线经过点则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④；⑤当时，y的最小值是1，则或4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表中可知点（1，-4），（3，-4）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴b=-4a，
∴y=ax2-4ax+c，
∵当x=0时y=c，
∴m=c；
∵0＜m＜2
∴0＜c＜2，
∴m＞-4，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，b＜0，c＞0
∴abc＜0，故①正确；
∵7-2＞|-2-2|
∵抛物线的开口向上，抛物线离对称轴距离越远的点对应的y的值越大，
∴ ，故②正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，
∴（0，m）和（4，s）关于直线x=2对称，
∴m=s=c，
∵0＜s＜2，当s＞1时，0＜s-1＜1，
关于x的方程
∴
当s=1时，，方程有两个根；
当s＜1时，方程没有实数根；
当s＞1时，有4个实数根，故③错误；
当x=2时n=4a+2b+c=4a-8a+c=-4a+c，
当x=1时，a+b+c=-4，
当x=3时，9a+3b+c=-4，
∵b=-4a，
∴9a-12a+c=-4，
∴c=3a-4，
∴n=-4a+3a-4=-a-4，
s=m=c=3a-4，
∴s+n=2a-8，
∵0＜m＜2
∴0＜3a-4＜2
∴
∴即即，故④正确；
∵当m=1时即s=m=c=1，
∴抛物线经过点（0，1）、（4，1）
∵当 时，y的最小值是1，
∴t+2≤0或t≥4，
当t+2≤0时，t≤-2；
∴t=-2或t=4时，与结论t=2不符合，故⑤错误；
综上所述正确结论为①②④
故答案为：C.
【分析】利用表中数据及二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴，可得到b与a的数量关系，可将函数解析式转化为y=ax2-4ax+c，可得到m=c，根据m的取值范围，可确定出a＞0，b＜0，c＞0，可对①作出判断；再利用二次函数的增减性，可对②作出判断；利用二次函数的对称性可推出m=s=c，根据s的取值范围可得到s-1的取值范围，可将方程转化为，分情况讨论：当s=1时；当s＜1时；当s＞1时；分别可得到方程根的个数，可对③作出判断；分别将x=2、1、3代入函数解析式，可得到关于a、b、c的方程组。可用含a的代数式表示出c，从而可推出s=m=c=3a-4，n=-a-4，可表示出s+n，根据m的取值范围，可得到0＜3a-4＜2，解不等式组可求出s+n的取值范围，可对④作出判断；利用已知可得到函数的最小值，同时可得到t的取值范围，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
11．（2025·广元）函数中，自变量x的取值范围是　 　 ．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】根据题意知：1-x≥0，
解得：x≤1.
【分析】根据二次根式被开方数是非负数，列出不等式，求解即可.
12．（2025·广元）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为　 　米/秒．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：11.2千米/秒=1.12×104米/秒.
故答案为：1.12×104.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
13．（2025·广元）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ，
∴△=0且a-1≠0
∴（a-1）2-4（a-1）×=0且a≠1，
解之：a1=1，a2=-1，
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程的定义可知a-1≠0，利用已知方程有两个相等的实数根可得到△=0，据此可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
14．（2025·广元）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则　 　．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：如图
∵ 每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等
∴
解之：
∴xy=60=1
故答案为：1.
【分析】分别设左下角和右下角的数字为a、b，根据每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，可得到关于x、y、a、b的方程组，解方程组求出x、y的值，然后求出xy的值.
15．（2025·广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则　 　．
【答案】6
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，AD⊥x轴于点D，
∴∠AEC=∠ADB=∠ADO=∠EOD=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∴∠BAD+∠DAO=90°，∠DAO+∠EAC=90°，AD=OE，AE=OD，
∴∠BAD=∠EAC，
∵点A（-3，3），
∴AE=DE=OD=3，
在△ABD和△AEC中
∴△ABD≌△AEC（ASA），
∴BD=CE，
∴OB-OC=OB-（EC-OE）=BD+OD-EC+OE=OD+OE=3+3=6.
故答案为：6.
