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第2章《 实数的初步认识》单元知识点复习题
题型01 平方根与立方根概念辨析
1.以下说法正确的是（ ）
A．0没有平方根 B．算术平方根是本身的数只有1
C．任何数都有立方根 D．正数才有平方根
2.下列说法正确的有（ ）
①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.下列说法正确的是（ ）
A．任何数都有平方根的 B．一个正数的平方根一定小于本身
C．负数的立方根一定也是负数 D．的算术平方根等于
4.下列命题是真命题的是（ ）
A．平方根等于它本身的数只有0 C．一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0；B．负数的立方根是负数 D．算术平方根等于它本身的数只有1
题型02 求已知数的（算术）平方根、立方根
1.下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是4 B．16的平方根是4
C．的算术平方根是 D．不是正数就是负数
2.下列说法：；；③的平方根是；的算术平方根是；是的平方根；的立方根，平方根都是本身．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3.下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．负数没有立方根
C．的立方根是 D．的算术平方根是
4.下列说法中，正确的是（　　）
A．的立方根是 B．的平方根是
C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是
5.下列说法中：①3的平方根是；②是9的一个平方根；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤；⑥的立方根是2；其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型03 利用平方根、立方根解方程
1.求下列各式中的值：(1)； (2)．
2.求下列各式中的：(1)； (2)．
3.求下列各式中的x的值：
(1)． (2)．(3)；(4)．
4.计算：(1)；(2)．
5.计算下列各式中x的值：
(1) (2) (3)
题型04 算术平方根的非负性
1.若m、n为实数，且，则为 ．
2.已知a、b满足等式，则的值为 ．
3.长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（ ）
A． B． C． D．
4.若a、b均为实数，且与互为相反数，则 ．
5.已知满足，则的值为 ．
题型05 平方根、立方根小数点位数移动规律
1.小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x 26 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 27
676 681.21 686.44 691.69 696.96 702.25 707.56 712.89 718.24 723.61 729
请根据此表解决下面问题：(1)若一个正方形的边长为26.6，那么这个正方形的面积是___________；
(2)算术平方根在26.6~26.7之间的整数有___________个；(3)___________；
(4)小明说：“小于26的两个正数，如果它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定小于5.21”，你认可他的说法吗？说说你的理由．
2.（1）填表：
a 1 1000 1000000
（2）根据你发现的规律填空：
①，则______，______；
②已知，则______．
3.已知，，，，则 ．
4.根据下表回答下列问题：
15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81
(1)______，______，______；
(2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若，则满足条件的整数有______个．
题型06 算术平方根、立方根的实际应用
1.阅读下面的文字，解答问题：
如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为_____；如图2，数轴上点表示的数是__________；
(2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________；
(3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点（保留作图痕迹）；
(4)如图4，在数轴上，表示1的点记为，点也在这条数轴上且，直接写出点表示的数．
2.实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题：(1)这个正方体金属块的棱长是多少？(2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长．
3.王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状．(1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长．(2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长．
4.为宣传通辽旅游资源，促进旅游业发展，科尔沁区某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
课题 通辽景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算 图示
相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为．
计算结果 ……
(1)长方形封皮的长和宽分别是多少？(2)正方形卡片能否直接装进长方形封皮内？请说明理由．
5.某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径．(1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(2)如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：）
题型07 （算术）平方根与立方根的综合运用
1.已知的平方根是，．求的算术平方根．
2.已知的算术平方根是2，的立方根是，c是的整数部分．求的平方根．
3.已知，且与互为相反数，
(1)求的值；(2)求的算术平方根；(3)求的立方根．
