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人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语
第1.2节 《 集合间的基本关系 》学案
学习目标
理解 子集、真子集、空集、集合相等 的概念，熟练掌握符号（、、、）的含义与用法。
能判断集合间的 包含关系、相等关系，会求集合的子集、真子集，灵活应用空集的特殊性质。掌握 子集个数公式（、、），提升逻辑推理与分类讨论能力。
知识梳理
子集定义：若集合A的 任意一个元素 都属于集合B，则称A是B的子集，记作 （或）。
真子集定义：若且 ，则称A是B的真子集，记作 （或）。
空集不含任何元素的集合，记作 ；空集是 所有集合 的子集，是 所有非空集合 的真子集。集合相等若且，则 。
子集个数公式：若集合A有n个元素，则：子集个数：；真子集个数：；非空真子集个数：。
概念辨析
1、（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若，则一定成立 B. 空集没有子集
C. 集合的真子集个数为 3 D. 若，则A与B的子集完全相同
解析：A：真子集是特殊的子集（且），正确。B：空集的子集是自身（），错误。C：的真子集为，共 3 个，正确。D：若，元素完全相同，子集也完全相同，正确。答案：
2、（多选）已知集合，，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则a的取值为1或
C. 若A是单元素集，则A的子集个数为 2 D. 若，则一定成立
解析：A：表示方程无解，故，正确。B：分三种情况：（）、（）、（），故a还可以是 0，错误。C：单元素集的子集为和自身，共 2 个，正确。D：若，则，，故，错误。答案：
典例讲解
例 1：求子集与真子集题目：写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
解析：子集：按元素个数分类枚举（空集、单元素集、自身）：，，，（共个）。真子集：不含集合自身的子集：，，（共个）。
变式训练（一）
A 组（基础题）
1、已知集合 ，则 Q 的真子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
解析：解方程 ，得 或 ，故 （含 2 个元素）。真子集个数为 ，选 C。
2、已知集合 ，则关于集合 A 的子集，下列说法正确的是（ ）
A. 子集个数为 3 个 B. 真子集个数为 2 个
C. 是 A 的真子集 D. 是 A 的子集解析：
【答案】C
解析：解方程 得 （元素个数为 2）。子集共 个（A 错）；
真子集共 3 个（B 错）； 且 ，是真子集（C 对）；，故 （D 错）。
3、集合的子集有______个，真子集有______个。
解析：子集（）共个；真子集（）共个。
4、写出集合的所有子集。
解析：子集：（空集和自身）。
5、求集合的所有子集和真子集。
解析：解方程得或，故；故其子集为：；真子集为：。
B 组（中档题）
1、（多选）下列关于集合子集、真子集的说法，正确的有（ ）
A. 若集合 A 有 n 个元素，则其子集个数为 ，真子集个数为
B. 空集是任何集合的真子集
C. 若 且 ，则
D. 集合 的子集是 和
【答案】ACD
解析：A：子集个数公式为 ，真子集需排除自身，故为 （正确）；B：空集是任何非空集合的真子集，空集不是自身的真子集（错误）；C：子集互包含则集合相等（正确）；D： 的元素是 ，子集包括空集和自身（正确）。选 ACD。
2（多选）下列说法正确的有（ ）
A. 集合 的子集个数为 4 个，非空真子集个数为 3 个
B. 若集合 ，则 是 A 的真子集
C. 空集是集合 的子集
D. 集合 与集合 表示同一个集合
【答案】BC
解析：A： 子集共 4 个，非空真子集 2 个（错误）；B：， 是真子集（正确）；C：空集是任何集合的子集（正确）；D：前者是数集，后者是点集，不相等（错误）。
3、设集合且必含元素 3，求所有可能的X。
解析：含 3，其余元素从选：。
已知集合 ，，若 G 是 F 的子集，则 m 的值为______。
解析：分情况讨论 ：：（ 舍去，元素互异）；：；：（ 舍去，元素互异）。综上，。
例 2：判断子集关系题目：判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由。
（1），是的约数；
（2），。
解析：（1）判断：不是先求B：8 的约数为 ，即 。验证：A中元素，不满足 “任意元素属于B”，故A不是B的子集。