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，AD⊥x轴于点D，利用垂直的定义可证得∠AEC=∠ADB=∠ADO=∠EOD=90°，由此可推出四边形ADOE是矩形，利用矩形的性质可证得AD=OE，AE=OD，利用余角的性质可推出∠BAD=∠EAC，利用点A的坐标可得到AE=DE=OD=3，利用ASA可证得△ABD≌△AEC，然后利用全等三角形的性质可知BD=CE，据此可求出OB-OC的长.
16．（2025·广元）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠DEO=∠BFO=90°，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE∽△BOF，
∴
∴OF=2OE，
设OE=x，则OF=2x，EF=OE+OF=3x，
∵AB=4，AD=2，
∴
∴
∴Rt△AED∽Rt△ABF，
∴.
∴AF=2AE，
∴AE=EF=3x，
∴AO=3x+x=4x，
∵点O是AC的中点，
∴CO=AO=4x，则CE=4x+x=5x，
在Rt△CDE中，
∴
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2即
解之：（取正值）
∴.
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DOE∽△BOF，利用相似三角形的对应边成比例可证得OF=2OE，设OE=x，可表示出OF、EF的长；利用已知可推出，利用HL可证得Rt△AED∽Rt△ABF，利用相似三角形的性质可得到AF=2AE，可表示出AE、AO、CO、CE的长；在Rt△CDE中，利用解直角三角形可表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，再根据AC=8x，代入计算可求出AC的长.
17．（2025·广元）计算：．
【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后算加减法即可.
18．（2025·广元）如图，已知，以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：由作图方法可得，
又∵，
在△MOC和△NOC中
∴，
∴
（2）解：∵，OC平分∠AOB，
∴，
∵ 以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，
∴，
∴的长
【知识点】弧长的计算；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念
【解析】【分析】利用作图可证得OM=ON，MC=NC，利用SSS可证得△MOC≌△NOC，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用角平分线的概念可求出∠AOC的度数，同时可得到OM的长，然后利用弧长公式可求出的长 .
19．（2025·广元）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答．
①解方程：；
②解不等式组：．
（2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解．
【答案】（1）解：①∵，
∴，
∴或，
解得；
②
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴原不等式组的解集为；
（2）解：
，
∵的正整数解为x=1
∴原式
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）①观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解； ② 分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
（2）先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后求出（1）②中使分母不为0的正整数代入化简的代数式，进行计算即可.
20．（2025·广元）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：，
【答案】解：如图，设射线与相交于点D．由题意可知，
，米，
∴四边形为矩形，故米（水平距离）．
在中，，
，
米．
在中，，
米．
∵点在同一直线上，
∴米，保留整数得米．
答：五角星高度大约是3米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设射线与相交于点D，易证四边形OECD为矩形，利用矩形的性质可求出CD的长，在中，利用解直角三角形求出AD的长，在中，利用解直角三角形求出BD的长；然后根据AB=AD-BD，代入计算可求出AB的长.
21．（2025·广元）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）抽取的学生人数是 ，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是 ，补全条形统计图；
（2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
（3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
【答案】（1）50；72°
解：∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人，
∴C类人数为（人），
补条形统计图如下．
（2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为，
∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）．
答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人．
（3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下：
甲\乙 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、．
∴他们两人填报同一项目的概率为．
答：他们两人填报同一项目的概率是
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：∵B类有人，且占抽取学生总数的，
∴抽取的学生人数为（人）．
∵D类有人，
∴D类人数占总人数的比例为，
则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为．
故答案为：50；72°.
【分析】（1）观察两统计图用B类的人数除以B类人数所占的百分比，列式计算可求出抽取的学生人数；再利用360°×D类人数占总人数的百分比。列式计算可求出D类所对应扇形的圆心角的度数；然后求出C类的人数，补全条形统计图即可.
（2）利用该校的学生总人数×C类的人生所占的百分比，列式计算即可.
（3）根据题意列出树状图，可得到所有等可能的结果数及他们两人填报同一项目的情况数，然后利用概率公式进行计算.
22．（2025·广元）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案．
【答案】（1）解：设篮球的单价为a元，则足球的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元
（2）解：由题意得，，
∵足球的数量不能多于篮球数量的，
∴，
∴，
∵两种球都要购买，
∴，且x为整数
∵，，
∴y随x增大而增大，
∴当时，y有最小值，此时，
答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设篮球的单价为a元，可表示出足球的单价，再根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同，可得到关于a的方程，解方程即可.
