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2.3二次根式（课时练习）
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A．+= B．2×= C．3－=3 D．÷=2
2．估计的值应在（　　）
A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间
3．函数中自变量是的可能取值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若 ，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a≠0 C．a＜0 D．a≥0
5．若=成立，则x的取值范围为（　　）
A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2≤x＜3
6．下列各式属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
7．观察下列二次根式的化简
S1=
S2=
S3=，则=（　　）
A． B． C． D．
8．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有(　　)
；
的小数部分为；
；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
9．若代数式有意义，则x的取值范围是 　 　．
10．计算： 　 　.
11．若 ＜0，则代数式 可化简为　 　.
12．已知，则　 　.
13．如图，在长方形 中无重叠放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为　 　 .
14．已知a＜3，则=　 　．
15．已知，则　 　．
16．化简　 　．
17．已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是　 　.
三、解答题
18．已知，求代数式的值．
19．解答下列各题：
（1）已知．求的值．
（2）若，求的平方根．
20．配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
21．若a，b是一等腰三角形的两边长，且满足等式，试求此等腰三角形的周长．
22．已知，．
（1）求的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值．
23．在二次根式的计算中，经常会出现，这样的式子，其实可以将其进一步化简.例如：；。以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
根据以上化简方法，解答下列问题：
（1）化简：　 　；
（2）请通过计算比较与的大小；
（3）计算。
24．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值.
25．
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】 A、和不属于同类项，不能合并，A错误；
B、2×=，B错误；
C、，C错误；
D、÷=2，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则依次计算即可.
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴a≥0，
故选：D．
【分析】根据二次根式的性质可得=|a|，再根据绝对值的性质进行计算即可．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵=成立，
∴，
解得：2≤x＜3．
故选：D．
【分析】利用二次根式的定义（a≥0），进而分析得出即可．
6．【答案】B
【解析】【解答】A、 含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 符合最简二次根式的定义，故本选项符合题意；
C、 含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 被开方数含分母，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式满足的两个条件：被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式；被开方数不能含有分母，对各选项逐一判断即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：根据化简的二次根式，分析可得：
=（1+-）+（1+-）+（1+-）++（1+-）（1+-）
一共有2023个多项式相加，
=1×2023+1-+-+-++-+-
=2023+1-
=2024-
∴ ==1+=
故答案为：D.
【分析】根据数据的规律，可以求出的表达式，化简求出代数式的值即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵的整数部分为2，小数部分为，
根据题意得，其整数部分为6，小数部分为；
，其整数部分为10，小数部分为；
，其整数部分为14，小数部分为；
，其整数部分为18，小数部分为；
，其整数部分为22，小数部分为；
，其整数部分为26，小数部分为；
…
，
∴①，故①正确；
②a2025的小数部分为，故②正确；
③，故③错误；
④
=
=
=
=
=
=
=
故④正确，
故答案为：C.
【分析】根据定义分别求出，从而找到an的规律，再逐个判断即可.
9．【答案】
10．【答案】
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】先进行二次根式的乘除法的运算，再将其化简为最简二次根式即可.
11．【答案】
【解析】【解答】若ab＜0，且代数式 有意义；
故有b＞0，a＜0；
则代数式 =|a| =-a .
故答案为：-a .
【分析】二次根式有意义，就隐含条件b>0，由ab＜0，先判断出a、b的符号，再进行化简即可.
12．【答案】1
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
，
故答案为：1.
【分析】根据10、x-2<0，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简.
13．【答案】8 -12
【解析】【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为4cm， ＝ cm，∴AB＝4cm，BC＝（ ＋4）cm，∴空白面积＝（ ＋4）×4－12－16＝8 ＋16－12－16＝（8 －12）cm2，故答案为8 －12.
【分析】根据正方形的面积公式分别求出两正方形的边长，从而求出长方形的长与宽，根据空白面积=长方形面积-两正方形的面积进行计算即可.
14．【答案】3-a．
15．【答案】3
16．【答案】
17．【答案】2027
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
18．【答案】3
19．【答案】（1）39
（2）
20．【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：，，
，
，
∴
．
（3）解：∵，，
∴．
【解析】【分析】（1）运用完全平方公式的变形求解；
（2）分别求出再求出的值，然后配成完全平方，接着代入求值；
（3）将变形为完全平方：，再整体代入求解．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：，，
，
，
则
．
（3）解：∵，，
∴．
21．【答案】解：根据题意得，3a﹣6≥0且2﹣a≥0，
解得a≥2且a≤2，
所以a=2，
b=4，
①a=2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
②a=2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
所以此等腰三角形的周长为10．
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a，再求出b，然后分a是腰长与底边两种情况讨论．
22．【答案】（1）13
（2）的值为
23．【答案】（1）2
（2）解：因为，，
且，
所以，
所以；
（3）解：原式
【解析】【解答】（1）解：.
故答案为：2.
【分析】（1）利用分母有理化，化简即可求解；
（2）利用分母有理化，比较与的大小，即可求解；
（3）利用分母有理化，化简即可求解．
24．【答案】.
25．【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
【解析】【分析】(1)①x+2023与x-2023在有意义的前提下均为单调递增的表达式，因为被开方式为非负数，所以x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023，故x=2023时，x+2023+x-2023的最小值为>，方程①无解.
②x-2022+ x-2023+ x-2024同①理，有意义的前提下为单调递增的表达式，由x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024，故x=2024时，x-2022+ x-2023+ x-2024的最小值为2+1<3，方程②有解.
(2)由 3x+2023+3x-2023=2023，及所求代数式3x+2023-3x-2023的形式，很容易联想到平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2，于是3x+2023-3x-2023=y ，得(3x+2023)-（3x-2023）=2023y，y=2.

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