4.（1）已知的立方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．（2）已知与互为相反数，求的值．
题型08 立方根与算术平方根的性质
1.对任意的实数a，下列等式不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.已知与互为相反数，求的平方根．
3.【观察】①；②；③；④．
【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________；
（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立；
【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根．
4.，则的值为（ ）
A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6
5.观察下列两组算式，解答下列问题第一组：．
第二组：．
(1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______；
(2)由第二组可得结论：当时，______；
(3)利用（1）（2）的结论计算：______；______．
(4)当时，计算的值．
题型09 与平方根、立方根有关的规律探究问题
1.下面是一个按某种规律排列的数阵：
第一行 1
第二行 2
第三行 3
第四行 4
…… ……
根据数阵规律，第八行第十五个数是（ ）
A． B． C． D．
2.观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ．
3.观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第 数．
4.已知，，，因为，所以．
(1)计算下列各式的值：________，________，________；
(2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________；
(3)由（2）猜想：________（，）；(4)根据（3）计算：．
5.先观察下列等式，再回答问题：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：．
(1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
题型10 与实数相关的阅读材料与新定义问题考法
1.本学期第六章《实数》中学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：观察；
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：__________________________________________________．
（2）探究性质：①81的四次方根是_________；②0的四次方根是_________；③_________（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
①______________________________________________________；
②______________________________________________________；
③______________________________________________________
【拓展应用】（1）_________；（2）比较大小：_________．
2.对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，=3．
（1）仿照以上方法计算： ； ．（2）若，写出满足题意的所有x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=3→=1，这时候结果为1．（3）对290连续求根整数， 次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是 ．
3.
材料一： 材料二：
我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：．
， ， 即，的整数部分为，的小数部分为． 以为例：， ． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果．
任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______；
(2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）；
(3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）．
4.我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出300763的立方根是 ．
5.我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整：
(1)口算并填空：个位数字为______．
(2)求．①由，，可以确定是______位数；
②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______．
(3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］
题型11 实数的概念及实数的分类
1.下列说法错误的是（ ）
A．有理数包括整数和分数 B．有理数和无理数统称实数
C．无理数一定是无限不循环小数 D．两个无理数相乘的结果可能为零
2.下列说法中：
（1）负数没有立方根；（2）不带根号的数一定是有理数；（3）无理数包括正无理数，0，负无理数；
（4） 实数与数轴上的点是一一对应的，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ．
4.将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空）
①，②，③，④0，⑤ ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14．
（1）整数集合：{ …}；（2）分数集合：{ …}；（3）无理数集合：{ …}．
5.将下列各数填入相应的括号里：
（每两个1之间依次多一个0），．
负数集合：{___________…}；分数集合：{___________…}；
非正整数集合：{___________…}；无理数集合：{___________…}．
题型12 实数的估算与大小比较
1.情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想；