（2）利用已知条件可得到y关于x的函数解析式，根据足球的数量不能多于篮球数量的，可得到x的不等式，根据题意求出x的取值范围，再利用一次函数的性质可求出结果.
23．（2025·广元）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积；
（3）点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点，
，，
， ，
∴一次函数为，反比例函数为
（2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，
当时，，当时，，
，，
∵点是反比例函数图象上一点，
，
，
过点B作轴，交直线于点E，
设直线的解析式为，把，代入得到
解得
∴直线的解析式为，
∵点，轴，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴
∴
∴的面积
（3）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（3）设，
∵，，
则，
当时，
即，得到
解得：或，
故点P的坐标为或；
【分析】（1）先将点B的坐标分别代入反比例函数解析式，可求出k、m的值，可得到反比例函数解析式和一次函数解析式.
（2）利用函数解析式求出点A、C的坐标，将x=-6代入反比例函数解析式可求出n的值，可得到点D的坐标，过点B作轴，交直线于点E，利用待定系数法求出直线CD的函数解析式，同时可得到点E的横坐标，将点E的横坐标代入一次函数解析式，可求出点E的坐标，由此可得到BE的长，然后利用三角形的面积公式可求出△BCD的面积.
（3）设，利用点A、B的坐标及两点的距离公式，可求出PA2、PB2、AB2，利用已知： 满足是以为斜边的直角三角形就是当∠APB=90°，利用勾股定理可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标.
24．（2025·广元）如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵过点D的直线与相切于点C，
∴，
∴∠DCO=90°即脚D+∠3=90°，
∵，
∴∠DEF=90°，
∴∠F+∠D=90°，
∴∠F=∠3，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
即
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和垂直的定义可证得∠DCO=90°，∠DEF=90°，利用余角的性质可证得∠F=∠3，利用等边对等角可证得∠1=∠2，再利用三角形的外角的性质可证得结论.
（2）利用已知可求出OD的长，利用勾股定理求出DC的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DCO∽△DEF，利用相似三角形的性质可求出DF、EF的长；设∠B=x，可表示出∠F，∠FGC的度数，由此可推出∠FCG=∠FGC，利用等角对等边可求出FG的长.
25．（2025·广元）综合与实践
（1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数；
（2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值；
（3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长．
【答案】（1）解：∵
∴，即．
．
∴（两边对应成比例且夹角相等）．
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，即，
∴
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动，
∴到的最大距离为
（3）解：∵梯形中，，，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵点E是线段的中点，
∴，
如图，取，作矩形，则，，连接，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用已知可证得∠CAB=∠DAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求出∠E的度数.
（2）利用已知可证得，利用矩形的性质可求出AD的长，同时可证得∠FAD=∠BAE，由此可证得△ABE∽△AFD，利用相似三角形的性质可证得∠AFD=90°，可证得在以为直径的圆上运动，可求出点F到BC的最大距离就是的长，代入计算即可求解.
（3）利用已知条件可求出△EFG的面积，从而可得到GE与EF的积的值，利用线段中点可求出BE的长，取，作矩形，则，，连接，可推出，利用SAS可证得△PEG∽△FEB，利用相似三角形的性质可求出∠PGE=90°，可推出在为直径的圆上，当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，即可求出EG的长.
26．（2025·广元）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求与的关系；
（2）如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；
（3）如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值．
【答案】（1）解：将代入得
∴即
（2）解：∵
∴
∴抛物线解析式为
当时，
∴
设直线的解析式为，代入，
得
解得：
∴
当在的下方时，如图，过点作轴，交于点，
设，则
∴
∵
∴
∵
∴
∴
解得：
∴
∴，则
∴，且轴，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴
∴到的距离为
如图，延长交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，且
∴到的距离为，
∵
∴当在上方时，点在过点与的平行线上，设过点与的平行线交抛物线于点，
设直线的解析式为
代入
∴
解得：
∴
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或
（3）解：抛物线方程为，由（1）知，
当时，，则
故抛物线为：
设，
当时，
∵
∴
∴
即，解得
∴
∵是直角三角形，
∴的外接圆的圆心在上，且为的中点，
∵，
∴的外接圆的圆心坐标为：
因为直线的解析式为
如图，设，的中点为，过点作轴交于点
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∵关于对称，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵在上，
∴
∴即①
∵
∴
∴②
联立①②得，
∴
∵在抛物线上，代入抛物线方程：
解得：或
∵
∴
【知识点】三角形的外接圆与外心；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，可得到b与a的关系.
