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第二章《几何图形的初步认识》提升卷—冀教版（2024）数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024七上·九江月考）下面的几何体中，属于柱体的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：图中的几何体从左到右依次是：长方体、圆柱、四棱柱、三棱锥、圆锥、三棱柱，
因此柱体有：长方体、圆柱、四棱柱、三棱柱，共4个，
故答案为：D
【分析】根据柱体、锥体、球体的形体特征：
柱：两底面平行全等，侧面为平行四边形（直柱为矩形）；圆柱由矩形旋转而成。
锥：一个底面，侧面交于顶点；圆锥由直角三角形旋转而成；
球：表面各点到球心距离相等，由半圆旋转而成
然后再根据该特征，对各个图形进行逐一分析即可。
2．（2024七上·甘德期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　）
A．如图1所示，延长线段到点
B．如图2所示，射线不经过点
C．如图3所示，直线和直线相交于点
D．如图4所示，射线和线段没有交点
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A中，由如图1所示，延长线段到点C，几何图形与相应语言描述不相符，故A错误；
B中，由如图2所示，应该为射线不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符，故B错误；
C中，由如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符，故C正确；
D中，由如图4所示，因为射线可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符，故D错误.
故选：C．
【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义及判断，根据题意，利用延长线段，以及直线或射线相交和过一点画直线的作法，结合选项，分别分析判断，即可得出答案．
3．（2025七上·光明期末）下列四个生产生活现象，可以用＂两点之间，线段最短＂来解释的是（　　）
A．把弯曲的河道改直，可以缩短航程
B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A可以用两点之间，线段最短解释，符合题意；
B可以用两点确定一条直线，不符合题意；
C可以用两点确定一条直线，不符合题意；
D可以用两点确定一条直线，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024七上·南宁开学考）在一条线段中间另有个点，则这个点可以构成（　　）条线段．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：这个点可以构成：（条），
故答案为：C
【分析】根据线段的定义即可求出答案.
5．（2024七上·公主岭期末）已知点在线段上，则下列条件中，不能确定点是线段中点的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：根据或或，能确定点是线段的中点，
根据，能确定点是线段上任意一点，不能确定点是线段的中点，
故选：C ．
【分析】本题考查了线段中点的定义， 如果一个点将线段分成两条相等的线段，那么这个点就被称为线段的中点，根据线段中点的定义，逐项分析判断，即可求解．
6．（2025七上·嵊州期末）如图，点C、D、E、F都在线段上，点E是的中点，点F是的中点，若，，则线段的长为（　　）
A．24 B．30 C．32 D．42
【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由线段的和差，得
．
由点E是的中点，点F是的中点，得
，．
．
由线段的和差，得
．
故答案为：B．
【分析】利用线段的和差得到，然后利用线段中点定义得到解题即可．
7．（2025七上·浦江期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由图和题意，得：，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据尺规作图，利用线段的和差计算解题．
8．（2025七上·龙岗期末）下列时刻中，钟表的时针与分针所成的夹角是锐角的是（　　）．
A．11：15 B．9：00 C．6：00 D．3：30
【答案】D
【知识点】角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：A、当时间为 11：15时，时针与分针所成夹角是钝角，不符合题意；
B、当时间为 9：00时，时针与分针所成夹角是直角，不符合题意；
C、当时间为 6：00时，时针与分针所成夹角是平角，不符合题意；
D、当时间为 3：30时，时针与分针所成夹角是锐角，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据角的分类，判断各选项即可.
9．（2024七上·新都开学考）一架飞机从某机场向南偏东方向飞行了 800 千米，返回时飞机应向（ ）
A．南偏东 方向飞行 800 千米
B．北偏东方向飞行 800 千米
C．南偏西方向飞行 800 千米
D．北偏西方向飞行 800 千米
【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：根据南偏东和北偏西是相对的，则返回时飞机应向北偏西方向飞行800千米.