提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？
实践操作：小明按计算器，发现计算器显示…，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下：
材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，B两点： 材料二：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为．
学以致用：（1）的整数部分是_______，小数部分是_______；
拓展应用：（2）小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题：
①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？②若，求x的值．
2.对于实数，，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且和为两个连续正整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.估算的结果应在（ ）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间
4.比较下列各数的大小（填“”“”或“”）：
（1） 2； （2） ； （3） ．
5.阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答．(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(3)已知是的整数部分，是其小数部分，求出的值．
题型13 实数的混合运算
1.计算：
(1)；(2)．
2.计算：
(1)； (2)．
3.计算与解方程：
(1)； (2)；
(3)； (4) ．
4.计算：
(1)；(2)(3)；(4)
5.某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由．(2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值．(3)写出两组含有的“组合平方数”．
题型14 求一个数的近似数
1.精确到千位的近似值为（ ）
A． B． C． D．
2.将361000000精确到10000000，并用科学记数法表示这个近似数为 ．
3.2024年10月20日泰州市半程马拉松鸣枪开赛，本次半程马拉松赛道全长21.0975千米，将21.0975精确到0.01的近似值是 ．
4.用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ．
5.某人一天饮水，请用四舍五入法将精确到，并用科学记数法表示为 ．
题型15 确定近似数精确程度
1.某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百位，有3个有效数字
C．精确到百分位，有5个有效数字 D．精确到百位，有5个有效数字
2.下列对取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号）
①取近似数是精确到万位；②取近似数是精确到个位；
③精确到十万位得到的近似数为；④精确到百位得到的近似数为．
3.合肥园博园跻身全国热门景点，自园博会开幕以来，合肥园博园累计接待服务游客244万人次，单日最高客流量40万人次，跻身全国前二十旅游热门景区．关于244万，下列说法正确的是（ ）
A．244万用科学记数法表示为 B．244万精确到个位
C．精确到百分位 D．和244万精确度不同
4.截至2024年3月21日，已有150家疏解单位7025名职工在雄安新区缴存住房公积金，缴存金额达5.02亿元．下列关于5.02亿说法正确的是（ ）
A．5.02亿用科学记数法表示为 B．5.02亿
C．5.02亿是一个九位数 D．5.02亿精确到十万位
5.下列近似数中，说法正确的是（ ）．
A．与精确度相同 B．精确到了百万位
C．精确到了百分位 D．万精确到了万位
参考答案
题型01 平方根与立方根概念辨析
1.C
【详解】解：A、0有平方根，原说法错误，不符合题意；
B、算术平方根是本身的数只有1和0，原说法错误，不符合题意；
C、任何数都有立方根，原说法正确，符合题意；
D、正数和0才有平方根，原说法错误，不符合题意；故选：C．
2.A
【详解】解：根据平方根概念可知：①负数没有算术平方根，故错误；
②反例：0的算术平方根是0，故错误；
③当时，的算术平方根是，故错误；④的算术平方根是4，故错误；
⑤算术平方根不可能是负数，故正确．所以正确的有⑤，共1个．故选：A．
3.C
【详解】A．负数没有平方根，原说法错误，不符合题意；
B．正数的平方根可能等于或大于原数．如1的平方根为（1不小于1），0.25的平方根为，原说法错误，不符合题意；
C．立方根符号与数本身符号一致，负数立方根必为负数．如的立方根为，原说法正确，符合题意．
D．的算术平方根为（x的绝对值），当x为负时．例如，时，，原说法错误，不符合题意．故选C．
4.B
【详解】解：A．平方根等于它本身的数只有0，故A符合题意；
B．一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0或，故B不符合题意；
C．负数的立方根是负数，是真命题，故C符合题意；
D．算术平方根等于它本身的数有1或0，原命题是假命题，故D不符合题意．故选：B．
题型02 求已知数的（算术）平方根、立方根
1.C
【详解】解：解：A、的立方根是，故本选项的说法错误；
B、的平方根是，故本选项的说法错误；
C、的算术平方根是，故本选项的说法正确；
D、可能为，故本选项的说法错误．故选：C．
2.A
【详解】解：，原说法错误，不符合题意；
，原说法错误，不符合题意；
，负数没有平方根，原说法错误，不符合题意；
∵，∴的算术平方根是，
即的算术平方根是，原说法错误，不符合题意；
∵，∴的平方根是，原说法错误，不符合题意；
1的立方根是，的平方根是，原说法错误，不符合题意；∴正确的有个，故选：．
3.D
【详解】A中， ，的平方根是，而非，故A错误；
B中，负数有立方根，如的立方根是，故B错误；
C中，的立方根是（因），而非，故C错误；
D中，，的算术平方根是，故D正确；故选：D．
4.D
【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意；
、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意；
、平方根等于本身的数有，原选项说法错误，不符合题意；
、的立方根是，原选项说法正确，符合题意；故选：．
5.C
【详解】解：3的平方根是，故①错误；，故是9的一个平方根，②正确；
，故的平方根是，③正确；，故的算术平方根是，④正确；
，故⑤错误；的立方根是，故⑥错误；综上所述②③④正确，故选：C.
