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江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三上·海安月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·海安月考）已知函数则下列结论正确的是（　　）
A．是偶函数 B．是增函数
C．是周期函数 D．的值域为
3．（2024高三上·海安月考）若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·海安月考）已知函数，则的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·海安月考）如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·海安月考）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·海安月考）已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则（　　）
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
8．（2024高三上·海安月考）下列函数中，在区间上单调递增的函数是（　　）
A．y＝cos(x－) B．y＝sinx－cosx
C．y＝sin(x＋) D．y＝|sin2x|
9．（2024高三上·海安月考）下面的结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，则
10．（2024高三上·海安月考）已知函数．则下列结论正确的是（　　）
A．图像关于点中心对称 B．图像关于直线对称
C．的最大值为 D．既是奇函数又是周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
11．（2024高三上·海安月考）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则　 　．
12．（2024高三上·海安月考）濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则我市这两年生产总值的年平均增长率为　 　．
13．（2024高三上·海安月考）若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为　 　．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．（2024高三上·海安月考）如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
15．（2024高三上·海安月考）设数列的各项均为正整数．
（1）数列满足，求数列的通项公式；
（2）若是等比数列，且是递减数列，求公比．
16．（2024高三上·海安月考）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
（1）求；
（2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．
17．（2024高三上·海安月考）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证．
18．（2024高三上·海安月考）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.
（1）求的方程；
（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；
（3）设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：分段函数的左右两边的函数图象不关于轴对称， A不正确.
当时，不单调， B不正确.
当时，没有周期性， C不正确.
当时，的值域为，当时，的值域为，所以的值域为，D正确.
故答案为：D.
【分析】判断分段函数的奇偶性、单调性、周期性和值域，需依据各性质的定义，对分段函数的不同区间分别分析，再整合判断.
3．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，函数是定义域上的增函数，但，不一定能推出，因为若不是正数，就无意义，故A错误；对于B，函数是上的减函数，由，知，故B错误；对于C，函数是上的增函数，由，知，故C正确；对于D，由，不一定能推出，如，故D错误；
故答案为：C
【分析】不等式与函数性质的关联展开，需借助不同函数（对数函数、指数函数、幂函数 ）的单调性，结合函数定义域、特殊值法，逐一分析选项.利用函数单调性判断由a > b能否推出对应函数值的大小关系，对不成立的选项通过举反例排除.
4．【答案】B
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：试题分析：设，则，∴在上为增函数，在上为减函数，∴，得或均有排除选项A，C，又中，，得且，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.
【分析】分析函数的定义域，再通过研究辅助函数的单调性和取值，确定的函数值符号与变化趋势，从而判断函数图象.利用导数研究辅助函数的单调性，结合定义域分析原函数的正负和趋近情况，逐一排除不符合的选项.
5．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可知，点在函数的图象上，所以，即，故，则点在函数的图象上，所以，即，故，则点在函数的图象上，所以，故，又，，故点的坐标为.
故答案为：A.
【分析】1. 函数代入：将点 纵坐标代入对数函数，求横坐标；将点 纵坐标代入幂函数，求横坐标.
2. 坐标传递：点 横坐标与 相同，代入指数函数求纵坐标；点 横、纵坐标分别与 、 相同，完成坐标求解.
6．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设，则有，，，可得，即，解得，所以.
故答案为：D.
【分析】关于对数与指数相互转化，及用换元法求解比例关系的问题.通过设共同的对数值为一个参数，将对数式转化为指数式，把、、都用含的指数形式表示，根据的等式关系，通过换元转化为二次方程求解，最终得出的值.
7．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：先比较与大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较与大小，，，，，比较与大小，先比较与大小，比较与大小，，，
，即，，
故答案为：B．
【分析】比较a、b、c的大小，通过构造函数或利用对数、指数的运算性质，将其转化为可比较的形式.利用对数函数单调性，结合指数幂的变形，通过比较中间量或构造函数值的大小关系，逐步推导a、b、c的大小顺序.