（2）利用a的值可得到b的值，由此可得到二次函数解析式，求出当x=0时y的值，可得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；当在的下方时，如图，过点作轴，交于点，设，可表示出点Q的坐标，即可求出PQ的长，利用点B的坐标可得到BO的长，利用三角形的面积公式可求出m的值，再求出点P、Q的坐标；再证明△PCQ是等腰直角三角形，据此可得到到的距离；延长交轴于点，则，易证△AQM是等腰直角三角形，可得到BM的长及点M到CB的距离，利用△PBC的面积可知当在上方时，点在过点与的平行线上，设过点与的平行线交抛物线于点，利用待定系数法求出BM的函数解析式，与二次函数联立方程组，解方程组可求出点P的坐标.
（3）利用已知可得到抛物线为：，设利用函数解析式可求出点B、A的坐标，利用已知是直角三角形，可得到的外接圆的圆心在上，且为的中点，可得到点A、C的坐标，由此可得到的外接圆的圆心坐标；设，的中点为，过点作轴交于点，易证△OBC和△QTN是等腰直角三角形，由此可推出△NTM是等腰直角三角形，可表示出点T的坐标及点N的坐标；根据点N在BC上，可得到关于y、x的方程，解方程可得到①，②，将其联立方程组，可表示出点Q的坐标，将点Q的坐标代入二次函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
1 / 1四川省广元市2025年中考数学试卷
1．（2025·广元）的相反数是（　　）
A． B． C．2 D．4
2．（2025·广元）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图不相同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·广元）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·广元）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是（　　）
A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1
5．（2025·广元）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·广元）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
7．（2025·广元）如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·广元）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·广元）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．当时， D．的周长为
10．（2025·广元）已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m n s …
其中．以下结论：①；②若抛物线经过点则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④；⑤当时，y的最小值是1，则或4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025·广元）函数中，自变量x的取值范围是　 　 ．
12．（2025·广元）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为　 　米/秒．
13．（2025·广元）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
14．（2025·广元）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则　 　．
15．（2025·广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则　 　．
16．（2025·广元）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为　 　．
17．（2025·广元）计算：．
18．（2025·广元）如图，已知，以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19．（2025·广元）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答．
①解方程：；
②解不等式组：．
（2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解．
20．（2025·广元）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：，
21．（2025·广元）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）抽取的学生人数是 ，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是 ，补全条形统计图；
（2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
（3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
22．（2025·广元）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案．
23．（2025·广元）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积；
（3）点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
24．（2025·广元）如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25．（2025·广元）综合与实践
（1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数；
（2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值；
（3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长．
26．（2025·广元）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求与的关系；
（2）如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；
（3）如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵=2
∴的相反数是-2.
故答案为：B
【分析】利用算术平方根的性质可求出的值，然后求出其相反数即可
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、此几何体的主视图是三角形，左视图是矩形，故A符合题意；
B、此几何体的主视图和左视图都是共底边的两个相同的等腰三角形，故B不符合题意；
C、此几何体的主视图和左视图都是矩形，故C不符合题意；
D、此几何体的主视图和左视图都相同，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，左视图就是从几何体的左边所看到的平面图形，再观察个选项中的几何体，可得到主视图和左视图不相同的选项
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、不能计算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对A作出判断；只有同类项才能合并，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用完全平方公式，可对D作出判断.
4．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵5出现了3次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是5，故A不符合题意；
B、这组数据的平均数是，故B不符合题意；
C、将此组数据从小到大排列，处于最中间的两个数是4和4
∴这组数据的中位数是4，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一组数据中出现次数最多的数是众数，可对A作出判断；利用平均数公式可求出这组数据的平均数，可对B作出判断；利用求中位数的方法求出这组数据的中位数，可对C作出判断；利用方差公式进行计算，可对D作出判断
5．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设花卉带的宽度为xcm，根据题意得
故答案为：D.
