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广西壮族自治区崇左市宁明县宁明中学2025-2026学年高一上学期暑期综合素质测试（开学）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
2．对多项式分解因式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
3．关于的不等式的解为（ ）
A． B．
C． D．
4．计算：（ ）
A． B．
C． D．
5．已知且，求的取值范围（ ）
A．
B．
C．或
D．或
6．已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接与的延长线相交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．一个直角三角形的两条直角边的比是，则它们在斜边上的射影之比是 .
8．设，且，则 .
9．如图，在中，，圆与的三边相切于点，若圆的半径为2，则的周长为 .

10．若已知二次函数经过点，且在轴上截得的线段长为2，则该抛物线的解析式为 .
三、解答题
11．解下列方程（组）：
(1)；
(2).
12．如图，点的坐标分别为，以点为圆心，2为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为多少？

13．如图，边长为6的等边三角形内接于，点为上的动点（点除外），的延长线交于点，连接.
(1)求证；
(2)当时，求的长.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B B C B B
1．B
【详解】已知一元二次方程的两个根分别为，由根与系数的关系，可得，
故选：B.
2．B
【详解】，ACD错误，B正确.
故选：B
3．B
【详解】由得，解得.
故选：B
4．C
【详解】由题可知：，
所以
故选:C.
5．B
【详解】设
因为，
所以，
又因为，将与的取值范围相加，
所以，
即.
故选：.
6．B
【详解】过点作，交于点，连接.
因为，,所以，即.
因为点是的中点，，所以，即，所以.
因为正方形的边长为，所以，
所以
，
所以，
所以.
故选:B.
7．/
【详解】如图，在中，，且，，
则由射影定理，可得，，
所以，，所以.
故答案为：.
8．4
【详解】由，得.
故答案为：4
9．30
【详解】连接，设，易得，
由圆与的三边相切于点，可知，
所以四边形为正方形，
因为圆的半径为，所以，
在中，，即，解得，
所以的周长为.
故答案为：30

10．或
【详解】因为抛物线与轴有交点，
不妨设两个交点的横坐标分别为，则根据抛物线在轴上截得的线段长为2，
可知，
又已知，所以不妨设，则可得或.
若，设，代入点坐标，得，
此时解析式为；
若，则设，代入点坐标，得，
此时解析式为.
综上，抛物线的解析式为或.
故答案为：或
11．(1)或或或；
(2)3或7.
【详解】（1）原方程组为，
可变形为或，
分别解这两个方程组，得原方程组得解为或或或.
（2）原方程可整理为：，
左右两边同时平方整理得：，
左右两边同时平方整理得：，
解之得或，
经检验，或是原方程的解.
12．3
【详解】如图，连接，

∵点为线段的中点，∴由圆的性质可得，
∴点在以为直径的上运动，的半径为，
如图，连接交于，
∴当三点共线时，线段的值最小，
由勾股定理得，，
∴线段的最小值为.
13．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）弧所对的圆周角是，
又；
（2）是等边三角形，
，
因为，所以；
连接，如图，弧弧，
又，
，
（负值舍去），，解得，.

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