故答案为：D.
【分析】根据方向具有相反性的相对性知南偏东和北偏西是相对的，据此可推出返回时飞机应航行的方向．
10．（2025七上·江北期末）将一副直角三角板按如图所示各位置摆放，其中与一定互余的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、与不互余，选项不符合题意；
B、与不互余，选项不符合题意；
C、与相等但不一定互余，选项不符合题意；
D、因为，
所以与互余，选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】依据余角的定义，以及各图中三角形的摆放方式判断解题．
11．（2025七上·湖州期末）一副三角板如图所示摆放，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：根据图可知：，，∵，
∴，
∴．
故应选：B．
【分析】由于三角板中的角都是特殊角，则、可直接得到，当的角度已知时，要求，只需计算出即可．
12．（2024七上·河北邢台经济开发期末）如图所示，若绕着点逆时针旋转后与重合，那么与线段相等的线段是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，点的对应点是点，点是旋转中心，
，
故选：B．
【分析】本题考查了旋转的性质，其中对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变；旋转中心是唯一不动的点；一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度，得到点的对应点是点，点是旋转中心，据此作答，即可得出答案．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．（2024七上·镇海区期末）若，，则　 　（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
故答案为：．
【分析】根据1°=60'，1'=60″先将两个角的单位统一，再进行比较大小即可求解．
14．（2024七上·成都期中）折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了　 　．
【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面．
故答案为：线动成面
【分析】线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，根据线动成面的数学原理即可得出答案．
15．如图，把∠APB放在量角器上，读得射线PA，PB分别经过刻度117和153，把∠APB绕点P按逆时针方向旋转到∠A'PB'，当时，射线PA'经过刻度　 　。
【答案】45
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：射线、分别经过刻度117和153，
，
由绕点逆时针方向旋转得到，
，
，且，
，
，
射线经过刻度，
故答案为：45．
【分析】由题意得，再根据旋转的性质可知，，然后结合已知条件求出，即可得到射线经过刻度．
16．（2024七上·吴兴期末）为了庆祝龙年的到来，小陈将一副七巧板拼成如图所示的“龙”的图案，则∠ABC=　 　度.
【答案】135
【知识点】角的运算；七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：如图，△ABD和△BEF都是等腰直角三角形，且∠ABE=180°.
∴∠ABD=90°，∠EBC=45°.
∴∠ABC=180°－∠EBC=180°－45°=135°.
故答案为：135.
【分析】观察图形，发现∠ABC=180°－∠EBC，求得∠EBC即可解决问题.
三、解答题：本大题8小题，共72分.
17．（2024七上·南山期中）用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不必写作法）
（1）如图1，作图：已知线段a，b，作一条线段，使它等于
（2）如图2，已知， 且， 作，使；
（3）如图3，以点B为顶点、射线为一边，作，使．
【答案】（1）解：如图，线段AC为所求；
（2）解：如图，∠DEF为所求；
（3）解：如图，，为所求．
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】（1）作射线，在上顺次截取，，使，则即为所求；
（2）先根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作，再在的内部作，则即为所求；
（3）由题意知，这样的有两个，分别根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可．
（1）解：如图，为所求，
（2）解：如图，为所求，
（3）解：如图，，为所求．
18．（2024七上·滦南期中）作图题：
（1）如图，A、B是公路两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A、B两村的距离和最小，试在上标注出点P的位置，并说明理由，
理由：___________________________．
（2）如图所示，的顶点在8×8的网格中的格点上．画出绕点A顺时针旋转得到的；
【答案】（1）；两点之间，线段最短
（2）解：如图：即为所作．
【知识点】两点之间线段最短；作图﹣旋转
【解析】解：（1）连接AB两点与直线l相交即为点的位置，如图所示：
理由是：两点之间，线段最短，
【分析】