题型03 利用平方根、立方根解方程
1.（1）解：，
∴，
∴或 ，
解得：或；
（2）解：
解得：．
2.（1）解：
，
∴；
（2）解：
，
解得：．
3.（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，
，
，
；
（4）解：，
，
，
或．
4.（1）解：，
，
，
解得：，；
（2）解：，
，
解得：．
5.（1）解：∵
∴
∴
∴；
（2）∵
∴
∴
当时，解得；
当时，解得．
∴，；
（3），
∴
∴
∴
∴
题型04 算术平方根的非负性
1.
【详解】解：∵，且，
∴，解得：，∴；故答案为：．
2.
【详解】解：∵，，
∴，∴，∴，
∴，故答案为：．
3.A
【详解】解：∵，且，
∴，∴，，∴
∴帛画的面积为，故选：A．
4.4
【详解】解：与互为相反数，，
∵，，解得：，，
∴，故答案为：4．
5. 解：满足，
，解得，，．故答案为：12．
题型05 平方根、立方根小数点位数移动规律
1.（1）解：根据表格中的数据可知，，
∴这个正方形的面积是．故答案为：707.56．
（2）∵，，
∴算术平方根在26.6~26.7之间的整数有708，709，710，711，712，共有5个整数．故答案为：5．
（3）∵，∴，∴．故答案为：2.62．
（4）设小于26的两个正数分别是a，b，则a b＝0.1，
∴a2 b2＝（a＋b）（a b）＝0.1（a＋b），
∵，即，∴a2 b2＜0.1×52，即a2 b2＜5.2，
∵5.2＜5.21，∴a2 b2＜5.21．
2.解：（1）；；；
；；故答案为：，，1 ，10 ，100；
（2）①；
；故答案为：，；
② 故答案为：．
3.
【详解】解：，，，，
∴ ≈-0.4820，∴a=-0.112，故答案为：．
4.（1）解：由表格可知，，；
，；
，．故答案为：15.6；154；0.152；
（2）解：，
又，，
与158最接近；
，．
（3）解：对两边同时平方可得，
计算可得，的取值范围是，
则满足条件的整数的个数为个．故答案为：306．
题型06 算术平方根、立方根的实际应用
1.（1）解：∵面积为的大正方形的边长，面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，∴小正方形的对角线，
∴点A表示的数为，故答案为：，；
（2）解：图3中，正方形的面积为，∴正方形的边长，故答案为：；
（3）解：如图，点P即为所求；
（4）解：∵，，∴，
∵，当点N在点M的右侧时，N表示的数为，
当点N在点M的左侧时，表示的数为．综上所述，点N表示的数为或．
2.（1）解：∵正方体金属块的体积为，
∴这个正方体金属块的棱长为；
（2）解：重新铸造的长方体的底面积为：，
∴长方体容器的底面边长为：．
3.（1）解：设长方体底面正方形的边长为，
依题意，得：，解得：或（负值不符合题意，舍去），
答：长方体底面正方形的边长为；
（2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为，
依题意，得：，解得：，
答：每一个小正方体铁块的棱长为．
4.（1）解：设长方形封皮的宽为，则长为，
由题意得：，解得或，
答：长方形封皮的长是，宽是．
（2）解：正方形卡片能直接装进长方形封皮内，理由如下：
∵正方形卡片的面积为，∴正方形卡片的边长为，
∵，∴正方形卡片能直接装进长方形封皮内．
5.（1）解：把代入，得，∴（负值舍），
答：这场雷雨大约能持续；
（2）解：，把代入，得．
∴．答：这场雷雨区域的直径大约是．
题型07 （算术）平方根与立方根的综合运用
1.解：∵的平方根是，∴，解得：，
∵，∴，解得：，∴，
∵的算术平方根为，∴的算术平方根为2．
2.解：∵的算术平方根是2，∴，∴；
∵的立方根是，∴，∴，∴；
∵，∴，∴的整数部分为4，即，
∴，∴的平方根为．
3.(1)，，(2)(3)
（2）解：∵，，∴，∴的算术平方根为；
（3）解：∵，，∴，∴的立方根为．
4.解：（1）根据题意，可得，，，
解得，，，∴，∴的平方根为；
（2）根据题意，可得，
∴，解得，∴，．
题型08 立方根与算术平方根的性质
1.C
【详解】解：∵，即A选项恒成立，
∵，即B选项恒成立，∵，即C选项不恒成立，
∵，即D选项恒成立，故选：C．
2.解：由题意可知，，解得，∴．
∵4的平方根是，∴的平方根是．
3.解：（1）（答案不唯一）
（2）归纳可得：当时，则；
（3）由（2）知，∵与的值互为相反数，∴， 解得，
∴，∴.