8．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于A，由，则，所以函数在上递增，在上递减，所以A错误，对于B，时，，，，所以函数在上递增，所以在单调增，所以B正确，对于C，，由，得，所以函数在上递减，所以函数在区间上单调递减，所以C错误，对于D，，可知函数在上递减，所以D错误，
故答案为：B．
【分析】判断各函数在区间上的单调性，利用三角函数的变形（如辅助角公式 ）、单调区间的求解方法（结合整体代换 ），分别分析每个选项中函数的单调区间，再与给定区间对比，判断是否单调递增.
9．【答案】A,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，则，故A正确；对于B，不妨令，则，故B 错误；对于C，，当且仅当时取得等号，所以，故C正确；对于D，易知，当且仅当时取得等号，所以，则，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】判断不等式结论的正确性，利用不等式的基本性质、特殊值法（用于否定结论 ）、基本不等式（， ）及其变形，对每个选项逐一分析.
10．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A：因为，，所以，
因此图像关于点中心对称，所以本选项结论正确；
B：因为，，
所以，因此图像关于直线对称，所以本选项结论正确；
C：，
设，所以，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，函数有极大值，极大值为：，而，所以函数的最大值为，因此本选项结论不正确；
D：因为，所以是奇函数，
因为，
所以是周期函数，因此本选项结论正确，
故答案为：ABD.
【分析】判断函数的对称性、最值、奇偶性与周期性，需依据相应定义和性质，通过对函数进行变形、代入特殊值或求导分析来逐一验证选项.分别针对每个选项，结合函数性质的判定条件，对函数进行针对性的运算和推理.
11．【答案】1
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由，令，，又，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，即.
故答案为：1.
【分析】利用函数的奇偶性，通过对给定等式赋值，建立关于和的关系式来求解.根据奇函数和偶函数的性质，将赋值为，把、转化为与、相关的形式，再结合已知等式计算.
12．【答案】
【知识点】平均变化率；二次函数模型
【解析】【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为，由题意，所以，
故答案为：.
【分析】 解决年平均增长率的问题，通过设未知数，根据生产总值的增长关系建立方程，再求解得到年平均增长率.关键在于理解连续两年增长后，以平均增长率增长的结果和实际两年增长的结果是相等的.
13．【答案】2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，，，，令，∴当时， ，单调递增；当时，，单调递减，，分别作出，大致图象如下： 联立，即，设，，令，即，令，知在上单调递减，，，，∴整数的最大值为2．
故答案为：2.
【分析】解决存在实数，使不等式对恒成立的问题，构造函数，利用导数研究函数单调性、最值，结合函数图象交点和零点存在性定理，确定的最大值。关键是将不等式转化为函数值与的关系，通过分析函数图象和交点来求解.
14．【答案】（1）证明：连接，则，
在中，由余弦定理可得，
同理得，因为，则，
可得，
因为，则
可知，又因为平面，
所以平面.
（2）解： 取中点，则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
可得，，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，可得，
所以点B到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 围绕立体几何中的线面垂直证明与点到平面距离求解展开.对于（1）通过计算线段长度，利用勾股定理逆定理证明线线垂直，再依据线面垂直判定定理证得；对于（2），借助空间直角坐标系，利用向量法或等体积法，通过构建方程求解点到平面的距离，关键是准确确定各点坐标与平面相关向量.
（1）连接，则，
在中，由余弦定理可得，
同理得，
因为，则，可得，
因为，则
可知，
又因为平面，所以平面.
（2）取中点，则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，，
设平面的一个法向量为，所以，
令，则，可得，
所以点B到平面的距离为.
15．【答案】（1）解：数列满足，设，当时，有，即，当时，有，得，符合，所以．
（2）解：是等比数列，且各项均为正整数，则公比．若，则，是递减数列，符合题意．
若，则当时，，不为正整数，不合题意．
若，则，当，即时，，这与是递减数列相矛盾，不合题意．故公比.
