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福建省泉州市惠安县2024-2025学年八年级下学期期末质量抽测数学试卷
一、单选题
1．要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
2．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．将两个矩形按如图放置，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．某校为推选参加“弘扬中华文明，担当文化使命”青少年读书演讲比赛的选手，经过三轮初赛选择一名成绩优秀且发挥稳定的学生代表参赛．下表记录了甲、乙、丙、丁四位同学三轮比赛成绩的平均数和方差．
甲 乙 丙 丁
平均数（分） 92 90 88 92
方差 2.1 3.2 2.4 3.6
通过上表数据分析，应推选代表学校参赛的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形．若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．如图，以的顶点为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交于点；分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接．若，则的长是（ ）

A． B． C． D．
8．已知都在直线上，当时，，则的值（ ）
A． B． C． D．
9．作为国家级非物质文化遗产，“惠安女”服饰具有较高艺术价值和优秀民俗文化．某家手作坊能加工传统花头巾与简易花头巾共两款．已知每条传统款花头巾的加工成本要比简易款多5元，用800元加工传统花头巾的数量与用600元加工简易花头巾的数量之比是．设每条简易花头巾的加工成本为元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．反比例函数的图象上有两点，下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题
11．约分： ．
12．把直线向上平移3个单位后得到的直线的表达式是 ．
13．泉州花灯（如图）是国家级非物质文化遗产，融合刻纸、针刺、彩扎等传统工艺，造型精美且富含闽南文化内涵．某中学举办“泉州花灯文化节”创意比赛，从工艺还原度、创意设计和文化诠释三个维度对学生作品进行评分，其中甲、乙两位同学的成绩如下表（单位：分）：
学生 工艺还原度 创意设计 文化诠释
甲
乙
若学校将工艺还原度、创意设计和文化诠释三个维度得分按照确定每个人的最终成绩，经计算， （填：甲或乙）能获得本次比赛的“最佳创意奖”．
14．已知，则的值为 ．
15．如图，在菱形中，，、分别在和上．若，，且，则的长为 ．
16．如图，点是平行四边形内一点，轴，轴，，，，若反比例函数的图象经过两点，则的值是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在菱形中，点E、F分别在边上，，连接．求证：．
20．某景区管理部门分别对景区游客开展“满意度”调查，从两景区中各随机抽取20位游客的问卷评分（满分10分，8分及以上为“高度满意”）进行整理和分析如下：
①A景区20位游客的问卷评分（单位：分）结果如下：
8，8，9，6，9，10，10，8，6，8，8，7，7，8，10，9，6，7，9，9．
②B景区20位游客的问卷评分条形统计图如图．
A，B两个景区问卷数据分析如下表：
景区 平均分（分） 众数（分） 中位数（分） 高度满意率
A 8 70%
B 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)___________，___________，___________，___________；
(2)暑假期间，小明一家想去景区研学参观，根据以上信息，你认为小明应选择和哪一个景区？说明理由．
21．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，将纸片压平并展开，得到折痕，设的对应边交于点，连接交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为4，求的周长．
22．如图1，某智能快递柜的取件操作区域可看作一个矩形，其长为，宽为．若有一束红外感应光线，通过边上的点，沿方向射入，经边反射后，反射光线交边于点；再经边反射后，反射光线交边于点．（注：红外感应光线反射遵循光的反射原理：每一次反射，反射角等于入射角，如图，其中为法线，即于）
(1)尺规作图：如图2，矩形中，．若有一束光线通过点，经过边反射后，到达边上的点处，最终反射到边上，请分别作出光线与的交点，与的交点，并连接；（要求：保留作图痕迹，不必写作法）
(2)利用（1）中所作的图形，证明：四边形是平行四边形．
23．阅读与理解
【阅读材料】
一次函数的图象是一条直线．通常也称为直线，其中称为直线的斜率，它表示直线关于坐标轴的倾斜程度．特别地，当时，直线．所以，直线可由直线或直线经过平移或旋转而得到．那么，已知直线上的两点和，如何求出的值呢？
将两点的坐标分别代入，得到①，②．把上面两式相减，消去，得到，当时，求得．
因此，当时，直线的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，特别地，当时，直线与轴平行（或垂直于轴），此时直线的斜率不存在．
【理解运用】
(1)已知点，，易求得直线的斜率___________，其解析式为___________；
(2)已知点，，其中为常数，且．若直线与直线平行，求的值；
(3)判定点，，三点是否在同一直线上？并说明理由．
24．综合与实践
依据以下素材，完成探究任务（三项任务）．
设计奖品购买及兑换方案
素材1 某文具店销售某种钢笔和笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．经兑换后，发现笔记本与钢笔的数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 运用所学数学知识，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探求奖品的购买方案 运用所学数学知识，设计购买奖品的方案．
任务3 探索并确定兑换方式 运用所学数学知识，确定符合条件的兑换方式．
25．如图，平面直角坐标系中，已知点，，是的边上的中线．
(1)直接写出：点的坐标是___________；
(2)已知点在轴的正半轴上，，将沿翻折得到，点的对应点为点．若有一动点，
①当点落在内部（不包含边）时，求的取值范围；
②是否存在点，使取得最大值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
解：∵分式有意义，
，
，
故选：B．
2．D
解：，
故选：D．
3．A
解：点在轴上，
∴，
解得，，
∴，
∴点A的坐标为，
故选：A ．
4．C
解：如图：
∵两个矩形叠合放置，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．A
解： 筛选平均分高的选手：甲和丁的平均分均为92分，为四人中最高，故优先考虑甲和丁；
比较方差确定稳定性：方差越小，成绩波动越小，甲的方差为2.1，丁的方差为3.6，因此甲的成绩更稳定；
∴甲的平均分最高且方差最小，符合“成绩优秀且发挥稳定”的要求，
故选A
6．B
解：如图，
由题意得，，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，（舍去），
，
．
故选：B．
7．C
作图可知，，
，
四边形是菱形，
又，且，
是等边三角形，，
四边形是菱形，平分，
，
连接交于点，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，，
，
在中，，
，
．
故选：C．
8．C
解：将直线方程整理为，
当时，说明函数随增大而增大，
因此，
解得，
故选C
9．C
解：设每条简易花头巾的加工成本为元，则传统款为元，
根据题意得：．
故选：C．
10．B
解：反比例函数的图象上有两点，
故，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
根据题意，得，则，
当时，，不符合题意，
当时，
∴
∴
∴，
故A错误，B正确；
根据题意，得，则，
故，
故一定在第三象限内，
可能在第一象限，也可能在第三象限，
当时，在第三象限，此时都是负数，不成立；
当时，在第一象限，此时是负数，是正数；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
故C，D选项都错误，
故选：B．
11．
解：，
故答案为： ．
12．
解：直线向上平移3个单位后得到的直线是
故答案为：
13．甲
解：甲：，
乙：，
∵，
∴乙的成绩低于甲的成绩，
∴甲能获得本次比赛的“最佳创意奖”，
故答案为：甲；
14．5
解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5
15．或
解：∵在菱形中，边，，，
∴，，
如图，在上截取，过点B作于点H，

