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2025年中国科学技术大学新生入学考试数学试题
一、填空题（每空5分，共40分)
1.函数f(x)=x“ex,00.010
.001
0.4060.0
2.设=√2,2=π右，=e产，4=e,其中e是自然对数的底数，π是圆周率，则
,x2,3,x4从小到大排序为
3.若方程2sinx=x+c在区间(0,2π)内有唯一解，则实数c的取值范围为
4.设复数z满足|z=z+1一，i是虚数单位，则z2=x+y的轨迹方程为
5.在平面直角坐标系中，椭圆x2+2cy+3y2=4的长轴方程为
6设n是正整数。化简和式24“=
(表示成n的多项式)
7.设无顶盖的长方体盒子（共5个面）的表面积是1，则其容积的最大值为
8.数列F=F2=1,Fn=Fn-1十Fn-2（n=3,…,2025)共有一项可被9整除
二、解答题（每题15分，共60分，须写出必要的计算和证明过程）
9.给定△ABC,设a=|BC,b=|AC,c=|AB引，动点D,E,F分别在线段BC,AC,AB
上，求p=|D+|DF+|EF的最小值（用a,b,c表示）
10.过空间四面体ABCD的顶点分别作垂线UA⊥BCD,lg⊥ACD,lc⊥ABD,lo⊥ABC,
求证：若AB⊥CD且AC⊥BD,则直线LA,la,lc,ID相交于一点
2025
2025
2025
11.设A=
a,B=a,其中a,6都是实数，求证：
=
V@+尿≥yR+F
并给出上式取等号的充分必要条件
12.设随机变量X,Y相互独立并且分布列相同，X+Y的分布列是否可能为
P(X+y=)=mi血k,14-
2(k=2,3,…,12)
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证明你的结论2025年中科大新生入学考试数学试题详解
1、函数f(x)=xer,00.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a
f0=6<002b=7.02=ea-7网，x02,093
dx
2、设5=，5=对点5=克=，其中e是自然对数的底数，是圆周率，求行西
的从小到大的顺序
解：x8x4<二→x26π
<8→h2>号2→分如2>%>%，棕上有<<<
3、若方程2si血x=x+c在区间(0,2π)内有唯一解，求实数c的取值范围
解：0四9.9cmx--号警2如写-含*宁=5-号
dx dx
智-智+65-智如图所求：2a05-管5-
2sin-
x十C
2sinx
x+2
t=2T
4、设复数z满足2=2+1-，i是虚数单位，求z2=x+y的轨迹方程
解：设z=m+ni,由已知得m2+n2=(m+1)2+(n-1)2→m-n+1=0→z=n-1+ni→
x+7=2=1-2m+2n1-1i→x=1-2m,y=20m-)→y-2-
2
5、在平面直角坐标系中，求椭圆x2+2y+3y2=4的长轴方程
x2+y2
5-1+2k+3W→0-3g0k2-25k+1-5=0,△≥0→-1+4转-2g2≥0
僻：5+2y+325、1+
÷1号兰-051-0：引-1万释长抽方y-同
6、设n是正整数，化简和式∑k=(表示成n的多项式)
解：下图三角形式为每行最右数为1，从右边起第2项的数为它肩上两数之和再乘以2，第3
项为它肩上两数之和再来以3，，则i=C42=2C+C24之=6C+6C+C2
i】
27=24ci+36Ca+14ci+c品，2=120c0+240cl+15oca+30c+C2-
ns n3 5n4 n2
621212
1
2
6
6
1
24
36
14
1
120
240
150
30
1
720
1800
1560
540
62
1
7、设无顶盖的长方体盒子（共5个面)的表面积是1，求其容积的最大值
解：设长宽高分别为a,b,c,①表面积为ab+2ac+2bc=1,V=abc,由均值不等式：
1-ab+2ac+2bc≥3406c=3x4.v3r≤，1=5（a-6-
。1
C
取等)
32×42
18
3
23
②表面积ac+2ab+2bc=1,V=bc,1=ac+2ab+2bc≥34ab'c-3x4r号→r≤5
8
③表面积c+2ab+2ac=1V=abc,1-bc+2ab-2ac≥34a'6-3x4.v房y≤日
12
18
综上，所求容积的最大值为V5
18
8、数列耳=F2=1,n=Fn-1+Fm-2(m=3,,2025)共有一项可被9整除
解：斐波那契数列模9的值会出见周期性变化：乃≡1(mod9),F三1(mod9),F三2(mod9),
F4=3(mod9),F≡5(mod9),F6=8(mod9),F,≡4(mod9),8≡3(mod9),,=7(mod9),
F0=1(mod9),F1=8(mod9),F2≡0(mod9),F3=8(mod9),4=8(mod9),Fs=7(mod9),
五6=6(mod9),7=4(mod9),8=1(mod9),Fg=5(mod9),F20=6(mod9),F21=2(mod9),
F22=8(mod9),F23=1(mod9),F4=0(tmod9),F5=1(mod9),F6≡1(mod9),T-24,一个周期
内被9降的有两个，截205项里总共有[22=163项可被9垫除。

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