【分析】 设花卉带的宽度为xcm，根据草坪的面积为总面积的，列方程即可
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵点E是DP的中点，
∴OE是△DPB的中位线，
∴OE=PB，
∵点P是的中点，
∴PB=AB=4，
∴OE=2.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质可证得OB=OD，结合已知条件可证得OE是△DPB的中位线，利用三角形的中位线定理可证得OE=PB，然后利用中点的定义可求出PB的长，即可得到OE的长.
7．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵正八边形ABCDEFGH，
∴∠HAB=∠ABC=，AB=AH=BC，
∴∠ABH=∠AHB=（180°-145°）=22.5°，∠BAK=∠ACB=（180°-145°）=22.5°，
∴∠AKH=∠ABH+∠BAK=22.5°+22.5°=45°.
故答案为：D.
【分析】利用正八边形的性质可求出∠HAB、∠ABC的度数，同时可证得AB=AH=BC，利用等边对等角及三角形内角和定理可求出∠ABH、∠BAK的度数，然后利用三角形外角的性质可求出∠AKH的度数.
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
9．【答案】D
【知识点】正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】 解：由△ABC的运动可知，等腰△ABC和正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶点之后，重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，记HE的中点为I，由图象可知当t=2时，y=2，此时点C落在HE上，如图，
则BI=2×1=2，
由题意可知AB⊥HE，
∵等腰△ABC，
∴CA=BC，
∴AB=2BI=4，
∴
解之：CI=BI=2，
∴此时△CIB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵CA=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠ACB=90°，故A、B正确，不符合题意；
当0≤t≤2时，重叠部分记为△IJB，
由题意可知BI=t，∠B=45°，AE⊥HE，
∴△BJI是等腰直角三角形，
∴，故C正确，不符合题意；
由函数图象可知当t=6时，运动停止，那么△ABC的顶点B从点I运动到点D用时6s，如图，
DI=EF=6，
∵四边形HEFG是正方形
∴EF=FG=6，∠F=90°，
由题意可知点D为BC的中点，
∴DF=3，
∴，
∴△EFD的周长为，故D错误，符合题意
故答案为：D.
【分析】由△ABC的运动可知，等腰△ABC和正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶点之后，重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，记HE的中点为I，由图象可知当t=2时，y=2，此时点C落在HE上，可求出BI的长，利用等腰三角形三线合一可求出AB的长，可对A作出判断；利用三角形的面积可求出CI的长，同时可证得△CIB是等腰直角三角形，即可求出∠ACB的度数，可对B作出判断；当0≤t≤2时，重叠部分记为△IJB，利用已知可得到IJ=IB=t，利用三角形的面积公式可表示出y与t的关系式，可对C作出判断；由函数图象可知当t=6时，运动停止，那么△ABC的顶点B从点I运动到点D用时6s，利用正方形的性质可得到EF的长，同时可求出DF的长，利用勾股定理求出DE的长，可得到△EFD的周长，可对D作出判断.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表中可知点（1，-4），（3，-4）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴b=-4a，
∴y=ax2-4ax+c，
∵当x=0时y=c，
∴m=c；
∵0＜m＜2
∴0＜c＜2，
∴m＞-4，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，b＜0，c＞0
∴abc＜0，故①正确；
∵7-2＞|-2-2|
∵抛物线的开口向上，抛物线离对称轴距离越远的点对应的y的值越大，
∴ ，故②正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，
∴（0，m）和（4，s）关于直线x=2对称，
∴m=s=c，
∵0＜s＜2，当s＞1时，0＜s-1＜1，
关于x的方程
∴
当s=1时，，方程有两个根；
当s＜1时，方程没有实数根；
当s＞1时，有4个实数根，故③错误；
当x=2时n=4a+2b+c=4a-8a+c=-4a+c，
当x=1时，a+b+c=-4，
当x=3时，9a+3b+c=-4，
∵b=-4a，
∴9a-12a+c=-4，
∴c=3a-4，
∴n=-4a+3a-4=-a-4，
s=m=c=3a-4，
∴s+n=2a-8，
∵0＜m＜2
∴0＜3a-4＜2
∴
∴即即，故④正确；
∵当m=1时即s=m=c=1，
∴抛物线经过点（0，1）、（4，1）
∵当 时，y的最小值是1，
∴t+2≤0或t≥4，
当t+2≤0时，t≤-2；
∴t=-2或t=4时，与结论t=2不符合，故⑤错误；
综上所述正确结论为①②④
故答案为：C.