【知识点】等比数列的性质；数列的通项公式
【解析】【分析】 围绕数列通项公式求解与等比数列单调性分析展开.对于（1），核心思路是利用数列前 项和的递推关系，通过作差法求出通项；
对于（2），需依据等比数列通项公式，结合数列单调性的定义，分情况讨论公比 的取值，关键是通过作差或作商判断数列的单调性.
（1）数列满足，
设，
当时，有，即，
当时，有，得，
符合，所以．
（2）是等比数列，且各项均为正整数，则公比．
若，则，是递减数列，符合题意．
若，则当时，，不为正整数，不合题意．
若，则，
当，即时，，
这与是递减数列相矛盾，不合题意．
故公比．
16．【答案】（1）解：因为在上单调递增，
在上单调递减，
所以且，
所以，
可知，
由，可知，
所以，
则，
由，
可得，
则．
（2）解：因为
化简得，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
所以，
则长的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的单调性；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的单调性和正弦型函数的最小正周期公式以及的取值范围，从而求出的值，进而得出函数解析式，再利用正弦型函数的对称性得出的值.
（2）利用余弦定理得到，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法以及已知条件，从而得出边上的高长的最大值．
（1）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，可知，
又由，可知，所以，故，
由，可得，即．
（2），
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为．
17．【答案】（1）解：当时，，则，又，，所以切线方程为：，即．
（2）证明：当，时，，则有，故只需证明当时，．当时，函数在区间上单调递增，又，，故在区间上有唯一实根，且，当时，；当时，，从而当时，取得最小值，由，得，，故，综上，当时，．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】围绕函数切线方程求解与不等式证明展开.对于（1），利用导数的几何意义，先求导函数，再代入切点横坐标得切线斜率，结合切点坐标用点斜式求切线方程；
对于（2），通过放缩法简化问题，再利用导数研究函数单调性、极值，结合极值点性质证明不等式，关键是将m≤2的情况转化为m=2的情况，通过导数分析函数最小值并证明其大于0.
（1）当时，，
则，
又，，
所以切线方程为：，
即．
（2）当，时，，
则有，
故只需证明当时，．
当时，函数在区间上单调递增，
又，，
故在区间上有唯一实根，且，
当时，；
当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，
故，
综上，当时，．
18．【答案】（1）解：由题意知，显然点在直线的上方，因为直线为的等线，所以，解得，所以的方程为.
（2）解： 设，切线，代入得：故，该式可以看作关于的一元二次方程，所以，即方程为当的斜率不存在时，也成立渐近线方程为，不妨设在上方，联立得，故，所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，则过点的等线必定满足：到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，由，解得，故 .所以，所以，所以，所以.
（3）证明：
设，由，所以，故曲线的方程为由（*）知切线为，也为，即，即易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，由（2）知，所以由得因为，所以直线为的等线 .
【知识点】导数的几何意义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 围绕双曲线的性质、“等线”定义展开，包含双曲线方程求解、四边形面积计算与切线为“等线”的证明.对于（1），利用双曲线离心率、“等线”定义建立方程，求解 ；
（2）结合“等线”定义与直线、双曲线位置关系，求交点坐标进而算面积；
（3）通过轨迹方程与导数求切线，验证“等线”条件，双曲线性质与“等线”定义的综合应用.
（1）由题意知，显然点在直线的上方，
因为直线为的等线，所以，
解得，所以的方程为
（2）设，切线，代入得：
故，
该式可以看作关于的一元二次方程，
所以，即方程为
当的斜率不存在时，也成立
渐近线方程为，不妨设在上方，
联立得，故，
所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，
则过点的等线必定满足：到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，
由，解得，故 .
所以，
所以，
所以，所以
（3）设，由，所以，
故曲线的方程为
由（*）知切线为，也为，即，即
易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，
由（2）知，
所以
由得
因为，
所以直线为的等线 .