（1）考查了线段的性质，根据两点之间线段最短，进行解答，即可得到答案；
（2）根据图形旋转的性质，分别将点绕点旋转，连线即可得到答案．
（1）解：点的位置如图所示：
理由是：两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短；
（2）如图：即为所作．
19．（2025七上·鄞州期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ．
（1）求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度．
（2）如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ，，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据最长为，最短为，解题即可；
（2）根据得到，然后解题即可．
（1）解： ，
，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件．
20．（2024七上·吉林期中）阅读下面材料，并回答问题．
如图1，与互余，且，若，请你补全图形，并求的度数．
以下是娜娜的解答过程：
解：如图2，因为与互余，
所以___________．
又，即，
所以，
解得___________．
由题意得，
所以___________．
静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有一种情况．”
请完成下面两个问题：
（1）请你将娜娜的解答过程补充完整；
（2）根据静静的想法，请你在图3中补画出另一种情况，并直接写出此时的度数为___________．
【答案】（1）解：如图2，因为与互余，
所以．
又，即，
所以，
解得．
由题意得，
所以．
故答案为：；
（2）．
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（2）如图，因为与互余，
所以．
又，即，
所以，
解得．
由题意得，
所以，
故答案为：．
【分析】（1）由与互余，得到，再由，求得，结合，即可得到答案.
（2）当在内部时，据此作图，由与互余，得到，结合，求得，结合，即可求解.
（1）解：如图2，因为与互余，
所以．
又，即，
所以，
解得．
由题意得，
所以．
故答案为：；
（2）如图，因为与互余，
所以．
又，即，
所以，
解得．
由题意得，
所以，
故答案为：．
21．综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体：
（1）操作探究：观察下列几何体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 　 　
棱数E 6 　 　 12 　 　
面数F 4 5 　 　 8
（2）总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是　 　，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式．
【答案】（1）6；9；12；6
（2）
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】（1）解：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）解：观察表得，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，
故答案为：．
【分析】（1）观察几何体，补充表格即可；
（2）通过观察，发现棱数=定点数+面数-2.
22．如图，P是线段AB 上一点， ，动点 C，D分别从点 P，B出发，分别以 的速度沿直线 AB 向左运动(点C在线段AP 上运动，点D 在线段BP 上运动)，设运动的时间为t(s).
（1）若C，D运动到任一时刻时，总有 ，请求出 AP 的长.
（2）在(1)的条件下，Q是直线AB 上一点，且. 求 PQ的长.
【答案】（1）解：将PC=t， BD=2t和PD =2AC分别代入AC+PC+PD+BD=12，
得3AC=12-3t，
解得AC =4-t，
∴AP=AC+PC=4-t+t=4(cm)
（2）解：当点Q在线段AB上时：
∵AQ-BQ = PQ， AP =4cm，
∴BQ+PQ=AQ =AB-AP=12-4=8(cm)
∴PQ=AQ﹣AP=8﹣4=4(cm)；
当点Q在AB延长线上时：
∵AQ﹣BQ = PQ，
∴BQ+PQ =AQ = AB+BQ，
∴PQ=AB=12cm.
综上， PQ =4cm或12cm
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)由 可知 ，即
(2)分类讨论，当点 Q在线段AB上时和点Q在AB 的延长线上时，分别求解.
23．（2024七上·丛台期末）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将两个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．
（1）如图①，已知，若，则________；
（2）如图②，已知，若，求的度数；
（3）经过一番探究，小明和他的同伴们发现：如图③，若，，则可以用含α和β的式子直接表示的度数，你发现什么规律了吗？请你写出正确的结论，不必证明．
【答案】（1）
（2）解：因为，且，
可得，所以.
（3）解：因为，且，
可得，所以．
【知识点】角的运算；角度的四则混合运算
【解析】解：（1）因为，且，
可得，所以.
故答案为：.