【分析】利用表中数据及二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴，可得到b与a的数量关系，可将函数解析式转化为y=ax2-4ax+c，可得到m=c，根据m的取值范围，可确定出a＞0，b＜0，c＞0，可对①作出判断；再利用二次函数的增减性，可对②作出判断；利用二次函数的对称性可推出m=s=c，根据s的取值范围可得到s-1的取值范围，可将方程转化为，分情况讨论：当s=1时；当s＜1时；当s＞1时；分别可得到方程根的个数，可对③作出判断；分别将x=2、1、3代入函数解析式，可得到关于a、b、c的方程组。可用含a的代数式表示出c，从而可推出s=m=c=3a-4，n=-a-4，可表示出s+n，根据m的取值范围，可得到0＜3a-4＜2，解不等式组可求出s+n的取值范围，可对④作出判断；利用已知可得到函数的最小值，同时可得到t的取值范围，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
11．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】根据题意知：1-x≥0，
解得：x≤1.
【分析】根据二次根式被开方数是非负数，列出不等式，求解即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：11.2千米/秒=1.12×104米/秒.
故答案为：1.12×104.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ，
∴△=0且a-1≠0
∴（a-1）2-4（a-1）×=0且a≠1，
解之：a1=1，a2=-1，
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程的定义可知a-1≠0，利用已知方程有两个相等的实数根可得到△=0，据此可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
14．【答案】1
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：如图
∵ 每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等
∴
解之：
∴xy=60=1
故答案为：1.
【分析】分别设左下角和右下角的数字为a、b，根据每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，可得到关于x、y、a、b的方程组，解方程组求出x、y的值，然后求出xy的值.
15．【答案】6
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，AD⊥x轴于点D，
∴∠AEC=∠ADB=∠ADO=∠EOD=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∴∠BAD+∠DAO=90°，∠DAO+∠EAC=90°，AD=OE，AE=OD，
∴∠BAD=∠EAC，
∵点A（-3，3），
∴AE=DE=OD=3，
在△ABD和△AEC中
∴△ABD≌△AEC（ASA），
∴BD=CE，
∴OB-OC=OB-（EC-OE）=BD+OD-EC+OE=OD+OE=3+3=6.
故答案为：6.
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，AD⊥x轴于点D，利用垂直的定义可证得∠AEC=∠ADB=∠ADO=∠EOD=90°，由此可推出四边形ADOE是矩形，利用矩形的性质可证得AD=OE，AE=OD，利用余角的性质可推出∠BAD=∠EAC，利用点A的坐标可得到AE=DE=OD=3，利用ASA可证得△ABD≌△AEC，然后利用全等三角形的性质可知BD=CE，据此可求出OB-OC的长.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠DEO=∠BFO=90°，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE∽△BOF，
∴
∴OF=2OE，
设OE=x，则OF=2x，EF=OE+OF=3x，
∵AB=4，AD=2，
∴
∴
∴Rt△AED∽Rt△ABF，
∴.
∴AF=2AE，
∴AE=EF=3x，
∴AO=3x+x=4x，
∵点O是AC的中点，
∴CO=AO=4x，则CE=4x+x=5x，
在Rt△CDE中，
∴
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2即
解之：（取正值）
∴.
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DOE∽△BOF，利用相似三角形的对应边成比例可证得OF=2OE，设OE=x，可表示出OF、EF的长；利用已知可推出，利用HL可证得Rt△AED∽Rt△ABF，利用相似三角形的性质可得到AF=2AE，可表示出AE、AO、CO、CE的长；在Rt△CDE中，利用解直角三角形可表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，再根据AC=8x，代入计算可求出AC的长.
17．【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后算加减法即可.