则，
∵菱形中，，，
∴在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，则，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
∴在中，由勾股定理得：．
故答案为：或．
16．
解：延长，交x轴于点G，过点A作轴于点E，作于点F，
则，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵轴，
∴ ，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
解得．
故答案为：．
17．．
解：原式
．
18．，
解：原式
，
当时，原式．
19．见解析
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴．
20．(1)
(2)我认为小明应选择景区，理由如下：虽然、两个景区游客满意度评分的平均分相等，但是景区的高度满意率较高，所以我认为小明应选择去景区．
（1）解：；
在B景区的评分中，评分为8分的人数最多，故众数为8，即；
将A景区的评分进行排序：6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，处于第10位与第11位的评分是8和8，故中位数为，即；
B景区的满意度，即．
故答案为：；8；8；
（2）解：我认为小明应选择景区，理由如下：虽然、两个景区游客满意度评分的平均分相等，但是景区的高度满意率较高，所以我认为小明应选择去景区．
21．(1)见解析
(2)8
（1）解：由折叠得，，
，
，
即，
正方形中，，
，
；
（2）解：如图，过点作交于点，
，
由（1）可知，，
在和中，
，
，
，
正方形中，，
，
在和中，
，
，
，
，且，
．
22．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图所示，四边形即为所求作；
（2）证明：矩形中，，
由题意知，
在中，，
则，
，
在中，，
则，
．
在和中，
，
，
．
由图形知①，
，
由①②，得，
，
，
，
四边形是平行四边形．
23．(1)2；
(2)
(3)点不在同一条直线上，理由见解析
（1）解：已知，
根据斜率公式，可得 ．
设直线的解析式为，
把，代入得，即，
解得．
所以解析式为 ．
（2）解：设直线的斜率为，
直线与平行，
．
即，
解得；
（3）解：点不在同一条直线上，理由如下：
法一：由题意知，
点不在同一条直线上．
法二：由题意知，，
直线经过点，
直线的表达式为，
即，
当时，，
点不在直线上．
故点不在同一条直线上．
24．（1）笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；（2）该校购买笔记本20件，钢笔30件；（3）共有8张兑换券，其中2张用于兑换笔记本，6张用于兑换钢
解：（1）设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元，
依题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
则钢笔的单价：（元），
答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元．
（2）设该校购买笔记本a件，则购买钢笔件，
依题意，得，
解得，
经检验，符合题意，
则购买钢笔：（件），
答：该校购买笔记本20件，钢笔30件．
（3）设张兑换券中，有张用于兑换笔记本，则有张兑换钢笔，
依题意，得，
（法一），
，
是非负整数，为正整数，
是的倍数，
或9，即或8，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，
即文具店赠送8张兑换券，其中2张兑换券兑换笔记本，6张兑换券兑换钢笔，
此时笔记本与钢笔数量相同，均为36，符合题意．
（法二）解得，
，
，
由题意知，，解得，
为正整数，
，
当时，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去；
当时，，不合题意，舍去；
当时，，不合题意，舍去；
综上，共有8张兑换券，其中2张用于兑换笔记本，6张用于兑换钢笔．
25．(1)
(2)①；②存在，
（1）解：如图，过点C作轴于点D，轴于点F，
，，
，
，
，
为的中点，
，
；
（2）①如图1，作折叠后得到的，过点作于于，
由折叠可知，
，
四边形为矩形
，
．
，则四边形为正方形，
，
，
设直线的表达式为，
将．分别代入中，得
，解得：，
直线的表达式为
由可知，点在直线上，
如图2，要使点落在内，则当时，
解得．
②如图3，存在点，使得有最大值，理由如下：
由①可知，直线的表达式为，点在直线上，
又点在直线上，
直线垂直平分线段．
．
当点三点共线时，有最大值，
即．
此时，点为直线和直线的交点．
过点的直线的表达式为．
解方程组，
点的坐标为．

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