【分析】（1）根据角的和差运算，先求得的度数，再由，即可求解；
（2）根据角的和差运算，先求得的度数，再由，即可求解；
（3）根据角的和差运算，先求得，再由，即可求解．
（1）∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴．
24．（2024七上·长沙期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角. 如图1，若射线OC，OD在的内部，且，则是的内余角.
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，，若是的内余角，则　 　；
（2）如图2，已知，将OA绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OC，同时将OB绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OD. 若是的内余角，求的值；
（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合，如图4，将三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，请求出t的值.
【答案】（1）34°
（2）解：由旋转的性质可知：
，，
，
，，
是的内余角，
，
即：，解得：
（3）解：分情况讨论如下：
（i）如图①所示，此时，是的内余角，
由旋转的性质可知，，
，
故这种情况不成立.
（ii）如图②所示，此时，是的内余角，
由旋转的性质可知，，
，
解得：.
（iii）如图③所示，此时，是的内余角，
由旋转的性质可知，，
，
解得：.
（iV）如图④所示，此时是的内余角，
由旋转的性质可知，，
，
故这种情况不成立.
综上所述：当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，t的值为，
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1），，
∠BOC=∠AOB-∠AOC=72°-20°=52°，
又是的内余角，
，
∠BOD=∠BOC-∠COD=52°-18°=34°.
故答案为：34°.
【分析】（1）利用角的和差先求出∠BOC=52°，再根据内余角求出∠COD=18°，进而可求得∠BOD=34°；
（2）根据旋转的性质可知，再 用含的式子分别表示出∠COB和∠AOD，再根据是的内余角列式求解即可；
（3）根据内余角的计算方法，分两大类讨论，当是的内余角时， （i）OC在∠AOB的内部，（ii）OC在射线OB的下方；当是的内余角时，（iii） OD在射线OA的上方，（iV） OD在∠AOB的内部；根据旋转的性质用含t的式子表示出对应的内余角，列式求解即可.
1 / 1第二章《几何图形的初步认识》提升卷—冀教版（2024）数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024七上·九江月考）下面的几何体中，属于柱体的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024七上·甘德期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　）
A．如图1所示，延长线段到点
B．如图2所示，射线不经过点
C．如图3所示，直线和直线相交于点
D．如图4所示，射线和线段没有交点
3．（2025七上·光明期末）下列四个生产生活现象，可以用＂两点之间，线段最短＂来解释的是（　　）
A．把弯曲的河道改直，可以缩短航程
B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线
4．（2024七上·南宁开学考）在一条线段中间另有个点，则这个点可以构成（　　）条线段．
A． B． C． D．
5．（2024七上·公主岭期末）已知点在线段上，则下列条件中，不能确定点是线段中点的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七上·嵊州期末）如图，点C、D、E、F都在线段上，点E是的中点，点F是的中点，若，，则线段的长为（　　）
A．24 B．30 C．32 D．42
7．（2025七上·浦江期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七上·龙岗期末）下列时刻中，钟表的时针与分针所成的夹角是锐角的是（　　）．
A．11：15 B．9：00 C．6：00 D．3：30
9．（2024七上·新都开学考）一架飞机从某机场向南偏东方向飞行了 800 千米，返回时飞机应向（ ）
A．南偏东 方向飞行 800 千米
B．北偏东方向飞行 800 千米
C．南偏西方向飞行 800 千米
D．北偏西方向飞行 800 千米
10．（2025七上·江北期末）将一副直角三角板按如图所示各位置摆放，其中与一定互余的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七上·湖州期末）一副三角板如图所示摆放，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
12．（2024七上·河北邢台经济开发期末）如图所示，若绕着点逆时针旋转后与重合，那么与线段相等的线段是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．（2024七上·镇海区期末）若，，则　 　（填“＞”，“＝”或“＜”）．
14．（2024七上·成都期中）折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了　 　．
15．如图，把∠APB放在量角器上，读得射线PA，PB分别经过刻度117和153，把∠APB绕点P按逆时针方向旋转到∠A'PB'，当时，射线PA'经过刻度　 　。
16．（2024七上·吴兴期末）为了庆祝龙年的到来，小陈将一副七巧板拼成如图所示的“龙”的图案，则∠ABC=　 　度.