18．【答案】（1）证明：由作图方法可得，
又∵，
在△MOC和△NOC中
∴，
∴
（2）解：∵，OC平分∠AOB，
∴，
∵ 以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，
∴，
∴的长
【知识点】弧长的计算；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念
【解析】【分析】利用作图可证得OM=ON，MC=NC，利用SSS可证得△MOC≌△NOC，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用角平分线的概念可求出∠AOC的度数，同时可得到OM的长，然后利用弧长公式可求出的长 .
19．【答案】（1）解：①∵，
∴，
∴或，
解得；
②
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴原不等式组的解集为；
（2）解：
，
∵的正整数解为x=1
∴原式
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）①观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解； ② 分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
（2）先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后求出（1）②中使分母不为0的正整数代入化简的代数式，进行计算即可.
20．【答案】解：如图，设射线与相交于点D．由题意可知，
，米，
∴四边形为矩形，故米（水平距离）．
在中，，
，
米．
在中，，
米．
∵点在同一直线上，
∴米，保留整数得米．
答：五角星高度大约是3米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设射线与相交于点D，易证四边形OECD为矩形，利用矩形的性质可求出CD的长，在中，利用解直角三角形求出AD的长，在中，利用解直角三角形求出BD的长；然后根据AB=AD-BD，代入计算可求出AB的长.
21．【答案】（1）50；72°
解：∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人，
∴C类人数为（人），
补条形统计图如下．
（2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为，
∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）．
答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人．
（3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下：
甲\乙 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、．
∴他们两人填报同一项目的概率为．
答：他们两人填报同一项目的概率是
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：∵B类有人，且占抽取学生总数的，
∴抽取的学生人数为（人）．
∵D类有人，
∴D类人数占总人数的比例为，
则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为．
故答案为：50；72°.
【分析】（1）观察两统计图用B类的人数除以B类人数所占的百分比，列式计算可求出抽取的学生人数；再利用360°×D类人数占总人数的百分比。列式计算可求出D类所对应扇形的圆心角的度数；然后求出C类的人数，补全条形统计图即可.
（2）利用该校的学生总人数×C类的人生所占的百分比，列式计算即可.
（3）根据题意列出树状图，可得到所有等可能的结果数及他们两人填报同一项目的情况数，然后利用概率公式进行计算.
22．【答案】（1）解：设篮球的单价为a元，则足球的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元
（2）解：由题意得，，
∵足球的数量不能多于篮球数量的，
∴，
∴，
∵两种球都要购买，
∴，且x为整数
∵，，
∴y随x增大而增大，
∴当时，y有最小值，此时，
答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设篮球的单价为a元，可表示出足球的单价，再根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同，可得到关于a的方程，解方程即可.
（2）利用已知条件可得到y关于x的函数解析式，根据足球的数量不能多于篮球数量的，可得到x的不等式，根据题意求出x的取值范围，再利用一次函数的性质可求出结果.
23．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点，
，，
， ，
∴一次函数为，反比例函数为
（2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，
当时，，当时，，
，，
∵点是反比例函数图象上一点，
，
，
过点B作轴，交直线于点E，
设直线的解析式为，把，代入得到
解得
∴直线的解析式为，
∵点，轴，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴
∴
∴的面积
（3）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（3）设，
∵，，
则，
当时，
即，得到
解得：或，
故点P的坐标为或；
【分析】（1）先将点B的坐标分别代入反比例函数解析式，可求出k、m的值，可得到反比例函数解析式和一次函数解析式.
（2）利用函数解析式求出点A、C的坐标，将x=-6代入反比例函数解析式可求出n的值，可得到点D的坐标，过点B作轴，交直线于点E，利用待定系数法求出直线CD的函数解析式，同时可得到点E的横坐标，将点E的横坐标代入一次函数解析式，可求出点E的坐标，由此可得到BE的长，然后利用三角形的面积公式可求出△BCD的面积.
（3）设，利用点A、B的坐标及两点的距离公式，可求出PA2、PB2、AB2，利用已知： 满足是以为斜边的直角三角形就是当∠APB=90°，利用勾股定理可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标.