4.D
【详解】解：∵，∴或1或，解得或1或3，
当时，；当时，；当时，；
∴的值为0或2或6．故选：D．
4.（1）解：∵，
∴可得，故答案为：；
（2）解：∵，
∴当时，，故答案为：；
（3）解：；，故答案为：；；
（4）解：∵∴．
题型09 与平方根、立方根有关的规律探究问题
1.B
【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：，
则第行的末尾数为．故第八行末尾数为．
根据题中规律每行数的个数是：，则第行有个数，故第八行共有个数．
定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为．综上，第八行第十五个数为，故选：B．
2.
【详解】解：，，……，
依此类推可知，第n个等式为：，
故答案为：．
3.1979
【详解】解：新建一列数：，共有2022个数，
，，
该列数中包括有理数：，个数为：，
，无理数列中，是这列无理数中的第1979个数，
故答案为：1979．
4.（1）解：∵，，故答案为：4；5；20；
（2）解：由（1）的结果可得，，故答案为：；
（3）解：由（2）猜想：，故答案为：；
（4）解：．
5.（1）∵第一个等式；
第二个等式；第三个等式；
故根据规律可猜测第五个等式为；故答案为：．
（2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为；
（3）根据规律可化简
．
题型10 与实数相关的阅读材料与新定义问题考法
1.类比探索：（1）类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；
（2）①81的四次方根是：；②0的四次方根是：0；③没有四次方根；
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
①一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；②0的四次方根是0；③负数没有四次方根；
拓展应用：（1）；
（2）∵，∴．
2.解：（1）；∵，∴，∴，故答案为：5；7．
（2）∵，∴，∴，
∴整数；故答案为．
（3）∵，，=2，=1，
∴对290连续求根整数4次之后结果为1；故答案为：4．
（4）∵，
∴对256进行4次连续求根整数运算需要4次结果为1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．
理由如下：∵，
∴对255进行3次连续求根整数运算需要4次结果为1．故答案为：255．
3.（1）解：，，即，
的整数部分为5，的小数部分为．故答案为：；
（2）解：，，，，
代入公式得．故答案为：；
（3）解：∵，∴，
∵，且，∴，，
∴，
∴的算术平方根为，
，，，，代入公式得．
4.