三、解答题：本大题8小题，共72分.
17．（2024七上·南山期中）用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不必写作法）
（1）如图1，作图：已知线段a，b，作一条线段，使它等于
（2）如图2，已知， 且， 作，使；
（3）如图3，以点B为顶点、射线为一边，作，使．
18．（2024七上·滦南期中）作图题：
（1）如图，A、B是公路两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A、B两村的距离和最小，试在上标注出点P的位置，并说明理由，
理由：___________________________．
（2）如图所示，的顶点在8×8的网格中的格点上．画出绕点A顺时针旋转得到的；
19．（2025七上·鄞州期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ．
（1）求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度．
（2）如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由．
20．（2024七上·吉林期中）阅读下面材料，并回答问题．
如图1，与互余，且，若，请你补全图形，并求的度数．
以下是娜娜的解答过程：
解：如图2，因为与互余，
所以___________．
又，即，
所以，
解得___________．
由题意得，
所以___________．
静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有一种情况．”
请完成下面两个问题：
（1）请你将娜娜的解答过程补充完整；
（2）根据静静的想法，请你在图3中补画出另一种情况，并直接写出此时的度数为___________．
21．综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体：
（1）操作探究：观察下列几何体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 　 　
棱数E 6 　 　 12 　 　
面数F 4 5 　 　 8
（2）总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是　 　，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式．
22．如图，P是线段AB 上一点， ，动点 C，D分别从点 P，B出发，分别以 的速度沿直线 AB 向左运动(点C在线段AP 上运动，点D 在线段BP 上运动)，设运动的时间为t(s).
（1）若C，D运动到任一时刻时，总有 ，请求出 AP 的长.
（2）在(1)的条件下，Q是直线AB 上一点，且. 求 PQ的长.
23．（2024七上·丛台期末）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将两个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．
（1）如图①，已知，若，则________；
（2）如图②，已知，若，求的度数；
（3）经过一番探究，小明和他的同伴们发现：如图③，若，，则可以用含α和β的式子直接表示的度数，你发现什么规律了吗？请你写出正确的结论，不必证明．
24．（2024七上·长沙期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角. 如图1，若射线OC，OD在的内部，且，则是的内余角.
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，，若是的内余角，则　 　；
（2）如图2，已知，将OA绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OC，同时将OB绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OD. 若是的内余角，求的值；
（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合，如图4，将三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，请求出t的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：图中的几何体从左到右依次是：长方体、圆柱、四棱柱、三棱锥、圆锥、三棱柱，
因此柱体有：长方体、圆柱、四棱柱、三棱柱，共4个，
故答案为：D
【分析】根据柱体、锥体、球体的形体特征：
柱：两底面平行全等，侧面为平行四边形（直柱为矩形）；圆柱由矩形旋转而成。
锥：一个底面，侧面交于顶点；圆锥由直角三角形旋转而成；
球：表面各点到球心距离相等，由半圆旋转而成
然后再根据该特征，对各个图形进行逐一分析即可。
2．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A中，由如图1所示，延长线段到点C，几何图形与相应语言描述不相符，故A错误；
B中，由如图2所示，应该为射线不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符，故B错误；
C中，由如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符，故C正确；
D中，由如图4所示，因为射线可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符，故D错误.