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵过点D的直线与相切于点C，
∴，
∴∠DCO=90°即脚D+∠3=90°，
∵，
∴∠DEF=90°，
∴∠F+∠D=90°，
∴∠F=∠3，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
即
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和垂直的定义可证得∠DCO=90°，∠DEF=90°，利用余角的性质可证得∠F=∠3，利用等边对等角可证得∠1=∠2，再利用三角形的外角的性质可证得结论.
（2）利用已知可求出OD的长，利用勾股定理求出DC的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DCO∽△DEF，利用相似三角形的性质可求出DF、EF的长；设∠B=x，可表示出∠F，∠FGC的度数，由此可推出∠FCG=∠FGC，利用等角对等边可求出FG的长.
25．【答案】（1）解：∵
∴，即．
．
∴（两边对应成比例且夹角相等）．
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，即，
∴
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动，
∴到的最大距离为
（3）解：∵梯形中，，，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵点E是线段的中点，
∴，
如图，取，作矩形，则，，连接，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用已知可证得∠CAB=∠DAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求出∠E的度数.
（2）利用已知可证得，利用矩形的性质可求出AD的长，同时可证得∠FAD=∠BAE，由此可证得△ABE∽△AFD，利用相似三角形的性质可证得∠AFD=90°，可证得在以为直径的圆上运动，可求出点F到BC的最大距离就是的长，代入计算即可求解.
（3）利用已知条件可求出△EFG的面积，从而可得到GE与EF的积的值，利用线段中点可求出BE的长，取，作矩形，则，，连接，可推出，利用SAS可证得△PEG∽△FEB，利用相似三角形的性质可求出∠PGE=90°，可推出在为直径的圆上，当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，即可求出EG的长.
26．【答案】（1）解：将代入得
∴即
（2）解：∵
∴
∴抛物线解析式为
当时，
∴
设直线的解析式为，代入，
得
解得：
∴
当在的下方时，如图，过点作轴，交于点，
设，则
∴
∵
∴
∵
∴
∴
解得：
∴
∴，则
∴，且轴，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴
∴到的距离为
如图，延长交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，且
∴到的距离为，
∵
∴当在上方时，点在过点与的平行线上，设过点与的平行线交抛物线于点，
设直线的解析式为
代入
∴
解得：
∴
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或
（3）解：抛物线方程为，由（1）知，
当时，，则
故抛物线为：
设，
当时，
∵
∴
∴
即，解得
∴
∵是直角三角形，
∴的外接圆的圆心在上，且为的中点，
∵，
∴的外接圆的圆心坐标为：
因为直线的解析式为
如图，设，的中点为，过点作轴交于点
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∵关于对称，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵在上，
∴
∴即①
∵
∴
∴②
联立①②得，
∴
∵在抛物线上，代入抛物线方程：
解得：或
∵
∴
【知识点】三角形的外接圆与外心；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，可得到b与a的关系.
（2）利用a的值可得到b的值，由此可得到二次函数解析式，求出当x=0时y的值，可得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；当在的下方时，如图，过点作轴，交于点，设，可表示出点Q的坐标，即可求出PQ的长，利用点B的坐标可得到BO的长，利用三角形的面积公式可求出m的值，再求出点P、Q的坐标；再证明△PCQ是等腰直角三角形，据此可得到到的距离；延长交轴于点，则，易证△AQM是等腰直角三角形，可得到BM的长及点M到CB的距离，利用△PBC的面积可知当在上方时，点在过点与的平行线上，设过点与的平行线交抛物线于点，利用待定系数法求出BM的函数解析式，与二次函数联立方程组，解方程组可求出点P的坐标.
（3）利用已知可得到抛物线为：，设利用函数解析式可求出点B、A的坐标，利用已知是直角三角形，可得到的外接圆的圆心在上，且为的中点，可得到点A、C的坐标，由此可得到的外接圆的圆心坐标；设，的中点为，过点作轴交于点，易证△OBC和△QTN是等腰直角三角形，由此可推出△NTM是等腰直角三角形，可表示出点T的坐标及点N的坐标；根据点N在BC上，可得到关于y、x的方程，解方程可得到①，②，将其联立方程组，可表示出点Q的坐标，将点Q的坐标代入二次函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
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