【详解】解：（1）由于300763大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；
（2）由于300763的个位上的数是3，从而它的立方根个位上的数是7；
（3）如果划去300763后面的三位数763得到数300，而6的立方是216，7的立方是343，
由此立方根的十位上的数是6，所以，故答案为：．
5.（1）解：∵，个位数字为，∴个位数字为，故答案为：；
（2）解：①∵，，
∴，∴可以确定是两位数，故答案为：两；
②由的个位上的数是，，个位数字为，∴的个位上的数是，故答案为：；
③∵，，，∴，
∴可以确定的十位上的数是，∴故答案为：．
（3）解：，，
的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6，的个位数字是6．
如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，，
，，即的十位数字是2．．
题型11 实数的概念及实数的分类
1.D
【详解】解：A．有理数包括整数和分数，选项正确，不符合题意；
B．有理数和无理数统称实数，选项正确，不符合题意；
C．无理数一定是无限不循环小数，选项正确，不符合题意；
D．因为无理数不为零，所以两个无理数相乘的结果一定不是零，选项错误，符合题意；故选：D．
2.A
【详解】解：（1）负数有立方根，原说法错误，不符合题意；
（2）不带根号的数不一定是有理数，如是无理数，原说法错误，不符合题意；
（3）无理数包括正无理数，负无理数，原说法错误，不符合题意；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的，正确，符合题意，故选：A．
3.9
【详解】解：无理数为：，得；整数为：6，0，得；
非负数为：，，，，0，，得；∴，故答案为：9．
4. ③④⑥ ①⑤⑨ ②⑦⑧
【详解】解：，
（1）整数为：③，④0，⑥；故答案为；③④⑥
（2）分数为：①，⑤，⑨3.14．故答案为；①⑤⑨
（3）无理数为：②，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），故答案为：②⑦⑧
5.解：负数集合：{,...}；分数集合：{，...}；
非正整数集合：{,...}；
无理数集合：{（每两个1之间依次多一个0),...．}
题型12 实数的估算与大小比较
1.解：（1）∵，
∴，∴的整数部分是4，小数部分为：；
（2）①∵，∴，∴；即：介于3和4之间；
∵，∴；
②∵，∴，∴或．
2.A
【详解】解：∵，，∴，
∵和为两个连续正整数，，
∴，，∴．故选：A．
3.D
【详解】解： ∵，，∴介于2和3之间，
又∵，，∴在2.6到2.7之间；
当时，；当时，，∴的范围为到．
故的结果在到之间，位于9和10之间，选项D满足．故选：D．
4.
【详解】解：∵，，
∴，，即，，∴，
（1），故答案为：；
（2）；故答案为：；
（3），故答案为：．
5.（1）解：，即，
的整数部分为3，小数部分为．故答案为：3；；
（2）解：，，，
，，，，∴的值是；
（3）解：，，，
∵是的整数部分，是其小数部分，，，
，∴的值为．
题型13 实数的混合运算
1.（1）解：
；
（2）解：
．
2.（1）解：
．
（2）解：
．
3.（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，
，
，；
（4）解：；
4.（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
5.（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下．
∵，，，
∴，，这三个数是“组合平方数”．
（2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，
∴，，都是整数．
∴或．∴或（不合题意，舍去）．
当时，这三个数，，是“组合平方数”．
综上所述，m的值为．
（3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一）
故答案为：，，或，，（答案不唯一）．
题型14 求一个数的近似数
1.C
【详解】解：精确到千位的近似值为，故选：．
2.
【详解】解：361000000精确到10000000，并用科学记数法表示为．故答案为：．
3.21.10
【详解】解：将21.0975精确到0.01的数是21.10．故答案为：21.10．
4.
【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确到十分位结果是，故答案为：
5.
【详解】解：将精确到，并用科学记数法表示为．故答案为：．
题型15 确定近似数精确程度
1.B
【详解】解：∵，∴它有3个有效数字，9，0，6，精确到百位．故选B．
2.①
【详解】解：①取近似数是精确到万位，故原说法正确；
②取近似数不是精确到个位，故原说法错误；
③精确到十万位得到的近似数为，故原说法错误；
④精确到百位得到的近似数为，故原说法错误；故答案为：①．
3.】A
【详解】解：A．244万用科学记数法表示为，故A正确；
B．244万精确到万位，故B错误；C．精确到万位，故C错误；
D．和244万精确度相同，故D错误．故选：A．
4.C
【详解】A. 5.02亿用科学记数法表示为，原说法错误；
B. 5.02亿，原说法错误；C. 5.02亿是一个九位数，说法正确；
D. 5.02亿精确到百万位，原说法错误；故选C．
5.B
【详解】解：A、精确到十分位，精确到百分位，则与精确度不相同，此选项不符合题意；
B、，则6在百万位上，因此精确到百万位，此选项符合题意；
C、，则3后的第一个0在百位上，因此精确到了十位，此选项不符合题意；
D、万，则5在千位上，因此万精确到了千位，此选项不符合题意．故选：B．

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