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莆田第一中学2025-2026学年度上学期月考(一)考试试卷
高三 数学
一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．复数iz=3+5i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中常数项为（ ）
A．-240 B．-160 C．240 D．160
4．已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6.设 a>0，b>0，则“ a=b =1”是“” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，（b＞1），则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ）
B．为单调递增数列
C．使 Sn>0 的 n的最小值为18 D.当且仅当n=8 时，Sn最小
10．（多选）甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A． B．
C． D．
11．定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．记是不大于的最大整数，则函数满足题设条件
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知点在抛物线：上，则到的准线的距离为
13．若变量x和y的4对观测数据为(-2，-10)，(-1，-5)，(1，4)，(2，11)， 两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），请写出参数的最小二乘估计值为
14．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，等边三角形的高为9，一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知等比数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，，求数列的通项公式．
16．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
17．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，．
(1)若点为线段的中点，证明：∥面；
(2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积．
设函数，其中a，b为参数.
证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；
若y=f(x)的对称中心为整点(横、纵坐标均为整数)，函数f(x)的一个极值点为x=1，且 f(x) 有且仅有两个零点，求f(x)；
在(2)的条件下，直线l与曲线y=f(x)依次交于点A，B，C，且 |AB|=|BC|=，求直线l的方程.
19．为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升．
(1)经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数）
(2)在独立重复实验中，为事件在试验中出现的概率，为试验总次数，随机变量为事件发生的次数．若较小，较大，而的大小适中，不妨记，则，经计算，当时，．若随机变量的概率分布密度函数为，称服从参数为的泊松分布，记作．（其中，为自然对数底数）
①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明：；
②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5
升数 17 20 10 2 1 0
若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？
参考数据：
（Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为，
（Ⅱ），，，，，

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