故选：C．
【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义及判断，根据题意，利用延长线段，以及直线或射线相交和过一点画直线的作法，结合选项，分别分析判断，即可得出答案．
3．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A可以用两点之间，线段最短解释，符合题意；
B可以用两点确定一条直线，不符合题意；
C可以用两点确定一条直线，不符合题意；
D可以用两点确定一条直线，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：这个点可以构成：（条），
故答案为：C
【分析】根据线段的定义即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：根据或或，能确定点是线段的中点，
根据，能确定点是线段上任意一点，不能确定点是线段的中点，
故选：C ．
【分析】本题考查了线段中点的定义， 如果一个点将线段分成两条相等的线段，那么这个点就被称为线段的中点，根据线段中点的定义，逐项分析判断，即可求解．
6．【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由线段的和差，得
．
由点E是的中点，点F是的中点，得
，．
．
由线段的和差，得
．
故答案为：B．
【分析】利用线段的和差得到，然后利用线段中点定义得到解题即可．
7．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由图和题意，得：，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据尺规作图，利用线段的和差计算解题．
8．【答案】D
【知识点】角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：A、当时间为 11：15时，时针与分针所成夹角是钝角，不符合题意；
B、当时间为 9：00时，时针与分针所成夹角是直角，不符合题意；
C、当时间为 6：00时，时针与分针所成夹角是平角，不符合题意；
D、当时间为 3：30时，时针与分针所成夹角是锐角，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据角的分类，判断各选项即可.
9．【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：根据南偏东和北偏西是相对的，则返回时飞机应向北偏西方向飞行800千米.
故答案为：D.
【分析】根据方向具有相反性的相对性知南偏东和北偏西是相对的，据此可推出返回时飞机应航行的方向．
10．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、与不互余，选项不符合题意；
B、与不互余，选项不符合题意；
C、与相等但不一定互余，选项不符合题意；
D、因为，
所以与互余，选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】依据余角的定义，以及各图中三角形的摆放方式判断解题．
11．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：根据图可知：，，∵，
∴，
∴．
故应选：B．
【分析】由于三角板中的角都是特殊角，则、可直接得到，当的角度已知时，要求，只需计算出即可．
12．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，点的对应点是点，点是旋转中心，
，
故选：B．
【分析】本题考查了旋转的性质，其中对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变；旋转中心是唯一不动的点；一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度，得到点的对应点是点，点是旋转中心，据此作答，即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
故答案为：．
【分析】根据1°=60'，1'=60″先将两个角的单位统一，再进行比较大小即可求解．
14．【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面．
故答案为：线动成面
【分析】线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，根据线动成面的数学原理即可得出答案．
15．【答案】45
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：射线、分别经过刻度117和153，
，
由绕点逆时针方向旋转得到，
，
，且，
，
，
射线经过刻度，
故答案为：45．
【分析】由题意得，再根据旋转的性质可知，，然后结合已知条件求出，即可得到射线经过刻度．
16．【答案】135
【知识点】角的运算；七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：如图，△ABD和△BEF都是等腰直角三角形，且∠ABE=180°.
∴∠ABD=90°，∠EBC=45°.
∴∠ABC=180°－∠EBC=180°－45°=135°.
故答案为：135.
【分析】观察图形，发现∠ABC=180°－∠EBC，求得∠EBC即可解决问题.
17．【答案】（1）解：如图，线段AC为所求；
（2）解：如图，∠DEF为所求；
（3）解：如图，，为所求．
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】（1）作射线，在上顺次截取，，使，则即为所求；
（2）先根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作，再在的内部作，则即为所求；
（3）由题意知，这样的有两个，分别根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可．
（1）解：如图，为所求，
（2）解：如图，为所求，
（3）解：如图，，为所求．
18．【答案】（1）；两点之间，线段最短
（2）解：如图：即为所作．
【知识点】两点之间线段最短；作图﹣旋转
【解析】解：（1）连接AB两点与直线l相交即为点的位置，如图所示：
理由是：两点之间，线段最短，
【分析】
（1）考查了线段的性质，根据两点之间线段最短，进行解答，即可得到答案；
（2）根据图形旋转的性质，分别将点绕点旋转，连线即可得到答案．
（1）解：点的位置如图所示：
理由是：两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短；
（2）如图：即为所作．
19．【答案】（1）解： ，，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据最长为，最短为，解题即可；
（2）根据得到，然后解题即可．
（1）解： ，
，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件．
20．【答案】（1）解：如图2，因为与互余，
所以．
又，即，
所以，
解得．
由题意得，
所以．
故答案为：；
（2）．
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（2）如图，因为与互余，
所以．
又，即，
所以，
解得．
由题意得，
所以，
故答案为：．
【分析】（1）由与互余，得到，再由，求得，结合，即可得到答案.