1 / 1江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三上·海安月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高三上·海安月考）已知函数则下列结论正确的是（　　）
A．是偶函数 B．是增函数
C．是周期函数 D．的值域为
【答案】D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：分段函数的左右两边的函数图象不关于轴对称， A不正确.
当时，不单调， B不正确.
当时，没有周期性， C不正确.
当时，的值域为，当时，的值域为，所以的值域为，D正确.
故答案为：D.
【分析】判断分段函数的奇偶性、单调性、周期性和值域，需依据各性质的定义，对分段函数的不同区间分别分析，再整合判断.
3．（2024高三上·海安月考）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，函数是定义域上的增函数，但，不一定能推出，因为若不是正数，就无意义，故A错误；对于B，函数是上的减函数，由，知，故B错误；对于C，函数是上的增函数，由，知，故C正确；对于D，由，不一定能推出，如，故D错误；
故答案为：C
【分析】不等式与函数性质的关联展开，需借助不同函数（对数函数、指数函数、幂函数 ）的单调性，结合函数定义域、特殊值法，逐一分析选项.利用函数单调性判断由a > b能否推出对应函数值的大小关系，对不成立的选项通过举反例排除.
4．（2024高三上·海安月考）已知函数，则的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：试题分析：设，则，∴在上为增函数，在上为减函数，∴，得或均有排除选项A，C，又中，，得且，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.
【分析】分析函数的定义域，再通过研究辅助函数的单调性和取值，确定的函数值符号与变化趋势，从而判断函数图象.利用导数研究辅助函数的单调性，结合定义域分析原函数的正负和趋近情况，逐一排除不符合的选项.
5．（2024高三上·海安月考）如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可知，点在函数的图象上，所以，即，故，则点在函数的图象上，所以，即，故，则点在函数的图象上，所以，故，又，，故点的坐标为.
故答案为：A.
【分析】1. 函数代入：将点 纵坐标代入对数函数，求横坐标；将点 纵坐标代入幂函数，求横坐标.
2. 坐标传递：点 横坐标与 相同，代入指数函数求纵坐标；点 横、纵坐标分别与 、 相同，完成坐标求解.
6．（2024高三上·海安月考）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设，则有，，，可得，即，解得，所以.
故答案为：D.
【分析】关于对数与指数相互转化，及用换元法求解比例关系的问题.通过设共同的对数值为一个参数，将对数式转化为指数式，把、、都用含的指数形式表示，根据的等式关系，通过换元转化为二次方程求解，最终得出的值.
7．（2024高三上·海安月考）已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则（　　）
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：先比较与大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较与大小，，，，，比较与大小，先比较与大小，比较与大小，，，
，即，，
故答案为：B．
【分析】比较a、b、c的大小，通过构造函数或利用对数、指数的运算性质，将其转化为可比较的形式.利用对数函数单调性，结合指数幂的变形，通过比较中间量或构造函数值的大小关系，逐步推导a、b、c的大小顺序.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
8．（2024高三上·海安月考）下列函数中，在区间上单调递增的函数是（　　）
A．y＝cos(x－) B．y＝sinx－cosx
C．y＝sin(x＋) D．y＝|sin2x|
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于A，由，则，所以函数在上递增，在上递减，所以A错误，对于B，时，，，，所以函数在上递增，所以在单调增，所以B正确，对于C，，由，得，所以函数在上递减，所以函数在区间上单调递减，所以C错误，对于D，，可知函数在上递减，所以D错误，
故答案为：B．
【分析】判断各函数在区间上的单调性，利用三角函数的变形（如辅助角公式 ）、单调区间的求解方法（结合整体代换 ），分别分析每个选项中函数的单调区间，再与给定区间对比，判断是否单调递增.