（2）长方形是 对角线相等的平行四边形（矩形定义）。若x是长方形，则x必满足 “是两条对角线相等的平行四边形”，即，故。
变式训练（二）
A 组（基础题）
1、判断：，是的约数，A是否为B的子集？
解析：，且，故（是）。
2、判断：是正方形，是菱形，A是否为B的子集？
解析：正方形是邻边相等的菱形，故正方形∈菱形，（是）。
3、已知集合 是的正约数，，则子集关系判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
解析：（6 的正约数），解方程得 ；B 中元素全在 A 中，且 ，故 ，选 B。
4、若集合 是等腰三角形，是轴对称图形，则（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
解析：等腰三角形是轴对称图形（），但轴对称图形不一定是等腰三角形（如矩形），故 ，选 A。
5、（多选）下列各组集合中，满足 的有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
解析：A：正方形是特殊矩形，（满足）；B：（满足 ）；C：锐角、钝角三角形互斥，不满足；D：空集是任何非空集合的子集（满足）。选 ABD。
B 组（中档题）
1、已知，，若，求a的取值范围。
解析：A的上界是 3（不包含 3），故（保证A的元素都在B中）。
2、设，，若，求实数a的值。
解析：若，则，成立；若（即）则，，不成立；故。
3、（多选）已知集合 ，，若 ，则正确说法有（ ）
A. a 的值可能为 2 B. a 的值可能为
C. A 一定是 B 的真子集 D. A 与 B 可能相等
解析：若 ，则 （A 对）；若 ，则 （B 错）；A 含 2 个元素，B 含 3 个元素，故 A 必为真子集（C 对）；A 与 B 元素个数不同，不可能相等（D 错）。
选 AC。
4、已知集合 ，，若 ，则实数 a 的值为______ 。
解析：，分情况： 时，； 时， 或 2，得 或 。
故 。
5、已知集合 ，，若 ，则实数 a 的值为______。
解析：由 ，得 且 （否则 B 含重复元素或与 A 冲突）：当 时， 或 ，此时 或 ，，满足 ；当 时，（ 舍去，因 A 元素互异），此时 ，，满足 。
综上，。
归纳总结
求子集与真子集的方法及注意事项
1、方法总结
枚举法：按 元素个数分类（0 个、1 个、…、n个），逐一列举，避免重复 / 遗漏。优先写 空集（0 个元素），再写单元素集、双元素集，最后写集合自身（n个元素）。
公式法：若集合有n个元素，直接用公式计算个数：子集：；真子集：；非空真子集：。公式可 验证枚举结果（如有 4 个子集，符合）。
2、注意事项
空集的特殊性：空集是 所有集合的子集，枚举时必须包含。空集是 非空集合的真子集，但空集的真子集不存在（空集没有真子集）。
“自身” 的区分：子集 包含集合自身，真子集 不包含自身（如的子集含，真子集不含）。
含参数的集合：需 分类讨论参数取值（如例题 2 的 B 组第 3 题），结合 元素互异性 和 包含关系 验证。集合的元素是集合的情况：如，其元素是（集合），子集包括和A自身（），需注意层级区分。
课后练习
1、写出集合的所有子集和真子集。
解析：子集：；真子集：。
2、判断：“空集的子集是它本身” 是否正确？（填 “√” 或 “×”）
解析：成立，故填 。
3、判断：，，是否成立？
解析：若，则必成立，故（成立）。
4、判断：，，是否成立？
解析：A的元素，故（成立）。
5、判断：与是否相等？
解析：解方程得（重根），故，相等。
6、已知集合，B是A的所有子集组成的集合，判断A与B的关系。
解析：A的子集为和，故；显然且，故。
7、若集合P有 3 个元素，求它的子集个数、真子集个数、非空真子集个数。
解析：子集：；真子集：；非空真子集：。
8、集合，写出其所有含 2 个元素的子集。
解析：枚举：。人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语
第1.2节 《 集合间的基本关系 》学案
学习目标
理解 子集、真子集、空集、集合相等 的概念，熟练掌握符号（、、、）的含义与用法。
能判断集合间的 包含关系、相等关系，会求集合的子集、真子集，灵活应用空集的特殊性质。掌握 子集个数公式（、、），提升逻辑推理与分类讨论能力。
知识梳理
子集定义：若集合A的 任意一个元素 都属于集合B，则称A是B的子集，记作 （或）。
真子集定义：若且 ，则称A是B的真子集，记作 （或）。
空集不含任何元素的集合，记作 ；空集是 所有集合 的子集，是 所有非空集合 的真子集。集合相等若且，则 。