（2）当在内部时，据此作图，由与互余，得到，结合，求得，结合，即可求解.
（1）解：如图2，因为与互余，
所以．
又，即，
所以，
解得．
由题意得，
所以．
故答案为：；
（2）如图，因为与互余，
所以．
又，即，
所以，
解得．
由题意得，
所以，
故答案为：．
21．【答案】（1）6；9；12；6
（2）
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】（1）解：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）解：观察表得，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，
故答案为：．
【分析】（1）观察几何体，补充表格即可；
（2）通过观察，发现棱数=定点数+面数-2.
22．【答案】（1）解：将PC=t， BD=2t和PD =2AC分别代入AC+PC+PD+BD=12，
得3AC=12-3t，
解得AC =4-t，
∴AP=AC+PC=4-t+t=4(cm)
（2）解：当点Q在线段AB上时：
∵AQ-BQ = PQ， AP =4cm，
∴BQ+PQ=AQ =AB-AP=12-4=8(cm)
∴PQ=AQ﹣AP=8﹣4=4(cm)；
当点Q在AB延长线上时：
∵AQ﹣BQ = PQ，
∴BQ+PQ =AQ = AB+BQ，
∴PQ=AB=12cm.
综上， PQ =4cm或12cm
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)由 可知 ，即
(2)分类讨论，当点 Q在线段AB上时和点Q在AB 的延长线上时，分别求解.
23．【答案】（1）
（2）解：因为，且，
可得，所以.
（3）解：因为，且，
可得，所以．
【知识点】角的运算；角度的四则混合运算
【解析】解：（1）因为，且，
可得，所以.
故答案为：.
【分析】（1）根据角的和差运算，先求得的度数，再由，即可求解；
（2）根据角的和差运算，先求得的度数，再由，即可求解；
（3）根据角的和差运算，先求得，再由，即可求解．
（1）∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴．
24．【答案】（1）34°
（2）解：由旋转的性质可知：
，，
，
，，
是的内余角，
，
即：，解得：
（3）解：分情况讨论如下：
（i）如图①所示，此时，是的内余角，
由旋转的性质可知，，
，
故这种情况不成立.
（ii）如图②所示，此时，是的内余角，
由旋转的性质可知，，
，
解得：.
（iii）如图③所示，此时，是的内余角，
由旋转的性质可知，，
，
解得：.
（iV）如图④所示，此时是的内余角，
由旋转的性质可知，，
，
故这种情况不成立.
综上所述：当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，t的值为，
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1），，
∠BOC=∠AOB-∠AOC=72°-20°=52°，
又是的内余角，
，
∠BOD=∠BOC-∠COD=52°-18°=34°.
故答案为：34°.
【分析】（1）利用角的和差先求出∠BOC=52°，再根据内余角求出∠COD=18°，进而可求得∠BOD=34°；
（2）根据旋转的性质可知，再 用含的式子分别表示出∠COB和∠AOD，再根据是的内余角列式求解即可；
（3）根据内余角的计算方法，分两大类讨论，当是的内余角时， （i）OC在∠AOB的内部，（ii）OC在射线OB的下方；当是的内余角时，（iii） OD在射线OA的上方，（iV） OD在∠AOB的内部；根据旋转的性质用含t的式子表示出对应的内余角，列式求解即可.
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