9．（2024高三上·海安月考）下面的结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，则，故A正确；对于B，不妨令，则，故B 错误；对于C，，当且仅当时取得等号，所以，故C正确；对于D，易知，当且仅当时取得等号，所以，则，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】判断不等式结论的正确性，利用不等式的基本性质、特殊值法（用于否定结论 ）、基本不等式（， ）及其变形，对每个选项逐一分析.
10．（2024高三上·海安月考）已知函数．则下列结论正确的是（　　）
A．图像关于点中心对称 B．图像关于直线对称
C．的最大值为 D．既是奇函数又是周期函数
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A：因为，，所以，
因此图像关于点中心对称，所以本选项结论正确；
B：因为，，
所以，因此图像关于直线对称，所以本选项结论正确；
C：，
设，所以，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，函数有极大值，极大值为：，而，所以函数的最大值为，因此本选项结论不正确；
D：因为，所以是奇函数，
因为，
所以是周期函数，因此本选项结论正确，
故答案为：ABD.
【分析】判断函数的对称性、最值、奇偶性与周期性，需依据相应定义和性质，通过对函数进行变形、代入特殊值或求导分析来逐一验证选项.分别针对每个选项，结合函数性质的判定条件，对函数进行针对性的运算和推理.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
11．（2024高三上·海安月考）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则　 　．
【答案】1
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由，令，，又，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，即.
故答案为：1.
【分析】利用函数的奇偶性，通过对给定等式赋值，建立关于和的关系式来求解.根据奇函数和偶函数的性质，将赋值为，把、转化为与、相关的形式，再结合已知等式计算.
12．（2024高三上·海安月考）濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则我市这两年生产总值的年平均增长率为　 　．
【答案】
【知识点】平均变化率；二次函数模型
【解析】【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为，由题意，所以，
故答案为：.
【分析】 解决年平均增长率的问题，通过设未知数，根据生产总值的增长关系建立方程，再求解得到年平均增长率.关键在于理解连续两年增长后，以平均增长率增长的结果和实际两年增长的结果是相等的.
13．（2024高三上·海安月考）若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为　 　．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)
【答案】2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，，，，令，∴当时， ，单调递增；当时，，单调递减，，分别作出，大致图象如下： 联立，即，设，，令，即，令，知在上单调递减，，，，∴整数的最大值为2．
故答案为：2.
【分析】解决存在实数，使不等式对恒成立的问题，构造函数，利用导数研究函数单调性、最值，结合函数图象交点和零点存在性定理，确定的最大值。关键是将不等式转化为函数值与的关系，通过分析函数图象和交点来求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．（2024高三上·海安月考）如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：连接，则，
在中，由余弦定理可得，
同理得，因为，则，
可得，
因为，则
可知，又因为平面，
所以平面.
（2）解： 取中点，则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
可得，，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，可得，
所以点B到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 围绕立体几何中的线面垂直证明与点到平面距离求解展开.对于（1）通过计算线段长度，利用勾股定理逆定理证明线线垂直，再依据线面垂直判定定理证得；对于（2），借助空间直角坐标系，利用向量法或等体积法，通过构建方程求解点到平面的距离，关键是准确确定各点坐标与平面相关向量.
（1）连接，则，
在中，由余弦定理可得，
同理得，
因为，则，可得，
因为，则
可知，
又因为平面，所以平面.
（2）取中点，则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，，
设平面的一个法向量为，所以，
令，则，可得，
所以点B到平面的距离为.
15．（2024高三上·海安月考）设数列的各项均为正整数．
（1）数列满足，求数列的通项公式；
（2）若是等比数列，且是递减数列，求公比．
【答案】（1）解：数列满足，设，当时，有，即，当时，有，得，符合，所以．
（2）解：是等比数列，且各项均为正整数，则公比．若，则，是递减数列，符合题意．
若，则当时，，不为正整数，不合题意．
若，则，当，即时，，这与是递减数列相矛盾，不合题意．故公比.