子集个数公式：若集合A有n个元素，则：子集个数：；真子集个数：；非空真子集个数：。
概念辨析
1、（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若，则一定成立 B. 空集没有子集
C. 集合的真子集个数为 3 D. 若，则A与B的子集完全相同
2、（多选）已知集合，，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则a的取值为1或
C. 若A是单元素集，则A的子集个数为 2 D. 若，则一定成立
典例讲解
例 1：求子集与真子集题目：写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
变式训练（一）
A 组（基础题）
1、已知集合 ，则 Q 的真子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2、已知集合 ，则关于集合 A 的子集，下列说法正确的是（ ）
A. 子集个数为 3 个 B. 真子集个数为 2 个
C. 是 A 的真子集 D. 是 A 的子集解析：
3、集合的子集有______个，真子集有______个。
4、写出集合的所有子集。
5、求集合的所有子集和真子集。
B 组（中档题）
1、（多选）下列关于集合子集、真子集的说法，正确的有（ ）
A. 若集合 A 有 n 个元素，则其子集个数为 ，真子集个数为
B. 空集是任何集合的真子集
C. 若 且 ，则
D. 集合 的子集是 和
2（多选）下列说法正确的有（ ）
A. 集合 的子集个数为 4 个，非空真子集个数为 3 个
B. 若集合 ，则 是 A 的真子集
C. 空集是集合 的子集
D. 集合 与集合 表示同一个集合
3、设集合且必含元素 3，求所有可能的X。
已知集合 ，，若 G 是 F 的子集，则 m 的值为______。
例 2：判断子集关系题目：判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由。
（1），是的约数；
（2），。
变式训练（二）
A 组（基础题）
1、判断：，是的约数，A是否为B的子集？
2、判断：是正方形，是菱形，A是否为B的子集？
3、已知集合 是的正约数，，则子集关系判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
4、若集合 是等腰三角形，是轴对称图形，则（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
5、（多选）下列各组集合中，满足 的有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
B 组（中档题）
1、已知，，若，求a的取值范围。
2、设，，若，求实数a的值。
3、（多选）已知集合 ，，若 ，则正确说法有（ ）
A. a 的值可能为 2 B. a 的值可能为
C. A 一定是 B 的真子集 D. A 与 B 可能相等
4、已知集合 ，，若 ，则实数 a 的值为______ 。
5、已知集合 ，，若 ，则实数 a 的值为______。
归纳总结
求子集与真子集的方法及注意事项
1、方法总结
枚举法：按 元素个数分类（0 个、1 个、…、n个），逐一列举，避免重复 / 遗漏。优先写 空集（0 个元素），再写单元素集、双元素集，最后写集合自身（n个元素）。
公式法：若集合有n个元素，直接用公式计算个数：子集：；真子集：；非空真子集：。公式可 验证枚举结果（如有 4 个子集，符合）。
2、注意事项
空集的特殊性：空集是 所有集合的子集，枚举时必须包含。空集是 非空集合的真子集，但空集的真子集不存在（空集没有真子集）。
“自身” 的区分：子集 包含集合自身，真子集 不包含自身（如的子集含，真子集不含）。
含参数的集合：需 分类讨论参数取值（如例题 2 的 B 组第 3 题），结合 元素互异性 和 包含关系 验证。集合的元素是集合的情况：如，其元素是（集合），子集包括和A自身（），需注意层级区分。
课后练习
1、写出集合的所有子集和真子集。
2、判断：“空集的子集是它本身” 是否正确？（填 “√” 或 “×”）
3、判断：，，是否成立？
4、判断：，，是否成立？
5、判断：与是否相等？
6、已知集合，B是A的所有子集组成的集合，判断A与B的关系。
7、若集合P有 3 个元素，求它的子集个数、真子集个数、非空真子集个数。
8、集合，写出其所有含 2 个元素的子集。

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