【知识点】等比数列的性质；数列的通项公式
【解析】【分析】 围绕数列通项公式求解与等比数列单调性分析展开.对于（1），核心思路是利用数列前 项和的递推关系，通过作差法求出通项；
对于（2），需依据等比数列通项公式，结合数列单调性的定义，分情况讨论公比 的取值，关键是通过作差或作商判断数列的单调性.
（1）数列满足，
设，
当时，有，即，
当时，有，得，
符合，所以．
（2）是等比数列，且各项均为正整数，则公比．
若，则，是递减数列，符合题意．
若，则当时，，不为正整数，不合题意．
若，则，
当，即时，，
这与是递减数列相矛盾，不合题意．
故公比．
16．（2024高三上·海安月考）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
（1）求；
（2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．
【答案】（1）解：因为在上单调递增，
在上单调递减，
所以且，
所以，
可知，
由，可知，
所以，
则，
由，
可得，
则．
（2）解：因为
化简得，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
所以，
则长的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的单调性；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的单调性和正弦型函数的最小正周期公式以及的取值范围，从而求出的值，进而得出函数解析式，再利用正弦型函数的对称性得出的值.
（2）利用余弦定理得到，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法以及已知条件，从而得出边上的高长的最大值．
（1）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，可知，
又由，可知，所以，故，
由，可得，即．
（2），
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为．
17．（2024高三上·海安月考）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证．
【答案】（1）解：当时，，则，又，，所以切线方程为：，即．
（2）证明：当，时，，则有，故只需证明当时，．当时，函数在区间上单调递增，又，，故在区间上有唯一实根，且，当时，；当时，，从而当时，取得最小值，由，得，，故，综上，当时，．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】围绕函数切线方程求解与不等式证明展开.对于（1），利用导数的几何意义，先求导函数，再代入切点横坐标得切线斜率，结合切点坐标用点斜式求切线方程；
对于（2），通过放缩法简化问题，再利用导数研究函数单调性、极值，结合极值点性质证明不等式，关键是将m≤2的情况转化为m=2的情况，通过导数分析函数最小值并证明其大于0.
（1）当时，，
则，
又，，
所以切线方程为：，
即．
（2）当，时，，
则有，
故只需证明当时，．
当时，函数在区间上单调递增，
又，，
故在区间上有唯一实根，且，
当时，；
当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，
故，
综上，当时，．
18．（2024高三上·海安月考）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.
（1）求的方程；
（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；
（3）设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线
【答案】（1）解：由题意知，显然点在直线的上方，因为直线为的等线，所以，解得，所以的方程为.
（2）解： 设，切线，代入得：故，该式可以看作关于的一元二次方程，所以，即方程为当的斜率不存在时，也成立渐近线方程为，不妨设在上方，联立得，故，所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，则过点的等线必定满足：到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，由，解得，故 .所以，所以，所以，所以.
（3）证明：
设，由，所以，故曲线的方程为由（*）知切线为，也为，即，即易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，由（2）知，所以由得因为，所以直线为的等线 .
【知识点】导数的几何意义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 围绕双曲线的性质、“等线”定义展开，包含双曲线方程求解、四边形面积计算与切线为“等线”的证明.对于（1），利用双曲线离心率、“等线”定义建立方程，求解 ；
（2）结合“等线”定义与直线、双曲线位置关系，求交点坐标进而算面积；
（3）通过轨迹方程与导数求切线，验证“等线”条件，双曲线性质与“等线”定义的综合应用.
（1）由题意知，显然点在直线的上方，
因为直线为的等线，所以，
解得，所以的方程为
（2）设，切线，代入得：
故，
该式可以看作关于的一元二次方程，
所以，即方程为
当的斜率不存在时，也成立
渐近线方程为，不妨设在上方，
联立得，故，
所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，
则过点的等线必定满足：到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，
由，解得，故 .
所以，
所以，
所以，所以
（3）设，由，所以，
故曲线的方程为
由（*）知切线为，也为，即，即
易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，
由（2）知，
所以
由得
因为，
所以直线为的等线 .
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